第7章 锐角三角函数 单元复习卷2024-2025学年苏科版九年级数学下册

苏科版九年级数学下册第7章《锐角三角函数》单元复习卷 一、单选题（本大题共10小题） 1．在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 2． 的值等于（ ）． A． B． C． D． 3．如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，．将菱形沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形，其中点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 4．图(1)为一个土堆,我们可以把它的截面看成一个等腰△ABC(如图(2))．其中斜坡AB和AC与水平地面BC的夹角为20°,最高处A距离地面0．8米,则下列说法正确的是 (　　) A．斜坡AB的坡度是20° B．斜坡AC的坡度是tan 20° C．BC=米 D．AB=米 5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是(　　) (第6题图) A．sin B＝ B．sin B＝ C．sin C＝ D．sin C＝ 6．sin 30°的值为（　　） A． B． C． D． 7．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是（　　） A．5 B． C．10﹣ D．15﹣ 8．如图,在正方形方格纸中,每个小正方形的边长都相等,A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于点P,则cos∠APC的值为 (　　) A． B． C． D． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F.若BC＝4，sin∠CEF＝，则△AEF的面积为() A．3 　　B．4 C．5 D．6 10．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点A与点重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题） 11．在Rt△ABC中，AB是斜边，AB＝10，BC＝6，则cosA＝ ． 12． ． 13．已知为的一个锐角，且，则的值为 ． 14．如图，在中，，，点在边上，且，则 ， ．    15．如图,若点A的坐标为(1, ),则sin∠1=____. 16．无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输等方面发挥着重要作用.在如图所示的某次测量中，无人机在小山上方的处，测得小山两端，的俯角分别是 和 ，此时无人机距直线的垂直距离是200米，则小山两端，之间的直线距离是  米.（结果保留根号） 三、解答题（本大题共7小题） 17．计算： 18．西安丰庆公园是现代生态景观与历史文化景观融为一体的皇家园林，公园中的怡心阁是园内的最高建筑．某数学活动小组想测量怡心阁的高度，借助测角仪与标杆测量怡心阁的高度：小明沿后退到F恰好看到标杆顶端C与怡心阁的顶端A重合，小明继续后退到点H用测角仪测得怡心阁顶端A的仰角为，已知小明的眼睛到地面的距离，，，，B、D、F、H在同一直线上，和均与垂直，测量示意图如图所示，请你根据以上测量信息，求怡心阁的高度．（参考数据：，，，结果精确到1米） 19．小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶处测得大厦底部的俯角是 ，测得大厦顶部的仰角是 ，已知他家楼顶处距地面的高度为40米（图中点，，，均在同一平面内）. （1）求两楼之间的距离（结果保留根号）； （2）求大厦的高度（结果取整数）. （参考数据：，，，） 20．计算：cos230°+sin245°﹣tan60°•tan30° 21．如图，一艘船从处出发沿着正东方向航行，此时岸边的瞭望塔在处的西北方向上；当天到达处，此时瞭望塔在处的北偏西方向上，已知该船的平均速度是30海里/小时，问：的面积是多少平方海里？（结果精确到0.1，参考数据：，） 22．如图，在中，，点E在上，且，，，求的长及的值． 23．小强家想在青岛某小区买一套房子，要求每天至少有2个小时的满窗日照（图1为满窗日照，图2为非满窗日照），小强先查阅了相关资料，得到如下信息： 信息1：北半球冬至日太阳高度角（太阳光线与水平线的夹角）最小，若这一天的和这2个时刻能有满窗日照，则整年每天都至少有2个小时的满窗日照； 信息2：如图3，该小区每座楼均为16层，每层楼高2.8米且装有落地窗，小区冬至日和的太阳高度角均为． 某日小强到该小区进行实地勘测，他在6楼看房时恰好阳光开始射入屋内（太阳光线射在6楼窗户的上边缘），此时太阳高度角． （1）　　米； （2）小强家要在该小区买房，至少买几楼才能达到要求？ （参考数据：，，，，， 参考答案 1．【答案】C 【详解】解：在中，，，， ∴， 故此题答案为C． 2．【答案】C 【详解】解： 故此题答案为C． 3．【答案】A 【分析】如图，过作轴于，求解，，可得，求解，，可得，再利用平移的性质可得． 【详解】解：如图，过作轴于，    ∵菱形的顶点A的坐标为，, ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵将菱形沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度， ∴. 故此题答案为A. 【关键点拨】此题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，图形的平移，熟练的求解B的坐标是解此题的关键． 4．【答案】B 【解析】A选项,斜坡AB的坡角是20°,而不是坡度是20°,本选项说法错误,不符合题意.B选项,斜坡AC的坡度是tan 20°,本选项说法正确,符合题意.C选项,如图,过点A作AD⊥BC于D. ∵AB=AC,AD⊥BC,∴BC=2BD.在Rt△ABD中,BD==米,∴BC=米,本选项说法错误,不符合题意.D选项,AB==米,本选项说法错误,不符合题意. 5．【答案】C 【解析】由题意可知，△ABD，△ACD和△ABC都是直角三角形. 选项 判断 结论 A 在Rt△ABD中，sin B＝ 正确 B 在Rt△ABC中，sin B＝ 正确 C 在Rt△ACD中，sin C＝ 错误 D 在Rt△ABC中，sin C＝ 正确 故选C. 6．【答案】C 【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】解：sin 30°＝ 故此题答案为C 【关键点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键． 7．【答案】D 【分析】过点B作BM⊥FD于点M，由已知条件易求出BC长度，由AB∥CF求出∠BCM，进而求出BM、MC，再由等腰三角形性质求出MD, 进而可得出答案． 【详解】解答：解：过点B作BM⊥FD于点M， 在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10， ∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝， ∵AB∥CF， ∴BM＝BC×sin30°＝×＝， CM＝BC×cos30°＝15， 在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°， ∴∠EDF＝45°， ∴MD＝BM＝， ∴CD＝CM﹣MD＝15﹣． 故此题答案为D． 8．【答案】B　 【详解】 设每个小正方形的边长为1.把AB向上平移一个单位到DE,连接CE,如图.∵DE∥AB,∴∠APC=∠EDC.在△DCE中,EC==,DC==2,DE==5.∵EC2+DC2=DE2,∴△DCE为直角三角形,∠DCE=90°,∴cos∠APC=cos∠EDC==.故选B. 9．【答案】C 【解析】如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.∵EF⊥AB，∴CD∥EF，∴∠DCE＝∠CEF.在Rt△CDE中，sin∠DCE＝sin∠CEF＝＝，设DE＝3x，则CE＝5x，∴CD＝＝4x.在Rt△ABC中，∵CE是斜边AB上的中线，∴CE＝BE＝EA＝5x，∴AB＝2BE＝10x，BD＝BE－DE＝2x.在Rt△BCD中，BC2＝BD2＋CD2，BC＝4，∴42＝(4x)2＋(2x)2，∴x＝(负值已舍去).∵∠CDA＝∠FEA，∠A＝∠A，∴△ACD∽△AFE，∴＝，∴＝，∴EF＝x＝× ＝.∵AE＝5x＝2，∴S△AEF＝EF·AE＝××2＝5.故选C. 10．【答案】C 【分析】根据折叠后所形成的图形全等，利用三角函数的定义解答即可． 【详解】由题意可知：， 设，则， 在中， ， ∴， ∴， ∴， 故此题答案为：C 【关键点拨】本题主要考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻． 11．【答案】 【分析】根据勾股定理求出AC，根据余弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：在Rt△ABC中，AB是斜边，AB=10，BC=6， 由勾股定理得，AC==8， 则cosA= 12．【答案】 【分析】根据即可求解． 【详解】解：. 13．【答案】或 【分析】讨论：当时，先利用勾股定理计算出，然后利用正切的定义求解；当时，直接利用正切的定义求解． 【详解】当时，， 所以； 当时，, 综上所述，的值为或． 14．【答案】 / 【分析】先由等腰三角形的性质和三角形外角性质可以求出，再利用所对直角边是斜边的一半，求出，由勾股定理得，最后由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 故此题答案为：，． 【关键点拨】此题考查了勾股定理，所对直角边是斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形外角性质，解直角三角形，解题的关键熟练掌握以上知识的应用． 15．【答案】 【详解】过点A作AB⊥x轴于点B.由勾股定理,得OA= =2,所以sin∠1= = . 【思路分析】根据勾股定理,可得OA的长,再根据正弦的定义可得答案. 16．【答案】 【解析】如图，作于，则米.由题意得 ， ， ， ，（米），（米），米，故答案为. 17．【答案】 【分析】先代入特殊角的三角函数值、化简二次根式、负整数指数次幂、绝对值，然后合并解题即可． 【详解】解：原式 ． 18．【答案】米 【分析】延长分别交，于点，证明，根据相似三角形的性质求得，在中，根据求得的值，进而求得的长． 【详解】解：如图所示，延长分别交，于点， 依题意，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 在中，， 解得：， ∴米． 【关键点拨】此题考查了相似三角形的性质，解直角三角形的应用，掌握相似三角形的性质以及三角函数的应用是解题的关键． 19．【答案】（1） 如图，作于点，则. 由题意知 ， ，，故，即两楼之间的距离为米. （2） 由题意知 ， 四边形是矩形，，. 在中， ，， （米），即大厦的高度为92米. 20．【答案】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算即可． 【详解】解：原式＝． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 21．【答案】平方海里 【分析】过点作于点，海里，根据锐角三角函数的概念求出的值，再求出的面积． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：（海里）， , , 设海里， 中，， ， ， ， （海里）， 的面积（平方海里） 22．【答案】，. 【分析】由题意设，则，可得，可得，即，可得，，再求解，从而可得答案. 【详解】解：，， ∴，设，则， ∵，则， ∵，， ∴，即， ∴，， ∴， ∴. 【关键点拨】本题考查的是解直角三角形，熟练的利用锐角三角函数求解直角三角形的边长是解本题的关键. 23．【答案】（1）28；（2）小强家要在该小区买房，至少买5楼才能达到要求． 【详解】解：（1）该小区每座楼均为16层，每层楼高2.8米且装有落地窗，（米，（米，（米； （2），，（米，（米，，（米，（米，（米，小强家要在该小区买房，至少买4楼才能达到要求 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$