第15课时 等腰三角形、等边三角形、直角三角形-【中考必备】2025年教与学数学课件PPT（广东专版）

2025 教与学 中考必备 数 学 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 第一部分 知识梳理 第四章　三　角　形 第15课时　等腰三角形、等边三角形、直角三角形 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 目 录 CONTENTS 01 课前循环练 02 课标要求 03 考点梳理 04 广东中考 05 高分击破 06 中考演练 07 命题趋势 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 课前循环练 （限时5分钟） 1. （广东真题）关于x的方程2（x-1）-a=0的根是3，则a的值为（ ） A. 4 B. -4 C. 5 D. -5 A 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 2. （广东真题）如图4-15-1，某个反比例函数的图象经过点P，则它的解析式为 （ ） A. y=（x>0） B. y=-（x>0） C. y=（x<0） D. y=-（x<0） 图4-15-1 D 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 3. （广东真题）下列说法正确的是 （ ） A. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B. 等腰三角形是轴对称图形，也是中心对称图形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 有两边平行的四边形是梯形 C 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 4. （广东真题）若∠A是锐角，cos A=，则∠A=　 　.   5. （广东真题）如图4-15-2，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P.若AP ∶PB=1∶4，CD=8，则AB=　 　.   图4-15-2 30° 10 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ①理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合. 探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°. 探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形. ②理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形. 课标要求 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ③探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题. ④探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. ⑤理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 对接教材 人教：八上第十三章　轴对称（13.3等腰三角形）；八下第十七章　勾股定理 北师：八上第一章　勾股定理；八下第一章　三角形的证明 　 考点梳理 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 考点复习 1.等腰三角形的概念 有　 　相等的三角形是等腰三角形  两边 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 广东省对应考点例题 例1. 如图4-15-3，AB=AC，AD=BD=DE=CE=AE，则图中共有　 　个等腰三角形，有　 　个等边三角形.  图4-15-3 4 1 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 2.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两条腰　 　，两个底角　 　，简称等边对等角.  （2）等腰三角形顶角的　 　、底边上的　 　及底边上的高线互相重合，简称“三线合一”.  （3）等腰三角形是轴对称图形，有　 　条对称轴  相等 相等 平分线 中线 1 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例2. 如图4-15-4，在△ABC中，AB=AC，AD是边BC上的高，BC=8 cm，则BD=　 　cm.  　图4-15-4 4 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 3.等腰三角形的判定 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形. （2）有两个　 　相等的三角形是等腰三角形，简称等角对等边  角 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例3. 如图4-15-5，AD是△ABC的边BC上的高，添加一个条件使△ABC是等腰三角形：　 　.（写一个即可）  图4-15-5 BD=CD（答案不唯一） 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 4.等边三角形的性质 （1）等边三角形的三条边都　 　，每个角都等于　 　.  （2）等边三角形是轴对称图形，有　 　条对称轴  相等 60° 3 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例4. 如图4-15-6，△ABC是等边三角形，边长为2，AD⊥BC，则∠B= 　 　，∠BAD=　 　，BD=　 　，△ABC的周长为　 　.  　图4-15-6 60° 30° 1 6 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 5.等边三角形的判定 （1）三条边都相等的三角形是等边三角形. （2）三个角都相等的三角形是等边三角形. （3）有一个角等于60°的　 　是等边三角形.  （4）有两个角等于　 　的三角形是等边三角形  等腰三角形 60° 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例5. 在△ABC中，如果AB=AC，　 （只添加一个条件），则△ABC为等边三角形.  BC=AB（答案不唯一）　 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 6.直角三角形的性质 （1）直角三角形的两个锐角　 　.  （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的　 　.  （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于　 .  （4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于　 　.（解答题需证明使用）  （5）勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的　 　  互余 一半 斜边的一半　 30° 平方 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例6. （1）如图4-15-7，在Rt△ABC中，∠ABC=90°.若AC=2BC，则∠A= 　 　；若D为斜边AC的中点，且AC=5，则BD= 　；  30° 图4-15-7 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）如图4-15-8，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=4，则∠EAC=　 　，AC=　 　；  （3）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则AB的长是  　.  图4-15-8 60° 2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 7.直角三角形的判定 （1）有一个角是　 　的三角形是直角三角形.  （2）有两个角　 　的三角形是直角三角形.  （3）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. （4）如果三角形一边上的　 　等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（解答题需证明使用）  90° 互余 中线 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例7. （1）如图4-15-9，已知P是射线ON上一动点（即点P可在射线ON上运动），若∠AON=30°，则当∠A=　 时，△AOP是直角三角形；  图4-15-9 60°或90°　 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）如图4-15-10，在△ABC中，AD=DC=BD，则∠ABC=　 　.  图4-15-10 90° 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 8.角平分线的性质与判定 （1）性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离　 　.  （2）判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离　 　的点在这个角的平分线上  相等 相等 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例8. 如图4-15-11，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，AB=6，则△ABD的面积为　 　.  图4-15-11 6 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 9.线段的垂直平分线 （1）线段的垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线. （2）性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离____ 　 　.  （3）判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____ 　 　上  相等 垂直平分线 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例9. 如图4-15-12，在△ABC中，边AB的中垂线分别交BC，AB于点D，E，AE=3 cm，△ADC的周长为9 cm，则△ABC的周长是　 　cm.  图4-15-12 15 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 广东中考 1. （2020·广东题17，4分，直角三角形斜边上的中线；点与圆的位置关系）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉. 把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图4-15-13.∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2. 在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为　 　.   图4-15-13 2-2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 2. （2021·广东题20，6分， 解直角三角形；线段垂直平分线的性质）如图4-15-14，在Rt△ABC中，∠A=90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE=AB. （1）若AE=1，求△ABD的周长； 图4-15-14 解：（1）作图如答图4-15-1，连接BD. ∴BD=CD. ∵AB=CE， ∴△ABD的周长为AB+AD+BD=CE+AD+CD=AE=1. 答图4-15-1 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）若AD=BD，求tan∠ABC的值. （2）设AD=x，则BD=3x. ∵BD=CD，∴AC=AD+CD=4x. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 AB=x. ∴在Rt△ABC中，tan∠ABC=. 答图4-15-1 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 高分击破 【典型考点】等腰三角形的判定 得分点分析 1. （2020·广东）如图4-15-15，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F.求证：△ABC是等腰三角形. 图4-15-15 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 证明：在△BDF和△CEF中， ···························1分（列出三角形全等的条件得1分） ∴△BDF≌△CEF（AAS）. ··2分（写出三角形全等的结论及依据得1分） ∴BF=CF. ··················3分（利用全等三角形的对应边相等的性质得1分） ∴∠FBC=∠FCB. ····································4分（利用“等边对等角”得1分） ∴∠FBC+∠ABE=∠FCB+∠ACD，即∠ABC=∠ACB. ······5分（此步得1分） ∴AB=AC. ·············································6分（利用“等角对等边”得1分） ∴△ABC是等腰三角形. ··················7分（利用等腰三角形的判定得1分） 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 温馨提示：此类考题常见于广东省中考数学试卷的第18题，分值一般为7分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全对，评卷老师是分步给分的哦！ 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【典型错例】等腰三角形性质的综合运用漏解 2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求该等腰三角形顶角的度数. 解：①如答图4-15-2，当等腰三角形ABC为锐角三角形时， ∵∠ABD=50°，BD⊥AC， ∴∠A=90°-∠ABD=40°. ∴此时三角形的顶角为40°； 答图4-15-2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ②如答图4-15-3，当等腰三角形ABC为钝角三角形时， ∵BD⊥AC，∴∠BDA=90°. ∵∠ABD=50°，∴∠BAC=∠ABD+∠BDA=140°. ∴此时三角形的顶角为140°. 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为40°或140°. 答图4-15-3 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 错解分析 错解：如图4-15-16，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD为AC边上的高. 由题意知∠ABD=50°， ∴∠A=90°-∠ABD=40°. ∴该等腰三角形顶角的度数为40°. 剖析：该解答过程的错误在于直接默认等腰三角形是锐角三角形，忽视了还有钝角三角形的情况.本题要进行分类讨论，分等腰三角形的顶角是锐角和等腰三角形的顶角是钝角两种情况，再分别解答. 图4-15-16 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【生长式训练】知识生长→变式创新 3. （中考创新，原创题）如图4-15-17，△ACB和△DCE均是顶角为40°的等腰三角形，AB，DE分别是底边，连接AD，BE，点A，D，E在同一直线上. 知识种子：基本概念 （1）填空：∠BAC=　 ，∠ADC=　 ；  图4-15-17 70° 110° 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 种子生长：等腰三角形的性质 （2）求证：AD=BE； 证明：∵△ACB和△DCE均是顶角为40°的等腰三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=40°. ∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，即∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE（SAS）. ∴AD=BE. 图4-15-17 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 生长变式：图形变式 （3）如图4-15-18，若△ACB和△DCE均是等边三角形，连接AD，BE，点A，D，E在同一直线上. ①求∠AEB的度数； 图4-15-18 解：∵△ACB和△DCE均是等边三角形， ∴CA=CB，CD=CE=DE，∠ACB=∠DCE=∠CDE=∠CED=60°. ∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，即∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE（SAS）. ∴AD=BE，∠ADC=∠BEC. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ①∵∠CDE=60°，点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC=180°-∠CDE=120°. ∴∠BEC=∠ADC =120°. ∵∠CED=60°， ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°. 图4-15-18 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ②AE=BE+CE. 理由：∵AE=AD+DE，AD=BE，DE=CE， ∴AE=BE+CE. 图4-15-18 ②求线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由； 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 种子成树：综合创新 （4）如图4-15-19，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD，BE，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE的边DE上的高. ①求∠AEB的度数； 图4-15-19 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 解：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°. ∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，即∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD=BE，∠ADC=∠BEC. 图4-15-19 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ①∵△DCE是等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°. ∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=180°-∠CDE=135°. ∴∠BEC=∠ADC=135°.∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°. 图4-15-19 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ②AE= BE+2CM. 理由：∵CM为△DCE的边DE上的高，∴CM⊥DE. 又∵CD=CE，∴DM=EM. ∵∠DCE=90°，∴DE=2CM. ∵AE=AD+DE，AD=BE，DE=2CM，∴AE=BE+2CM. 图4-15-19 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 中考演练 （限时15分钟） 一、选择题 1. （2024·青海）如图4-15-20，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD=2，则点P到OA的距离是 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 图4-15-20 C 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 2. （2024·兰州）如图4-15-21，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，则∠ADB= （ ） A. 100° B. 115° C. 130° D. 145° B 图4-15-21 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 3. （2024·青海）如图4-15-22，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6，则BC的长是 （ ） A. 3 B. 6 C. D. 3 图4-15-22 A 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 4. （2024·凉山州）如图4-15-23，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB交BC于点D.若△ACD的周长为50 cm，则AC+BC= （ ） A. 25 cm B. 45 cm C. 50 cm D. 55 cm 图4-15-23 C 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 5. （2024·广州）如图4-15-24，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为 （ ） A. 18 B. 9 C. 9 D. 6 图4-15-24 C 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 二、填空题 6. （2023·丽水）如图4-15-25，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B=∠ADB. 若AB=4，则DC的长是　 　.   图4-15-25 4 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 7. （2024·重庆）如图4-15-26，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D. 若BC=2，则AD的长度为　 　.   图4-15-26 2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 8. （2023·随州）如图4-15-27，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的平分线，则AD=　 　.   图4-15-27 5 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 三、解答题 9. （2024·宜宾）如图4-15-28，D，E分别是等边三角形ABC边BC，AC上的点，且BD=CE，BE与AD交于点F. 求证：AD=BE. 图4-15-28 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABD=∠C=60°，AB=BC. 在△ABD和△BCE中， ∴△ABD≌△BCE（SAS）. ∴AD=BE. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 10. （2022·温州）如图4-15-29，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E. （1）求证：∠EBD=∠EDB； （1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD=∠EBD. ∵DE∥BC，∴∠CBD=∠EDB. ∴∠EBD=∠EDB. 　图4-15-29 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由. （2）解：CD=ED. 理由：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C. ∵DE∥BC，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC. ∴∠ADE=∠AED. ∴AD=AE. ∴AC-AD=AB-AE，即CD=BE. 由（1）知∠EBD=∠EDB，∴BE=ED. ∴CD=ED. 　图4-15-29 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 命题趋势 （ 限时 5 分钟） （教材改编）如图4-15-30，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，分别交边AC，BC于点D，E，BF⊥AC，且F是线段AD的中点，延长BF与BC的垂直平分线交于点G，连接CG. （1）若D是AC的中点，求证：AC=2AB； 证明：（1）如答图4-15-4，连接BD. ∵DE是边BC的垂直平分线，∴DB=DC. ∵BF⊥AC，F是AD的中点，∴AB=DB. ∴AB=DC. 又∵D是AC的中点，∴AC=2DC=2AB. 图4-15-30 答图4-15-4 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）若∠ACB=30°，求证：△BGC为等边三角形. （2）∵DE是边BC的垂直平分线， ∴BG=CG. ∴△BGC为等腰三角形. ∵BF⊥AC，∴∠BFC=90°. ∵∠ACB=30°， ∴∠GBC=90°-∠ACB=60°. ∴△BGC为等边三角形. 图4-15-30 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 命题解读：根据最新课程标准和近三年广东中考命题动向，预测2025年广东中考命题方向可能注重考查等腰三角形、等边三角形、直角三角形的基本概念、性质和判定方法；注重考查角平分线、垂直平分线的性质，可能会结合尺规作图一起考查；强调与其他知识点的综合考查，如与三角形的全等、相似、三角函数、圆等结合；还可能会结合实际生活情境进行考查. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 谢 谢 ! 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 $$