第3章《圆》单元复习卷 2024—2025学年北师大版九年级数学下册

北师大版九年级数学下册第3章《圆》单元复习卷 一、单选题（本大题共10小题） 1．如图，在中，、、为半径，连接、、．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴，如图,某折扇张开的角度为 时,扇面面积为，该折扇张开的角度为 时，扇面面积为.若,则与关系的图像大致是（ ） A. B. C. D. 4．下列说法正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．等弧所对的弦必相等 5．如图，四边形是的内接四边形，延长到点E ，则与的数量关系一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么点在这条圆弧所在圆的（      ）. A．内部 B．外部 C．圆上 D．不能确定 7．如图,有一个半径为2的圆形时钟,其中每个刻度间的弧长均相等,过9点和11点的位置作一条线段,则钟面中阴影部分的面积为 (　　) A．π- B．π- C．π-2 D．π- 8．下列命题中，是真命题的是（   ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等圆周角所对的弧相等 C．任意三个点确定一个圆 D．圆内接平行四边形必为矩形 9．如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，若点C是以点P为圆心，1为半径的圆上一点，则的面积最大值为（    ） A． B． C． D．2 10．如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以点C为圆心,CA长为半径的圆与AB,BC分别交于点E,D,则AE的长为 (　　) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题） 11．扇形的圆心角为120°，面积为，则该扇形的弧长为 ． 12．用一个圆心角为150°，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 13．如图，是的弦，半径于点，若的半径为，则的长是 ．    14．如图,在正六边形ABCDEF中,AB=6,点M在边AF上,且AM=2.若经过点M的直线l将正六边形面积平分,则直线l被正六边形所截的线段长是　　　　. 15．若一个正多边形的内角和为540度，则这个正多边形的中心角为 度． 16．一个扇形的弧长是，其圆心角是，此扇形的面积为 三、解答题（本大题共7小题） 17．如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且， 连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若， CD=4，求⊙O的半径． 18．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交CB的延长线于点G，且∠ABG＝2∠C． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若sin∠EGC＝，⊙O的半径是3，求AF的长．    19．图1为中医常用碾药工具——药碾，又名惠夷槽，图2是从药碾抽象出来的几何模型，延长交于点，，于点，连接，． (1)求证：为的切线． (2)若，，求的长． 20．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于点C，交⊙O于D． (1)求证AE平分∠BAC； (2)若OA＝5，EC＝4，求AD的长． 21．定义:三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角. (1)如图(1),∠E是△ABC中∠A的遥望角,若∠A=α,请用含α的代数式表示∠E. (2)如图(2),四边形ABCD内接于☉O,=,四边形ABCD的外角平分线DF交☉O于点F,连结BF并延长交CD的延长线于点E.求证:∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角. 22．如图，在 中，，为的直径，与相交于点 D，过点D作于点E，延长线交于点F． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 23．四边形是的内接矩形，点E是上的一动点，连接，，，其中交于点F． (1)如1图，当时， ①求证：； ②若，连接，．求证：四边形是菱形． (2)如2图，若，，请用含k的式子表示的值． 参考答案 1．【答案】C 【详解】解：由圆周角定理可得：， ， ∴， 又∵， ∴， 故此题答案为C． 2．【答案】A 【分析】此题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据垂径定理推出，再利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：，是直径，， ， 在中，（）， （）， 故此题答案为． 3．【答案】C 【解析】设该扇面所在圆的半径为，则， 该折扇张开的角度为 时，扇面面积为，，，是的正比例函数.，与关系的图像是过原点的一条射线.故选C. 4．【答案】D 【分析】圆是轴对称图形以及垂径定理，圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．根据圆的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故该选项错误； B．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故该选项错误； 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误； C．在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，故该选项错误； D．同弧或等弧所对的圆周角相等，故该选项正确； 故此题答案为D． 5．【答案】A 【分析】根据圆内接四边形的对角互补，以及同角的补角相等，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵延长到点E ， ∴， ∴， 故此题答案为A． 6．【答案】C 【分析】根据弦的中垂线的交点是弧所在圆的圆心，先确定圆心的位置，再求出半径，最后根据点和圆心的距离，判断点和圆的位置关系. 【详解】 如图，根据弦的中垂线的交点是弧所在圆的圆心，确定圆心为O， ∵ ， ∴点M在圆上， 故此题答案为C. 【知识点拨】垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧. 7．【答案】B 【解析】连接OA,OB,过点O作OC⊥AB,如图.由题意可知∠AOB=60°.∵OA=OB,∴△AOB为等边三角形,∴AB=AO=BO=2,∴==π.∵OC⊥AB,∴∠OCA=90°,AC=1,∴OC=,∴S△AOB=×2×=,∴阴影部分的面积为π-. 【思路分析】 连接OA,OB,过点O作OC⊥AB,根据等边三角形的判定得出△AOB为等边三角形,然后根据阴影部分的面积=扇形AOB的面积-三角形AOB的面积即可求解. 8．【答案】D 【分析】根据与圆相关是各个定理即可进行解答． 【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径垂直弦，故A为假命题，不符合题意； B．同圆或等圆中相等圆周角所对的弧相等，故B为假命题，不符合题意； C．同一平面内不在同一直线上的任意三点确定一个圆，故C为假命题，不符合题意； D．圆内接平行四边形必为矩形，故D为真命题，符合题意； 故此题答案为：D． 【关键点拨】本题主要考查了圆的相关概念，解题的关键是熟练掌握圆的相关概念． 9．【答案】A 【分析】作射线，过点P作轴于H，可得，则∠，设射线交于C，过点C作圆的切线，可知此时的面积最大，即可求解． 【详解】解：作射线，过点P作轴于H，    ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 设射线交于C，过点C作圆的切线，则切线， ∴此时的面积最大， ∵圆的半径为1， ∴， ∴的面积最大值为， 故此题答案为A． 10．【答案】C 【详解】过C作CM⊥AB，交AB于点M.由垂径定理可得M为AE的中点．在Rt△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5.∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CM，且AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴CM＝.在Rt△ACM中，根据勾股定理得AC2＝AM2＋CM2，即9＝AM2＋2，解得AM＝，∴AE＝2AM＝.故选C． 11．【答案】 【分析】根据扇形面积公式S，先求出扇形的半径，再根据扇形的弧长公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵扇形的圆心角为120°，扇形的面积为27π， ∴， 解得R=9（负值舍去）， ∴扇形的弧长=． 故答案为：6π． 【关键点拨】本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算．解答该题需要牢记弧长公式和扇形的面积公式． 12．【答案】5 【分析】先计算出扇形的弧长，再利用圆的周长和圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解即可. 【详解】扇形的弧长=， 设圆锥的底面半径为R，则，解得． 13．【答案】2 【详解】解：∵是的弦，半径，， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴； 14．【答案】4 　 【解析】如图,设正六边形ABCDEF的中心为O,过点M,O作直线l交CD于点N,则直线l将正六边形的面积平分,直线l被正六边形所截的线段长是MN,连接OF,过点M作MH⊥OF于点H,连接OA. ∵六边形ABCDEF是正六边形,AB=6,中心为O,∴AF=AB=6,∠AFO=∠AFE=×=60°,MO=ON.∵OA=OF,∴△OAF是等边三角形,∴OA=OF=AF=6.∵AM=2,∴MF=AF-AM=6-2=4.∵MH⊥OF,∴∠FMH=90°-60°=30°,∴FH=MF=×4=2,MH===2 ,∴OH=OF-FH=6-2=4,∴OM===2 ,∴NO=OM=2 ,∴MN=NO+OM=2+2 =4 ,故答案为4 . 15．【答案】72 【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得，即可求得，再由除以5，即可求得答案． 【详解】解：设此多边形为n边形， 根据题意得， 解得， ∴这个正多边形的中心角为． 【知识点拨】多边形的内角和公式=. 16．【答案】 【分析】先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，则 解得： ∴扇形的面积 故此题答案为：． 【关键点拨】此题考查弧长公式以及扇形的面积公式，熟记公式内容是解题的关键． 17．【答案】(1)证明见解析；（2）. 【分析】（1）连结OC，由，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线； （2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由F，C，B三等分半圆得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=8，在Rt△ACB中，根据勾股定理求得AB，进而求得⊙O的半径． 【详解】（1）证明：连结OC，如图， ∵， ∴∠FAC=∠BAC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠FAC=∠OCA， ∴OC∥AF， ∵CD⊥AF， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：连结BC，如图， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵=， ∴∠BOC=×180°=60°， ∴∠BAC=30°， ∴∠DAC=30°， 在Rt△ADC中，CD=4， ∴AC=2CD=8， 在Rt△ACB中，BC2+AC2=AB2  ， 即82+（AB）2=AB2  ， ∴AB=， ∴⊙O的半径为． 【关键点拨】考查切线的判定，勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系等，比较基础，站我切线的判定方法是解题的关键. 18．【答案】（1）证明见解析（2） 【分析】（1）连接EO，由∠EOG=2∠C，∠ABG=2∠C知∠EOG=∠ABG，从而得AB∥EO，根据EF⊥AB得EF⊥OE，即可得证； （2）由∠ABG=2∠C，∠ABG=∠C+∠A知∠A=∠C，即BA=BC=6，在Rt△OEG中求得OG==5，BG=OG-OB=2，在Rt△FGB中求得BF=BGsin∠EGO，根据AF=AB-BF可得答案． 【详解】解：（1）如图，连接EO，则OE=OC，    ∴∠EOG=2∠C， ∵∠ABG=2∠C， ∴∠EOG=∠ABG， ∴AB∥EO， ∵EF⊥AB， ∴EF⊥OE， 又∵OE是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）∵∠ABG=2∠C，∠ABG=∠C+∠A， ∴∠A=∠C， ∴BA=BC=6， 在Rt△OEG中，∵sin∠EGO=， ∴OG=， ∴BG=OG﹣OB=2， 在Rt△FGB中，∵sin∠EGO=， ∴BF=BGsin∠EGO=2×， 则AF=AB﹣BF=6﹣． 19．【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接．由，可得．由，可得．则，即，，进而结论得证； （2）由题意可求，则． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， 又∵是半径， 为的切线． （2）解：，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 20．【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥PQ，根据平行线的性质得到∠OEA=∠EAC，根据等腰三角形的性质得到∠OEA=∠OAE，等量代换证明结论； （2）过点O作OF⊥AC于F，根据勾股定理求出AF，根据垂径定理解答即可． 【详解】（1）如图1，连接， 由题意知， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴AE平分∠BAC． （2）如图2，连接交于点 ∴， ∵ ∴ ∴垂直平分 ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∴ 在中，由勾股定理得 ∴AD的长为6． 21．【答案】(1)【解】∵∠E是△ABC中∠A的遥望角， ∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD， ∴∠E＝∠ECD－∠EBD＝(∠ACD－∠ABC)＝∠A．∵∠A＝α，∴∠E＝α. (2)【证明】如图，延长BC到点T.∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC＋∠FBC＝180°.∵∠FDE＋∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC．∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE.∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线．∵＝，∴∠ACD＝∠BFD．∵∠BFD＋∠BCD＝180°，∠DCT＋∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE平分∠ACT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角． 22．【答案】(1)见详解； (2)． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ． ， ， 是的半径， 是的切线. （2）解：如图，过点作于点，则， 四边形是矩形， ，， ，, ， ， ，， ， ， ． 23．【答案】(1)①见解析，②见解析 (2) 【分析】（1）①由得，进而可得，再用AAS即可证明结论．②连接、、，可证明，是等边三角形，进而可得四边相等，即可得出结论． （2）由可证明，进而可得，再证明，可得，即得，由此即可得出结论． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ②证明：如图1，连接、、， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴四边形是菱形 （2）证明：如图2，连接，过点E作于点， ∵， ∴是的直径， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴，即 ∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$