精品解析：福建省南平市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

南平市2024—2025学年第一学期八年级期末质量抽测 数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分；考试形式：闭卷） 说明： 1．本试卷仅供选用学校使用． 2．所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 数 B. 字 C. 中 D. 国 2. 计算：，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若长度分别为a，2，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 4. 叶绿体是植物进行光合作用的场所，某种叶绿体的直径约米．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 一个多边形的外角和等于其内角和的2倍，则这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 6. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若是完全平方式，则m的值等于（ ） A. 4 B. C. D. 8. 下列分式中，化简结果等于的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 下表描述了分式的部分信息： 的值 … … 的值 … 无意义 … 其中，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. _______． 12. 因式分解：x2﹣x=______． 13. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是________． 14. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________． 15. 已知，则的值为________． 16. 如图，在中，的平分线与的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E，下列结论： ； ； 点F一定在的垂直平分线上； 点F到，，三边的距离相等； 其中所有正确的结论是________．（填序号） 三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 化简： 18. 如图，点B，C，D，E在同一直线上，，，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在中，，，以为边，在的外部作等边三角形，E是的中点，连接并延长交于F．求的度数． 21. 如图，在中，，点D，E在上，，连接． （1）请画出线段，使得与关于直线对称． （2）在（1）的条件下，连接，判断的形状，并说明理由． 22. 为了推进“书香”和“墨香”的“两香”校园建设，某中学举行书法比赛，学校购买了一些钢笔和毛笔，下表是购买的相关信息： 钢笔 毛笔 购买费用：1200元 单价：1.2x元/支 购买数量： 支 购买费用：1500元 单价：x元/支 购买数量： 支 （1）请补全表中的购买数量（用含x的式子表示）； （2）已知购买的钢笔支数比毛笔少20支，求钢笔和毛笔的单价分别是多少元？ 23. 如图，在中，于，于，与相交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 阅读材料 图形是一种重要的数学语言，对于一个图形，可以通过不同的方法计算图形的面积，得到一个数学等式．已知下列等式成立： ① ② 如图1，通过不同的方法计算边长为的正方形面积，可以说明等式①的合理性． 问题解决 如图2，将边长为的正方形，分割成几个小正方形与小长方形． （1）请你根据图2的面积说明等式②的合理性； （2）若a，b，c满足，，求的值． 拓展探究 如图3，有三种规格的纸片：，，（其中）若干张． （3）请你利用上述纸片拼接一个大长方形，并能利用它的面积可以说明等式成立．请画出你的设计示意图．（画出一种即可，不需说明成立的理由） 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，连接，点是轴正半轴上的动点（不与点重合），过点作交轴于，连接． （1）当的坐标为时，求证：； （2）如图，当时，求点的坐标； （3）当时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南平市2024—2025学年第一学期八年级期末质量抽测 数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分；考试形式：闭卷） 说明： 1．本试卷仅供选用学校使用． 2．所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 数 B. 字 C. 中 D. 国 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、“数”不是轴对称图形，不符合题意； B、“字”不是轴对称图形，不符合题意； C、“中”可以看作是轴对称图形，符合题意； D、“国”不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 计算：，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 3. 若长度分别为a，2，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟记两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是关键．根据三角形三边关系求出a的取值范围，选择再此范围内的选项即可． 【详解】解：由三角形三边关系可得：， 即， 故选：C． 4. 叶绿体是植物进行光合作用的场所，某种叶绿体的直径约米．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为为整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此进行表示即可． 【详解】解：， 故选：D． 5. 一个多边形的外角和等于其内角和的2倍，则这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】A 【解析】 【分析】设该多边形有n条边，利用多边形内角和公式和外角和定理建立方程求解． 【详解】解：设该多边形有n条边， 由题意得：， 解得， 则这个多边形是三角形， 故选A． 【点睛】本题考查多边形的外角和与内角和，熟记公式是解题的关键． 6. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，由，则，，然后用三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：． 7. 若是完全平方式，则m的值等于（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式计算即可求出m的值． 【详解】解：∵x2+mx+4是完全平方式， ∴m=±4， 故选：D． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 8. 下列分式中，化简结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．根据分式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项正确，符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、不能化简，不等于，则此项错误，不符合题意； D、不能化简，不等于，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 9. 如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，角直角三角形性质；添加辅助线，运用垂直平分线导出角之间关系是解题的关键． 连接，由垂直平分线得，可求得，于是，根据，求得．再根据含角的直角三角形的性质得到的长． 【详解】解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∵ ∴ 故选：B． 10. 下表描述了分式的部分信息： 的值 … … 的值 … 无意义 … 其中，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据无意义知，由，所以，由时，，所以可得结论． 【详解】解：因为的值当时无意义， 所以． 又因为，所以， 当时，，所以，则， 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. _______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 因式分解：x2﹣x=______． 【答案】x（x﹣1） 【解析】 【详解】分析：提取公因式x即可． 详解：x2−x＝x（x−1）． 故答案为x（x−1）． 点解：本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标．根据轴对称的点的坐标特征，可知横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可求解． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 14. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小． 【详解】解：∵等腰三角形底角相等， ∴180°-50°×2=80°， ∴顶角为80°． 故答案为80°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键． 15. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，由可化为，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，的平分线与的平分线相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E，下列结论： ； ； 点F一定在的垂直平分线上； 点F到，，三边的距离相等； 其中所有正确的结论是________．（填序号） 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】根据角平分线的概念和平行线的性质得到，，然后根据等角对等边得到，，进而可判断①；根据角平分线的概念和三角形内角和定理即可判断②；根据和不一定相等即可判断③；根据角平分线的性质定理即可判断④． 【详解】如图所示， ∵的平分线与的平分线相交于点F， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵的平分线与的平分线相交于点F， ∴， ∴ ∴，故②错误； ∵和不一定相等 ∴点F不一定在的垂直平分线上，故③错误； ∵的平分线与的平分线相交于点F， ∴由角平分线的性质得，点F到，，三边的距离相等，故④正确． 综上所述，其中所有正确的结论是①④． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，等角对等边，垂直平分线的判定和角平分线的性质定理，平行线的性质等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式的运用，利用完全平方公式，平方差公式先化简，再去括号合并同类项即可． 【详解】解： ． 18. 如图，点B，C，D，E在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：， ，即， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．利用全等三角形判定定理证明，即可得证． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟记分式的运算法则，将原式正确的进行化简是解决此题的关键．先通分计算括号内分式的减法，然后把除法转化为乘法进行约分，化到最简后代入x的值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 20. 如图，在中，，，以为边，在的外部作等边三角形，E是的中点，连接并延长交于F．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，及三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．根据题意先求出，再证明，再根据直角三角形两内角互余即可得解． 【详解】解：∵， ∴ ∵是等边三角形，E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴ 21. 如图，在中，，点D，E在上，，连接． （1）请画出线段，使得与关于直线对称． （2）在（1）的条件下，连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 如图所示 （2） 是等腰三角形． 理由如下：∵， ∴，    在和中， ，           ∴． ∴， ∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． （1）根据题意画出图形即可； （2）证明得，由轴对称的性质得，进而可证是等腰三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 为了推进“书香”和“墨香”的“两香”校园建设，某中学举行书法比赛，学校购买了一些钢笔和毛笔，下表是购买的相关信息： 钢笔 毛笔 购买费用：1200元 单价：1.2x元/支 购买数量： 支 购买费用：1500元 单价：x元/支 购买数量： 支 （1）请补全表中的购买数量（用含x的式子表示）； （2）已知购买的钢笔支数比毛笔少20支，求钢笔和毛笔的单价分别是多少元？ 【答案】（1）； （2）毛笔的单价是25元， 钢笔的单价是30元 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解题的关键． （1）根据数量等于钱数除以单价列代数式即可； （2）根据购买的钢笔支数比毛笔少20支列方程求解即可． 【小问1详解】 解：调表如下， 钢笔 毛笔 购买费用：1200元 单价：元/支 购买数量：支 购买费用：1500元 单价：x元/支 购买数量：支 【小问2详解】 解：由题意得， ． 解得． 经检验，为原方程得解， 所以原方程的解为． ． 答：毛笔的单价是25元， 钢笔的单价是30元． 23. 如图，在中，于，于，与相交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（）根据等角的余角相等得出，然后证明，根据全等三角形的性质即可求解； （）由（）得：，，则，从而证明垂直平分，则有，由等腰三角形的三线合一定理可得，再由等腰三角形的性质即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（）得：，， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 24. 阅读材料 图形是一种重要的数学语言，对于一个图形，可以通过不同的方法计算图形的面积，得到一个数学等式．已知下列等式成立： ① ② 如图1，通过不同的方法计算边长为的正方形面积，可以说明等式①的合理性． 问题解决 如图2，将边长为的正方形，分割成几个小正方形与小长方形． （1）请你根据图2的面积说明等式②的合理性； （2）若a，b，c满足，，求的值． 拓展探究 如图3，有三种规格的纸片：，，（其中）若干张． （3）请你利用上述纸片拼接一个大长方形，并能利用它的面积可以说明等式成立．请画出你的设计示意图．（画出一种即可，不需说明成立的理由） 【答案】 （1）证明：∵ 又∵ ∴； （2）78； （3）如图所示， 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键， （1）用两种不同的方法表示出图2的面积即可求解； （2）由题意得到，然后将，代入求解即可； （3）根据题意画出图形，然后用两种不同的方法表示出图2的面积即可求解． 【详解】（1）∵ 又∵ ∴； （2）解：∵ ∴ ∵，， ∴ ∴； （3）∵ 又∵ ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，连接，点是轴正半轴上的动点（不与点重合），过点作交轴于，连接． （1）当的坐标为时，求证：； （2）如图，当时，求点的坐标； （3）当时，直接写出的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（）由，，则，轴，根据可得，再通过同角的余角相等得，再证明即可； （）延长交轴于点，证明，则，再证明，根据性质可得，故有； （）分当在上时和当在延长线上时两种情况分析即可； 本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，延长交轴于点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（）得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当在上时， ∵，， ∴，轴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； 如图，当在延长线上时， ∵，， ∴，轴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 综上可知：的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $