精品解析：安徽省阜阳市阜南实验中学2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题

阜南实验中学 2024-2025 学年高二上学期期末质量检测 数学试卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题(共40分) 1. 过点且平行于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 对于，两变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数（如下），则线性相关性最强的是（ ） A. －0.82 B. 0.78 C. －0.69 D. 0.87 4. 若随机变量X服从二项分布，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（ ） 参考数据： A. B. C. D. 7. 根据历年气象统计资料，某地4月份的任一天刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为．则4月8日这一天，在刮东风的条件下下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆：（）的离心率为，点是上一点，，分别是两个焦点，则的面积为（ ） A. B. C. 16 D. 32 二、多项选择题(共18分) 9. 某社会机构统计了某市四所大学年毕业生人数及自主创业人数如下表： A大学 B大学 C大学 D大学 毕业生人数（千人） 自主创业人数（千人） 根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为，则（ ） A. 与正相关 B. C. 当时，残差为 D. 样本的相关系数为负数 10. 已知圆与圆交于A，B两点，则（　　） A. 线段的中垂线方程为 B. 直线的方程为 C. 公共弦的长为 D. 圆与圆的公切线有3条 11. 已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（ ） A. 双曲线C的渐近线方程为y＝±x B. 以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C. 点P的横坐标为±1 D. △PF1F2的面积为 三、填空题(共15分) 12. 已知，分别是平面，的法向量，若，则__________ 13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为曲线上任意一点，则的最小值为______. 四、解答题(共77分) 15. 赤霉素在幼芽、幼根、未成熟的种子中合成，其作用是促进细胞的生长，使得植株变高，每粒种子的赤霉素含量x（单位：mg/g）直接影响该粒种子后天的生长质量.现通过生物仪器采集了赤霉素含量分别为10，20，30，40，50的种子各20粒，并跟踪每粒种子后天生长的情况，收集种子后天生长的优质数量y（单位：粒），得到的数据如下表： 赤霉素含量x（单位：mg/g） 10 20 30 40 50 后天生长的优质数量y（单位：粒） 2 3 7 8 10 （1）求y关于x的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，估计1000粒赤霉素含量为60mg/g的种子后天生长的优质数量. 参考数据：，，，. 参考公式：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 16. 已知直线与关于抛物线的准线对称. （1）求的方程； （2）若过的焦点的直线与交于两点，且，求的斜率. 17. 如图，在正方体中，E，F，G，H，K，L分别是AB，，，，，DA各棱的中点． （1）求证：平面EFGHKL； （2）求与平面EFGHKL所成角的余弦值． 18. 某公司为了解某产品的客户反馈情况，随机抽取了100名客户体验该产品，并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理数据得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男 45 5 50 女 35 15 50 合计 80 20 100 （1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？ （2）为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“不喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取8人，收集对该产品的改进建议.若从这8人中随机抽取3人，求所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率. 附：. 0.05 0.025 0.01 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 19. 随着社会经济的发展，个人驾驶已经逐渐成为一项成年人的基本技能.某免费“驾考App”软件是驾校学员的热门学习工具，该软件设置每天最多为一个学员提供5次模拟考试机会.学员小张经过理论学习后，准备利用该App进行模拟考试，若他每次的通过率均为，且计划当出现第一次通过后，当天就不再进行模拟考试，否则直到利用完该软件当天给的所有模拟考试机会为止. （1）求学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率； （2）若学员小张每次模拟考试用10分钟，求他一天内模拟考试花费的时间X的期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阜南实验中学 2024-2025 学年高二上学期期末质量检测 数学试卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题(共40分) 1. 过点且平行于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线的方程为，代入点的坐标即得解. 【详解】解：设直线的方程为， 把点坐标代入直线方程得. 所以所求的直线方程为. 故选：A 2. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项， ，所以三点共线，A正确； 对于B选项，设 ，则 ，即 无解，B错误； 对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 故选：A 3. 对于，两变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数（如下），则线性相关性最强的是（ ） A. －0.82 B. 0.78 C. －0.69 D. 0.87 【答案】D 【解析】 【分析】根据相关系数与变量间相关性的关系，即可得答案. 【详解】由相关系数的绝对值越大，变量间的线性相关性越强知：各选项中的绝对值最大. 故选：D 4. 若随机变量X服从二项分布，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用二项分布的方差公式求. 【详解】由二项分布的方差公式知. 故选：D 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可. 【详解】对于，由二项展开式的通项得， 令解得， 则所求系数为， 故选：D 6. 为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（ ） 参考数据： A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案. 【详解】依题意， 所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为． 故选：A． 7. 根据历年气象统计资料，某地4月份的任一天刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为．则4月8日这一天，在刮东风的条件下下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设事件表示吹东风，事件表示下雨，得到，，结合，即可求解． 【详解】由题意，设事件表示吹东风，事件表示下雨， 则，，， 所以在吹东风的条件下下雨的概率为． 故选：D． 8. 已知椭圆：（）的离心率为，点是上一点，，分别是两个焦点，则的面积为（ ） A. B. C. 16 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】由已知求出，再求的面积即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以，. 故选：A. 二、多项选择题(共18分) 9. 某社会机构统计了某市四所大学年毕业生人数及自主创业人数如下表： A大学 B大学 C大学 D大学 毕业生人数（千人） 自主创业人数（千人） 根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为，则（ ） A. 与正相关 B. C. 当时，残差为 D. 样本的相关系数为负数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据回归直线的斜率可判断A选项；将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出的值，可判断B选项；利用残差的概念可判断C选项；利用样本的相关系数的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为回归直线的斜率为，所以，与正相关，A对； 对于B选项，由表格中的数据可得，， 所以，样本中心点为， 将样本中心点的坐标代入回归直线方程得，解得，B对； 对于C选项，当时，， 所以，当时，残差为，C对； 对于D选项，因为与正相关，所以，样本的相关系数为正数，D错. 故选：ABC. 10. 已知圆与圆交于A，B两点，则（　　） A. 线段的中垂线方程为 B. 直线的方程为 C. 公共弦的长为 D. 圆与圆的公切线有3条 【答案】BC 【解析】 【分析】利用圆的性质可判定两圆圆心所在直线即公共弦的中垂线，从而判定A；两圆方程作差可判定B；利用弦长公式可判定C；根据两圆位置关系可判定D. 【详解】根据题意可知圆，则,半径， 圆，则，半径， 易知线段的中垂线为直线,显然两圆心都不在上，故A错误； 由两圆方程相减可得直线的方程为，故B正确； 圆心到直线的距离为，所以，故C正确； 因为，所以圆与圆相交，所以有两条公切线，故D错误. 故选：BC 11. 已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（ ） A. 双曲线C的渐近线方程为y＝±x B. 以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C. 点P的横坐标为±1 D. △PF1F2的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项结合渐近线的公式即可求出结果；B选项确定圆心半径即可求出结果；C选项设出点P(x0，y0)，解方程组即可求出结果；D结合三角形的面积公式即可求出结果. 【详解】等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确； 由双曲线的方程可知F1F2＝， 所以以F1F2为直径的圆,圆心为，半径为，则圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误； 点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上， 不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上， 所以由解得|x0|＝1， 则点P的横坐标为±1，故C正确； 由上述分析可得△PF1F2的面积为，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题(共15分) 12. 已知，分别是平面，的法向量，若，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据平面的位置关系可知法向量的位置关系，列方程，解方程即可. 【详解】由，可知， 则， 解得， 故答案为：. 13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 【答案】64 【解析】 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为曲线上任意一点，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出点的坐标，求出圆的圆心和半径，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】椭圆中，右焦点，圆的圆心，半径， 显然椭圆与圆相离，由点在圆上，得， 于是， 当且仅当分别是线段与椭圆、圆的交点时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题(共77分) 15. 赤霉素在幼芽、幼根、未成熟的种子中合成，其作用是促进细胞的生长，使得植株变高，每粒种子的赤霉素含量x（单位：mg/g）直接影响该粒种子后天的生长质量.现通过生物仪器采集了赤霉素含量分别为10，20，30，40，50的种子各20粒，并跟踪每粒种子后天生长的情况，收集种子后天生长的优质数量y（单位：粒），得到的数据如下表： 赤霉素含量x（单位：mg/g） 10 20 30 40 50 后天生长的优质数量y（单位：粒） 2 3 7 8 10 （1）求y关于x的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，估计1000粒赤霉素含量为60mg/g的种子后天生长的优质数量. 参考数据：，，，. 参考公式：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 【答案】（1） （2）615粒 【解析】 【分析】（1）根据最小二乘法可求出结果； （2）将，代入，求出后可得结果. 【小问1详解】 ∵，， ∴， 又，， ∴， 故y关于x的线性回归方程为. 【小问2详解】 将，代入，得到， 估计1000粒赤霉素含量为60mg/g的种子后天生长的优质数量为粒. 16. 已知直线与关于抛物线的准线对称. （1）求的方程； （2）若过的焦点的直线与交于两点，且，求的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由对称关系求出准线方程，可得抛物线方程； （2）设，直曲联立，表示出韦达定理，再由抛物线的焦点弦公式求解即可； 【小问1详解】 由题意得的准线方程为. 由，得， 所以的方程为. 【小问2详解】 易得的斜率存在，的焦点为. 设， 联立得， 得 则 得，即的斜率为. 17. 如图，在正方体中，E，F，G，H，K，L分别是AB，，，，，DA各棱的中点． （1）求证：平面EFGHKL； （2）求与平面EFGHKL所成角的余弦值． 【答案】 （1）如图所示建立空间直角坐标系， ， 则，所以 为平面EFGHKL的两条相交直线， 所以平面EFGHKL； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，可由证得； （2）利用空间向量计算直线和法向量的夹角，进而得解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面EFGHKL的法向量为 ， 因为， 求与平面EFGHKL所成角的余弦值为. 18. 某公司为了解某产品的客户反馈情况，随机抽取了100名客户体验该产品，并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理数据得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男 45 5 50 女 35 15 50 合计 80 20 100 （1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？ （2）为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“不喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取8人，收集对该产品的改进建议.若从这8人中随机抽取3人，求所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率. 附：. 0.05 0.025 0.01 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 【答案】（1）有关 （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立性检验，代入公式求解即可，（2）结合超几何分布求解即可. 【小问1详解】 零假设为：客户对该产品的评价结果与性别无关. ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为客户对该产品的评价结果与性别有关. 【小问2详解】 由题意得抽取的8人中，男性人数为， 女性人数为. 当3人中有2名女性和1名男性时，， 当3人全部为女性时，， 则所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率. 19. 随着社会经济的发展，个人驾驶已经逐渐成为一项成年人的基本技能.某免费“驾考App”软件是驾校学员的热门学习工具，该软件设置每天最多为一个学员提供5次模拟考试机会.学员小张经过理论学习后，准备利用该App进行模拟考试，若他每次的通过率均为，且计划当出现第一次通过后，当天就不再进行模拟考试，否则直到利用完该软件当天给的所有模拟考试机会为止. （1）求学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率； （2）若学员小张每次模拟考试用10分钟，求他一天内模拟考试花费的时间X的期望. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助独立事件的概率乘法公式和互斥事件加法概率公式计算即可得； （2）求出一天内模拟考试的次数的所有可能取值，计算相应概率，代入数学期望公式求解的期望，借助期望的性质求得模拟考试花费时间X的期望即可. 【小问1详解】 设学员小张恰第i次通过模拟考试的概率为，则，， 所以，学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率为. 【小问2详解】 设表示一天内模拟考试的次数，则， 由题意知：，，，，， 所以， 因为，所以， 所以小张一天内模拟考试花费的时间X的期望为分钟. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $