第18课时 锐角三角函数与解直角三角形-【中考必备】2025年教与学数学课件PPT（广东专版）

2025 教与学 中考必备 数 学 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 第一部分 知识梳理 第四章　三　角　形 第18课时　锐角三角函数与解直角三角形 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 目 录 CONTENTS 01 课前循环练 02 课标要求 03 考点梳理 04 广东中考 05 高分击破 06 中考演练 07 命题趋势 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 课前循环练 （限时5分钟） 1. （广东真题）化简a4·a2+（a3）2的结果是 （ ） A. a8+a6 B. a6+a9 C. 2a6 D. a12 2. （广东真题）已知OP=5，☉O的半径为5，则点P在 （ ） A. ☉O上 B. ☉O内 C. ☉O外 D. 圆心上 C A 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 3. （广东真题）已知y是x的函数，y与x-1成正比例，如果这个函数的图象经过点（a，a）（a≠0），那么它的图象大致是 （ ） B 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 4. （广东真题）抛物线y=2x2+6x+c与x轴的一个交点为（1，0），则这个 抛物线的顶点坐标是  　.   5. （广东真题）如图4-18-1，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=　 　.   图4-18-1 95° 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ①利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sin A，cos A，tan A），知道30°，45°，60°角的三角函数值. ②会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角. ③能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题. 课标要求 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 对接教材 人教：九下第二十八章　锐角三角函数 北师：九下第一章　直角三角形的边角关系 　 考点梳理 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 考点复习 1.特殊角的三角函数值 锐角三角函数 角α 30° 45° 60° sin α         cos α         tan α     　 　  1 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 广东省对应考点例题 例1. 计算：sin 30°+tan 60°-2cos 45°. 解：原式= = =. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 2.直角三角形中的边角关系 如图4-18-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为内角A，B，C的对边. （1）三边的关系为　 .  （2）三角的关系为　 　.  （3）边角的关系为sin A=  　，cos A=  　， tan A=  　  图4-18-2 a2+b2=c2　 ∠A+∠B=∠C 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例2. 如图4-18-3，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则tan A=  　，sin A=  　，cos A=  　.  图4-18-3 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 3.解直角三角形 在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道　 　（其中至少有一个是　 　），就可以求出其余三个未知元素.  解直角三角形的基本类型可分为以下几种情况（如图4-18-2）： 两个元素 边 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 已知条件 解法 一条 边和 一个 锐角 斜边c和 锐角∠A ∠B=　 　，  a=　 　，  b=　 　  直角边a 和锐角∠A ∠B=　 　，  b=  　，  c=    90°-∠A c·sin A 90°-∠A c·cos A 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 已知条件 解法 两 条 边 两条直角 边a和b c=  　，  由　 　求∠A，  ∠B=　 　  直角边a 和斜边c b=  　，  由　 　求∠A，  ∠B=　 　  tan A= 90°-∠A sin A= 90°-∠A 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解直角三角形. （1）c=30，∠A=60°； （2）b=5，c=10. 解：（1）∵∠C=90°，∠A=60°， ∴∠B=90°-∠A=30°. ∵c=30， ∴a=c·sin A=30×sin 60°=15， b=c·cos A=30×cos 60°=15. （2）∵∠C=90°，b=5，c=10， ∴a=， sin B=. ∴∠B=30°. ∴∠A=90°-∠B=60°. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 4.解直角三角形的应用 （1）仰角、俯角 如图4-18-4，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是 　 ，视线在水平线下方的是　 　.  图4-18-4 仰角 俯角 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）方位角 如图4-18-5，从正北方向线或正南方向线到目标方向线所成的小于90°的角（如α，β），叫做方位角. 图4-18-5 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （3）坡度（坡比）、坡角 如图4-18-6，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），记作i，即i= 　；坡面与水平面的夹角叫做　 　，记作α，则i== 　 　  图4-18-6 坡角 tan α 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例4. （1）如图4-18-7，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为60 m，则这栋楼的高度为　 　m；  图4-18-7 80 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）如图4-18-8，湖中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，它在B处测得小岛A在北偏东60°方向上，航行20 n mile到达C处，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，则小岛A到航线BC的距离为　 　n mile；  图4-18-8 10 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （3）如图4-18-9，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=10 m，背水坡CD的坡度i=1∶，则背水坡的坡长CD为　 　m.  图4-18-9 20 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 广东中考 1. （2022·广东题11，3分，特殊角的三角函数值）sin 30°=  　.   2. （2021·广东题16，4分，平行四边形的性质；解直角三角形）如图4-18-10，在▱ABCD中，AD=5，AB=12，sin A=. 过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin∠BCE=  　.   图4-18-10 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 3. （2023·广东题18，7分，解直角三角形的应用）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站. 如图4-18-11，照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态. 当两臂AC=BC=10 m，两臂夹角∠ACB=100°时，求A，B两点间的距离. （结果精确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈ 1.192） 图4-18-11 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 解：如答图4-18-1，连接AB，过点C作CD⊥AB于点D. ∵AC=BC，CD⊥AB，∠ACB=100°， ∴AB=2AD，∠ACD=∠ACB=50°. 在Rt△ACD中，AC=10 m，∠ACD=50°， ∴AD=AC·sin∠ACD=10×sin 50°≈7.66（m）. ∴AB=2AD=2×7.66=15.32≈15.3（m）. 答：A，B两点间的距离约为15.3 m. 答图4-18-1 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 4. （2024·广东题18，7分，解直角三角形的应用）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献. 为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图4-18-12是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位. 经测量，∠ABQ=60°，AB=5.4 m，CE=1.6 m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定. 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73） 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （1）求PQ的长； 图4-18-12 解：（1）∵四边形PQMN是矩形，∴∠Q=∠P=90°. 在Rt△ABQ中，AB=5.4 m，∠ABQ=60°， ∴AQ=AB·sin∠ABQ=5.4×sin 60°=（m）. ∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ABC=∠DAB=90°. ∴∠CBE=90°-∠ABQ=30°，∠QAB=90°-∠ABQ=30°. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 在Rt△BCE中，CE=1.6 m，∠CBE=30°， ∴BC=（m）. 在Rt△ADP中，∠PAD=90°-∠QAB=60°， AD=BC= m， ∴AP=AD·cos∠PAD=（m）. ∴PQ=AP+AQ=≈6.1（m）. 图4-18-12 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）该充电站有20个停车位，求PN的长. （2）在Rt△BCE中，CE=1.6 m，∠CBE=30°，∴BE=2CE=3.2（m）. 在Rt△ABQ中，AB=5.4 m，∠QAB=30°，∴QB=AB=2.7（m）. ∵四边形PQMN是矩形，该充电站有20个停车位， ∴PN=QM=QB+20BE=2.7+20×3.2=66.7（m）. 图4-18-12 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 高分击破 【典型考点】解直角三角形的应用 得分点分析 1. （2023·丽水）如图4-18-13，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A-D-C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A=60°，AB=11 m，CD=4 m，求管道A-D-C的总长. 图4-18-13 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 解：如图4-18-14，过点D作DE⊥AB于点E，则∠AED=∠BED=90°. ·························1分（作辅助线得1分） ∵DC⊥BC，AB⊥BC，∴∠DCB=∠EBC=∠BED=90°. ····················2分（写出矩形的判定条件得1分） ∴四边形BCDE是矩形.∴BE=CD=4 m. ··············3分（利用矩形的性质得1分） ∵AB=11 m，∴AE=AB-BE=11-4=7（m）. ··········4分（求出AE的长得1分） 在Rt△ADE中，AE=7 m，∠A=60°， ∴AD===14（m）. ·····5分（利用余弦三角函数得1分） ∴AD+CD=14+4=18（m）. ·························6分（计算结果得1分） 答：管道A-D-C的总长为18 m. ·························7分（作答得1分） 图4-18-14 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第18小题，分值一般为7分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全对，评卷老师是分步给分的哦！ 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【典型错例】对仰角、俯角的概念理解不清导致出错 2.如图4-18-15，飞机于空中A处测得目标B处的俯角为α，此时飞机的高度AC为a m，则BC的距离为 （ ） A. a·tan α m B. m C. m D. a·sin α m 图4-18-15 B 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 错解分析 错解：由题意，得∠BAC=α. 在Rt△ABC中，AC=a m， ∴BC=AC·tan∠BAC=a·tan α（m）. 故选A. 剖析：上面的解答过程没有理解俯角的概念，误认为∠BAC为从A处测得目标B处的俯角α，从而导致出错. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【生长式训练】知识生长→变式创新 3. （中考创新，原创题）如图4-18-16，在△ABC中，AC=6. 知识种子：基本概念 （1）若∠A=90°，AB=8，则sin B=  　；cos B=  　；  tan B=  　；  图4-18-16 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 种子生长：解直角三角形 （2）如图4-18-17，若∠B=45°，∠C=75°，求BC的长； 　图4-18-17 解：如答图4-18-2，过点C作CD⊥AB于点D. ∵∠B=45°， ∴∠BCD=90°-∠B=45°. ∵∠ACB=75°， ∴∠ACD=∠ACB -∠BCD=30°. 答图4-18-2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 在Rt△ACD中，AC=6，∠ACD=30°， ∴CD=AC·cos∠ACD=6×cos 30°=3. 在Rt△BCD中，CD=3，∠B=45°， ∴BC=. 答图4-18-2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 生长变式：图形变式 （3）如图4-18-18，若∠B=45°，∠C=60°，求BC的长； 图4-18-18 解：如答图4-18-3，过点A作AE⊥BC于点E. 在Rt△ACE中，AC=6，∠C=60°， ∴AE=AC·sin C=6×sin 60°=3， CE=AC·cos C=6×cos 60°=3. 在Rt△ABE中，AE=3，∠B=45°， ∴BE=. ∴BC=BE+CE=3+3. 答图4-18-3 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 种子成树：综合创新 （4）在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数.如图4-18-19，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪BD，CE在AH两侧（点D，H，E在同一条直线上），BD=CE=1.6 m，点D与点E相距182 m，在B处测得筒尖顶点A的仰角为45°，在C处测得筒尖顶点A的仰角为53°.求风电塔筒AH的高度. (参考数据：sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈) 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 解：如答图4-18-4，连接BC交AH于点G. 由题意，得BD=CE=GH=1.6 m，BC=DE=182 m，BC⊥AH. 在Rt△ABG中，∠ABG=45°， ∴BG==AG. 在Rt△ACG中，∠ACG=53°， ∴CG=AG. 图4-18-19 答图4-18-4 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∵BG+CG=BC， ∴AG+AG=182.解得AG=104（m）. ∴AH=AG+GH=104+1.6=105.6（m）. 答：风电塔筒AH的高度约为105.6 m. 答图4-18-4 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 中考演练 （限时15分钟） 一、选择题 1. （2024·云南）如图4-18-20，在△ABC中，若∠B=90°，AB=3，BC=4，则tan A=（ ） A. B. C. D. 图4-18-20 C 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 2. （2024·临夏州）如图4-18-21，在△ABC中，AB=AC=5，sin B=，则BC的长是 （ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 图4-18-21 B 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 3. （2024·长春）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射. 如图4-18-22，当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a km，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为 （ ） A. a·sin θ km B. km C. a·cos θ km D. km 图4-18-22 A 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 4. （2023·广州）如图4-18-23，海中有一小岛A，在点B测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从点B出发由西向东航行10 n mile到达点C，在点C测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为 （ ） A. n mile B. n mile C. 20 n mile D. 10 n mile 图4-18-23 D 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 5. （2024·深圳）如图4-18-24，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8 m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5 m处用高1.5 m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子厂AB的高度为 （ ） A. 22.7 m B. 22.4 m C. 21.2 m D. 23.0 m 图4-18-24 A 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 二、填空题 6. （2024·绥化）如图4-18-25，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD=50 m，则这栋楼的高度为___________ m.（结果保留根号）  （50+50） 图4-18-25 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 7. （2024·盐城）如图4-18-26，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30 m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为　 　m. （结果精确到1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）  图4-18-26 17 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 8. （2024·眉山）如图4-18-27，斜坡CD的坡度i=1∶2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10 m，则大树AB的高为　 　m.   图4-18-27 （4） 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 三、解答题 9. （2023·成都）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.如图4-18-28，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5 m，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4 m，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.（结果精确到0.1 m，参考数据：sin 16°≈0.28，cos 16°≈0.96，tan 16°≈0.29） 图4-18-28 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 解：如答图4-18-5，过点A作AT⊥BC于点T，AK⊥CE于点K. 在Rt△ABT中，AB=5 m，∠BAT=16°， ∴BT=AB·sin∠BAT=5×sin 16°≈1.4（m）， AT=AB·cos∠BAT=5×cos 16°≈4.8（m）. ∵∠ATC=∠C=∠CKA=90°，∴四边形ATCK是矩形. ∴CK=AT=4.8 m，AK=CT=BC-BT=4-1.4=2.6（m）. 在Rt△ADK中，AK=2.6 m，∠ADK=45°， ∴DK==2.6（m）. ∴CD=CK-DK=4.8-2.6=2.2（m）. 答：阴影CD的长约为2.2 m. 答图4-18-5 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 10. （2024·广州）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面. 某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图4-18-29，该模拟装置在缓速下降阶段从点A垂直下降到点B，再垂直下降到着陆点C，从点B测得地面点D的俯角为36.87°，AD=17 m，BD=10 m. 图4-18-29 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （1）求CD的长； 解：（1）如答图4-18-6，过点B作BE∥CD，交AD于点E， 则∠BDC=∠EBD=36.87°. 在Rt△BCD中，BD=10 m，∠BDC=36.87°， ∴CD=BD·cos∠BDC=10×cos 36.87°≈8（m）. 答图4-18-6 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）若模拟装置从点A以每秒2 m的速度匀速下降到点B，求模拟装置从点A下降到点B的时间. （参考数据：sin 36.87°≈0.60，cos 36.87°≈0.80，tan 36.87°≈0.75） （2）在Rt△BCD中，BD=10 m，∠BDC=36.87°， ∴BC=BD·sin∠BDC=10×sin 36.87°≈6（m）. 在Rt△ACD中，AD=17 m，CD=8 m， ∴AC==15（m）. ∴AB=AC-BC=15-6=9（m）. ∴下降的时间为9÷2=4.5（s）. 答：模拟装置从点A下降到点B的时间约为4.5 s. 图4-18-29 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 命题趋势 （ 限时 5 分钟） （2024·广东改编）为解决停车问题，某小区在一段道路边的矩形空地上开辟一段斜列式停车位，如图4-18-30所示的矩形PQMN是该空地的平面示意图，所有停车位的形状、大小都相同，▱AFCQ是其中的一个停车位，每个停车位均有长5.5 m、宽2.5 m的矩形区域如矩形ABCD供停车，且∠AFC=60°. 　图4-18-30 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （1）每个停车位的面积大约为多少平方米？（结果保留整数，参考数据：≈1.7） 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥CF. 在Rt△ABF中，AB=2.5 m，∠AFC=60°， ∴AF=（m）， BF=（m）. ∵BC=5.5 m，∴CF=BC+BF=（m）. ∴S▱AFCQ=CF·AB=×2.5≈17（m2）. 答：每个停车位的面积大约为17 m2. 　图4-18-30 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）若矩形空地的长QM=60 m，则该空地最多可容纳多少个停车位？ （2）如答图4-18-7，设最后一个停车位的一个顶点落在点N上，即为▱GNIH. ∵所有停车位的形状、大小都相同， ∴∠GNI=∠AFC=60°，NI=CF= m. ∵四边形PQMN是矩形，∴∠M=∠PNM=90°. ∴∠INM=90°-∠GNI=30°.∴IM=（m）. 答图4-18-7 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∵QM=60 m，∴QI=QM-IM=（m）. ∵四边形AFCQ是平行四边形，∴QC=AF= m. ∴QI÷QC=≈19. 答：该空地最多可容纳19个停车位. 答图4-18-7 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 命题解读：根据最新课程标准和近三年广东中考命题动向，预测2025年广东中考命题方向可能注重考查锐角三角函数的基本概念和特殊角的三角函数值；强调解直角三角形在实际问题中的应用，可能会结合科技情境、生活情境或社会情境进行考查，也可能结合建筑、测量、航海等考查仰角和俯角、方位角、坡度和坡角等相关问题. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 谢 谢 ! 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 $$