第17课时 相似三角形-【中考必备】2025年教与学数学课件PPT（广东专版）

2025 教与学 中考必备 数 学 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 第一部分 知识梳理 第四章　三　角　形 第17课时　相似三角形 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 目 录 CONTENTS 01 课前循环练 02 课标要求 03 考点梳理 04 广东中考 05 高分击破 06 中考演练 07 命题趋势 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 课前循环练 （限时5分钟） 1. （广东真题）坐标平面内下列各点中，在x轴上的点是 （ ） A. （0，3） B. （-3，0） C. （-1，2） D. （-2，-3） B 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 2. （广东真题）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图4-17-1是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的前面，则这个正方体的后面是 （ ） A. 0 B. 6 C. 快 D. 乐 图4-17-1 B 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 3. （广东真题）如图4-17-2，三条平行线l1，l2，l3分别与另外两条直线相交于点A，C，E和点B，D，F，且AC≠CE，AC≠BD，则下列四个式子中，错误的是 （ ） A. = B. = C. = D. = 图4-17-2 C 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 4. （广东真题）如图4-17-3，菱形ABCD的对角线AC=24，BD=10，则菱形的周长为　 　.   图4-17-3 52 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 5. （广东真题）如图4-17-4，在△ABC中，AC=BC，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，若∠ADC=∠CAD，则∠ABC=　 　.   图4-17-4 36° 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ①了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割. ②通过具体实例认识图形的相似. 了解相似多边形和相似比. ③掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. ④了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似. *了解相似三角形判定定理的证明. 课标要求 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ⑤了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方. ⑥了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小. ⑦会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. ⑧在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 对接教材 人教：九下第二十七章　相似 北师：九上第四章　图形的相似　 考点梳理 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 考点复习 1.比例线段的性质 （1）如果=，那么　 .  （2）如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么=  　.  （3）如果==…=（b+d+…+n≠0），那么=  　.  （4）平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 ad=bc　 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 广东省对应考点例题 例1. （1）如果线段a，b，c，d满足==，那么=  　；  （2）如图4-17-5，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A，B，C和点D，E，F.若=，DE=4，则DF的长是 （ ） A. B. C. 10 D. 6 图4-17-5 C 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 2.黄金分割 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），如果=，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比为≈0.618 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例2. 已知点C是线段AB的黄金分割点，并且AC>CB，如果AB=1，那么AC的长度为 （ ） A. 　　　　　　　　B. C. D. C 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 3.相似三角形 三角分别　 　、三边　 的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做　 　  例3. 已知△ABC∽△ACD，若AB=5，AC=4，则AD= 　.  相等 成比例　 相似比 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 4.相似三角形的判定 （1）两角分别　 　的两个三角形相似.  （2）两边　 　且夹角　 　的两个三角形相似.  （3）三边　 的两个三角形相似.  （4）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 相等 成比例 相等 成比例　 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例4. 如图4-17-6，P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，请从图中找出两对相似三角形：________________________________ 　 .  图4-17-6 　△EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP （答案不唯一） 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 5.相似三角形的性质 （1）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于 　 　.  （2）相似三角形的周长比等于　 ，面积比等于　 　  相似比 相似比 相似比的平方 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例5. 已知△ABC∽△DEF. （1）若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为  　；  （2）若△ABC与△DEF的面积比为，则△ABC与△DEF的周长比为  　.  返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 6.相似多边形 各角分别　 　、各边　 的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做　 　  相等 成比例　 相似比 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例6. 如图4-17-7所示的两个四边形相似，则x+y=　 　，α=　 　.  图4-17-7 63 85° 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 7.相似多边形的性质 （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比等于相似比. （2）相似多边形的周长比等于　 　，面积比等于_____________ 例7. 已知正方形ABCD的面积为9 cm2，正方形A1B1C1D1的面积为16 cm2，则两个正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的相似比为　 　.  相似比 相似比的平方 3∶4 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 8.图形的位似 （1）位似图形的定义：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时相似比又称位似比. （2）位似图形的性质 ①位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于　 　；  ②位似图形的对应角　 ，对应边　 ；  ③位似图形的对应线段　 （或在同一条直线上）；  相似比 相等　 成比例　 平行　 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ④在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形　 　，位似中心是 　 　，它们的相似比为  　  位似 坐标原点 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例8. 如图4-17-8，在边长为1的正方形网格中，有一个△ABC，已知A，B，C三点的坐标分别是A（1，0），B（2，-1），C（3，1）. （1）请在网格图形中画出平面直角坐标系； 图4-17-8 答图4-17-1 解：（1）如答图4-17-1. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）以原点O为位似中心，将△ABC放大2倍，画出放大后的△A'B'C'；（画一个即可） （3）写出△A'B'C'各顶点的坐标：A’　 　 ，B’　 　， C’　 　.  答图4-17-1 （-2，0） （-4，2） （-6，-2） 解：（2）如答图4-17-1. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 广东中考 1. （2023·广东题6，3分，黄金分割）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献. 优选法中有一种0.618法应用了 （ ） A. 黄金分割数 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 A 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 2. （2023·广东题15，3分，相似三角形的判定与性质）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图4-17-9），则图中阴影部分的面积为　 　.   图4-17-9 15 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 3. （2024·广东题22节选，4分，相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理）如图4-17-10，在△ABC中（AB<BC），DE是△ABC的中位线. 连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A'DC'，连接A'B，C'C，作△A'BD的中线DF. 求证：2DF·CD=BD·CC'. 图4-17-10 证明：如答图4-17-2，连接AA'. ∵DE是△ABC的中位线，DF是△A'BD的中线， ∴AD=BD，A'F=BF. ∴DF是△AA'B的中位线.∴AA'=2DF. 答图4-17-2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 由旋转的性质，得∠ADA'=∠CDC'，A'D=AD，C'D=CD， ∴.∴△ADA'∽△CDC'. ∴.∴AA'·CD=AD·CC'. ∵AA'=2DF，AD=BD，∴2DF·CD=BD·CC'. 答图4-17-2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 高分击破 【典型考点】相似三角形的判定与性质 得分点分析 1. （2024·上海节选）如图4-17-11，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD.求证：AD2=DE·DC. 图4-17-11 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 证明：∵四边形是ABCD矩形， ∴∠ADE=∠BAD=90°，AB=DC. ·········· 1分（利用矩形的性质得1分） ∴∠ABD+∠ADB=90°. ···················2分（利用直角三角形的性质得1分） ∵AE⊥BD，∴∠DAE+∠ADB=90°. ········3分（利用直角三角形的性质得1分） ∴∠DAE=∠ABD. ·······························································4分（等量代换得1分） 又∵∠ADE=∠BAD，∴△ADE∽△BAD. ·5分（利用相似三角形的判定得1分） ∴=，即AD2=DE·BA. ························· 6分（利用相似三角形的性质得1分） 又∵AB=DC，∴AD2=DE·DC. ········································7分（等量代换得1分） 图4-17-11 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 温馨提示：此类考题可能见于广东省中考数学试卷的第18题，分值一般为7分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全对，评卷老师是分步给分的哦！ 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【典型错例】相似三角形中的分类讨论 2. 如图4-17-12，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在边AC上，且AD=2，在AB上是否存在一点E，使得以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出所有符合条件的AE的长；若不存在，请说明理由. 图4-17-12 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 解：存在. 分两种情况讨论： ①如答图4-17-3，当∠ADE=∠C时， ∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，∴△AED∽△ABC. ∴； 答图4-17-3 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ②如答图4-17-4，当∠ADE=∠B时， ∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，∴△ADE∽△ABC. ∴. 综上所述，符合条件的AE的长是. 答图4-17-4 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 错解分析 错解：存在. 如图4-17-13，当∠ADE=∠C时， ∵∠A=∠A，∠ADE=∠C， ∴△AED∽△ABC. ∴=.∴AE===. 剖析：该解答过程的错误在于只讨论了存在的一种情况，导致漏解.解题时要注意应分两种情况进行讨论：①当∠ADE=∠C时；②当∠ADE=∠B时. 图4-17-13 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【生长式训练】知识生长→变式创新 3. （中考创新，原创题）如图4-17-14，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上. 知识种子：基本概念 （1）若DE∥AB，DE=6，AB=10，CE=3，则AE=　 　；  图4-17-14 2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 种子生长：相似三角形的判定与性质 （2）在（1）的条件下，若∠B=∠CAD. ①求证：△ABD∽△DAE； ①证明：∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE. 又∵∠B=∠CAD，∴△ABD∽△DAE. 图4-17-14 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ②求AD的长； ②解：∵△ABD∽△DAE， ∴. 解得AD=2（负值已舍去）. ∴AD的长为2. 图4-17-14 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 生长变式：图形变式 （3）若AB=AC，∠B=∠ADE.求证：AB·CE=BD·CD； 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE， ∴∠BAD=∠CDE.∴△ABD∽△DCE. ∴. ∴AB·CE=BD·CD. 图4-17-14 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 种子成树：综合创新 （4）如图4-17-15，若∠B=∠ADE=2∠C，AB=8，BC=10，且BD=CE，求BD的长. 图4-17-15 解：如答图4-17-5，延长CB到点G，使GB=AB=8， 则∠G=∠BAG. ∴∠ABC=∠G+∠BAG=2∠G，CG=GB+BC=18. 又∵∠ABC=2∠C， ∴∠G=∠C.∴AG=AC. 答图4-17-5 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 过点A作AH⊥BC于点H，则CH=CG=9. ∴BH=BC-CH=1. ∴AH=. ∴AC==12. ∴cos C=. 作CE的中垂线交AC于点P，交BC于点N，则CN=EN. ∴∠C=∠NEC. 设BD=CE=x，则PC=x. ∴CN=x. 答图4-17-5 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∴EN=x. ∵∠DNE=∠NEC+∠C=2∠C，∠ABC=2∠C， ∴∠ABC=∠DNE. ∵∠ABC=∠ADE，同（3）可得∠BAD=∠CDE. ∴△ABD∽△DNE. ∴. 经检验，x=是原分式方程的解，且符合题意. ∴BD的长为. 答图4-17-5 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 中考演练 （限时15分钟） 一、选择题 1. （2024·重庆）若两个相似三角形的相似比为1∶4，则这两个三角形面积的比是 （ ） A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶8 D. 1∶16 D 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 2. （2024·连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为 （ ） 图4-17-16 D 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 3. （2024·哈尔滨）如图4-17-17，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，EF∥AD交CD于点F. 若AE∶BE=1∶2，DF=3，则FC的长为（ ） A. 6　　　　　 B. 3　　　　 C. 5　　　　 D. 9 图4-17-17 A 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 4. （2024·河南）如图4-17-18，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F. 若AB=4，则EF的长为 （ ） A. 　　　　　 B. 1　　　　　 C. 　　　 D. 2 图4-17-18 B 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 5. （2024·绥化）如图4-17-19，矩形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是 （ ） A. （9，4） B. （4，9） C. D. 图4-17-19 D 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 二、填空题 6. （2024·滨州）如图4-17-20，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上. 添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是__________________ 　 . （写出一种情况即可）  图4-17-20 　∠ADE=∠C （答案不唯一） 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 7. （2024·山西，数学文化）黄金分割是汉字结构最基本的规律. 借助如图4-17-21所示的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观. 已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且=.若NP=2 cm，则BC的长为　 cm.（结果保留根号）  图4-17-21 （-1） 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 8. （2024·重庆）如图4-17-22，在△ABC中，延长AC至点D，使CD=CA，过点D作DE∥CB，且DE=DC，连接AE交BC于点F.若∠CAB=∠CFA，CF=1，则BF=　 　.  图4-17-22 3 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 三、解答题 9. （2024·广州）如图4-17-23，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2. 求证：△ABE∽△ECF. 图4-17-23 证明：∵BE=3，EC=6，∴BC=BE+EC=3+6=9. ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=9，∠B=∠C=90°. ∵. 又∵∠B=∠C，∴△ABE∽△ECF. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 10. （2024·临夏州节选）如图4-17-24，在矩形ABCD中，E为AD边上不与端点重合的一动点，F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE=∠DAF. 【模型建立】 （1）求证：AF⊥BE； 图4-17-24 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°. ∵∠ABE=∠DAF， ∴∠AOE=∠BAF+∠ABE=∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°. ∴AF⊥BE. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【模型应用】 （2）若AB=2，AD=3，DF=BF，求DE的长. 图4-17-24 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）解：如答图4-17-6，延长AF交CD于点G. ∵DF=. ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAE=∠ADG=90°. ∴△GFD∽△AFB.∴AB=1. ∵∠BAE=∠ADG=90°，∠ABE=∠DAG，∴△ABE∽△DAG. ∴. ∴DE=AD-AE=3-. 答图4-17-6 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 命题趋势 （ 限时 5 分钟） （原创题）如图4-17-25，在△ACB中，射线AF平分∠CAB，D，F是射线AF上两点，CD=CE，BE=BF. （1）求证：AE2=AD·AF； 图4-17-25 （1）证明：∵AF平分∠CAB，∴∠1=∠2. ∵CD=CE，BE=BF，∴∠3=∠4，∠5=∠6. ∵∠4=∠5，∴∠3=∠4=∠5=∠6. ∵∠1=∠2，∠4=∠6， ∴△ACE∽△ABF. ∴. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∵∠3=∠5，∴180°-∠3=180°-∠5，即∠ADC=∠AEB. 又∵∠1=∠2，∴△ADC∽△AEB. ∴. ∴. ∴AE2=AD·AF. 图4-17-25 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）若CD∶BF=2∶3，求的值. （2）解：∵CD∶BF=2∶3，BE=BF， ∴CD∶BE=2∶3. 由（1）知△ADC∽△AEB， ∴. 图4-17-25 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 命题解读：根据最新课程标准和近三年广东中考命题动向，预测2025年广东中考命题方向可能注重考查相似三角形的基本概念、性质和判定方法，如通过具体图形判断三角形相似的条件、利用相似三角形的判定方法进行证明、利用相似三角形的性质进行计算等；强调与其他几何知识的综合运用，可能与四边形、圆等结合；可能会考查综合探究类题型，通过变换图形位置或构造特殊图形综合考查；还可能会结合实际生活情境进行考查. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 谢 谢 ! 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 $$