精品解析：广东省深圳明德实验学校（集团）高级中学大鹏校区2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题

深圳明德实验学校（集团）高级中学大鹏校区 2024-2025学年第一学期期末质量检测 高二数学试卷 命题人：代员禛 审题人：饶倩倩 试卷满分：150分 考试时间：120分 一、单选题（每小题5分，8小题，共40分） 1. 已知向量，向量，若，则值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示列式求解即可. 【详解】因为，，且， 则，解得. 故选：C. 2. 已知是椭圆上的一点，分别是椭圆的左，右焦点，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义计算可得. 【详解】椭圆，则，又是椭圆上的一点， 所以. 故选：A 3. 如图，在平行六面体中，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算求解即可. 【详解】连接，如图所示： 故选：B 4. 已知是等比数列，，，则公比（ ） A. B. -2 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，开方可得答案． 【详解】解：由题意可得， 故可得 故选：D． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，涉及公比的求解，属于基础题． 5. 已知圆O1：x2+y2=1，圆O2：（x–3）2+（y–4）2=16，则两圆的位置关系为 A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 外离 【答案】A 【解析】 【详解】圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径r=1， 圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=16，圆心A（3，4），半径R=4， 两圆心之间的距离|AO|=5=4+1=2=R+r， ∴两圆相外切． 故答案为A． 6. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用双曲线的渐近线方程求出，进而求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为，依题意，， 所以双曲线的离心率. 故选：B 7. 将正奇数按照如图排列，我们将……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（ ） A. 55 B. 75 C. 111 D. 135 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题中规律，并采用累加法结合等差数列前n项和公式求出拐弯数的通项公式，即可求解. 【详解】不妨设第n（）个“拐角数”为， 不难发现， 所以，得， 当时，也符合上式，所以， 所以第7个“拐角数”是， 第8个“拐角数”是， 第9个“拐角数”是， 第10个“拐角数”是， 第11个“拐角数”是， 第12个“拐角数”是.故C对； 故选：C 8. 已知集合，，若，则的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先考虑坐标原点到定直线的距离是定值.注意到动圆经过坐标原点O,所以移动动圆C,当圆心C在OH的中点时,既满足题设条件,CO又能取到最小值,由此可求得答案. 【详解】因为, 故设圆心为，则C到直线的距离时，满足, 而坐标原点O到直线的距离,H为垂足， 由于过原点，可看作圆心到原点距离的平方， 当圆心在直线的右上方时，始终满足， 此时， 当圆心在直线的左下方时， 当C为OH的中点时,此时圆与直线相切， 满足，并且圆心到直线的距离d最大， 则圆心到原点的距离取得最小值， 此时点C到坐标原点的距离 的最小值为, 则的最小值为， 综合以上可知的最小值为， 故选：A. 二、多选题（每小题6分，3小题，共18分，错选不得分，漏选按照正确选项个数得部分分） 9. 已知为抛物线的焦点，为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（    ） A. 焦点 B. 准线方程 C. 点或 D. 以为直径的圆与抛物线的准线相切 【答案】AC 【解析】 【分析】首先求出焦点坐标与准线方程，即可判断A、B，根据焦半径公式求出点坐标，即可判断C，求出的中点坐标，即可判断D. 【详解】抛物线，则焦点，准线方程为，故A正确，B错误； 因为为抛物线上的一点，，所以，解得， 所以，解得，所以点或，故C正确； 不妨取，则的中点坐标为，因为点到准线的距离为， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相离，事实上以为直径的圆与轴相切，故D错误. 故选：AC 10. 等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ） A. B. C. 当时，取得最大值 D. 当时，取得最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得，即可结合选项判断. 【详解】，所以，故， 当时，取得最大值.故BC正确，AD错误. 故选：BC 11. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且.则下列结论中正确的有（ ） A. 当向运动时，总成立 B 当向运动时，二面角逐渐变小 C. 二面角的最小值为 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】CD 【解析】 【分析】 建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可判断AC的正误，根据动点的运动性质可判断B的正误，利用体积公式可判断D的正误. 【详解】建立如图所示的空间几何体， 则，， 因为在上，且，故可设， ， 所以， 故不恒为零，故A错. 平面即为平面，而平面即为平面， 故当向运动时，二面角不变，故B错. 设平面的法向量为， 又， 所以，取，则， 平面的法向量为，所以， 设二面角的平面角为，则为锐角，故， 当，故，所以， 当且仅当时取最大值即取最小值，故C正确. 因为为定值，故为定值，为平面的距离即为到平面的距离， 故三棱锥的体积为定值，故D正确. 故选：CD. 【点睛】思路点睛：对于立体几何中动态问题中角的关系的讨论，可根据几何体的特征合理建系，把计算判断问题转化为向量的夹角问题，三棱锥体积的计算需选择合适的定点和底面来计算. 三、填空题（每小题5分，3小题，共15分） 12. 等差数列中，，公差，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】应用等差数列通项公式求项． 【详解】由题设，． 故答案为：0． 13. 已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率公式求解斜率，即可结合图形求解. 【详解】因为直线的斜率，直线的斜率， 如图：所以要使直线与线段有公共点，的取值范围为． 故答案为： 14. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在D上，PA与l垂直，垂足为A，若，则的面积等于______. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的焦半径可得为等边三角形，即可求解边长进而得面积. 【详解】由以及可知,故为等边三角形，所以 因此故，所以， 故答案为： 四、解答题（共5小题，共77分．其中15题13分，16、17题15分，18、19题17分） 15. 已知向量，. （1）求; （2）求; （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示即可得解； （2）求出，再根据空间向量的模的坐标表示即可得解； （3）由，可得，再根据数量积的运算律即可得解. 【小问1详解】 由题意，. 【小问2详解】 由，，得， 则. 【小问3详解】 由，得，则，即，解得. 16. 已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O． （1）求圆C的方程； （2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积． 【答案】（1）（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25．（2）12 【解析】 【分析】（1）求出半径，从而可得圆的标准方程； （2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理求出弦长，从而可求出面积． 【详解】解：（1）圆C的半径为 ， 从而圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25； （2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB， 在直角三角形ADC中，由点到直线的距离公式，得|CD|＝3， 所以， 所以|AB|＝2|AD|＝8， 所以△ABC的面积． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题． 17. 已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列. （1）求的通项公式. （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列定义构造方程解得公比，可得其通项公式； （2）代入得到的通项公式，利用分组求和计算可得结果. 【小问1详解】 因为数列是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列， 所以. 设数列的公比为，则， 解得，或（舍）， 所以. 小问2详解】 由（1）知， 因为，所以， 设数列的前项和为， 则 ， 即数列的前项和. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为P，长轴长为4，若为正三角形． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点，斜率为的直线与椭圆相交M，N两点，求的长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知求椭圆参数，即可得椭圆方程； （2）由题设直线为，联立椭圆求交点坐标，再应用弦长公式求弦长. 【小问1详解】 由题设，又为正三角形，则， 所以，则椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，故该直线为， 由，消去可得，故，， 所以． 19. 如图，四棱锥中，底面，，，，，，是线段上的一点（不包括端点）. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）试确定点位置，使直线与平面所成角的正弦值为. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）当为的中点时, 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，即可根据线线垂直证明平面． （2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离． （3）设,,，根据向量法求解直线与平面所成角即可得解． 【小问1详解】 底面，平面，， ， ，又，平面 平面． 【小问2详解】 取的中点，则，， 又底面，， 建立如图所示空间直角坐标系， 则,0,，,0,，,,，,, ,0,，,,，,,． 设平面的一个法向量,,， 则，取，得,0,， 点到平面的距离为． 【小问3详解】 设,,，， 则,,,， 解得点,,，即,， 由， 解得（不合题意舍去）或， 当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 深圳明德实验学校（集团）高级中学大鹏校区 2024-2025学年第一学期期末质量检测 高二数学试卷 命题人：代员禛 审题人：饶倩倩 试卷满分：150分 考试时间：120分 一、单选题（每小题5分，8小题，共40分） 1. 已知向量，向量，若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知是椭圆上的一点，分别是椭圆的左，右焦点，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 3. 如图，在平行六面体中，设，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是等比数列，，，则公比（ ） A. B. -2 C. 2 D. 5. 已知圆O1：x2+y2=1，圆O2：（x–3）2+（y–4）2=16，则两圆的位置关系为 A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 外离 6. 已知双曲线一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 将正奇数按照如图排列，我们将……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（ ） A. 55 B. 75 C. 111 D. 135 8. 已知集合，，若，则的最小值（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，3小题，共18分，错选不得分，漏选按照正确选项个数得部分分） 9. 已知为抛物线焦点，为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（    ） A. 焦点 B. 准线方程 C. 点或 D. 以为直径的圆与抛物线的准线相切 10. 等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ） A. B. C. 当时，取得最大值 D. 当时，取得最大值 11. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且.则下列结论中正确的有（ ） A. 当向运动时，总成立 B. 当向运动时，二面角逐渐变小 C. 二面角的最小值为 D. 三棱锥的体积为定值 三、填空题（每小题5分，3小题，共15分） 12. 等差数列中，，公差，则________． 13. 已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是______． 14. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在D上，PA与l垂直，垂足为A，若，则的面积等于______. 四、解答题（共5小题，共77分．其中15题13分，16、17题15分，18、19题17分） 15. 已知向量，. （1）求; （2）求; （3）若，求的值. 16. 已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O． （1）求圆C的方程； （2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积． 17. 已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列. （1）求的通项公式. （2）设，求数列前项和. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为P，长轴长为4，若为正三角形． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点，斜率为直线与椭圆相交M，N两点，求的长． 19. 如图，四棱锥中，底面，，，，，，是线段上一点（不包括端点）. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）试确定点的位置，使直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$