2.3三角形的内切圆 课堂练2024-2025学年浙教版数学九年级下册

三角形的内切圆与内心—2024-2025学年浙教版数学九年级下册课堂练 阅卷人 一、基础夯实 得分 1.直角三角形的外接圆半径为3,内切圆半径为1,则该直角三角形的周长是( ) A.12 B.14 C.16 D.18 2.已知正三角形的内切圆半径为,则它的边长为( ) A. B. C. D. 3.如图,内切于,切点分别为D,E,F,连结OE,OF,DE,DF.若,则等于( ) A. B. C. D. 4.在联欢会上,甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点,,上,他们在玩抢凳子的游戏,要在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,凳子应放的最恰当的位置是的( ) A.三条高的交点 B.重心 C.三条角平分线的交点 D.外心 5.依据圆规作图的痕迹,可以用没有刻度的直尺确定的内心的是( ) A. B. C. D. 6.如图,是的内心.若,则的度数是 ;若,则的度数是 . 7.如图,O为 ABC的外心,I为 ABC的内心.若∠BOC=140 ,则∠BIC= 8.已知:如图,在等腰三角形ABC中,是腰BC上的一点,的内切圆分别与边AD,BC,AC相切于点E,F,G.求证:. 9.如图,已知,用直尺和圆规作的内切圆. 10.如图,在 ABC中,内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,若∠A=70 ,求∠FDE. 阅卷人 二、能力提升 得分 11.如图,四边形为矩形,点在边上,,与四边形的各边都相切,的半径为,的内切圆半径为,则的值为( ) A. B. C. D. 12.如图,点为的内心,连接并延长交的外接圆于点,交于点,若,则的值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 13.点是的外心,也是的内心,若,则的度数是( ) A.80 B.90 C.100 D.110 14.如图,是的内切圆,切点分别是D,E,F.若,则的面积为 . 15.已知,如图,为的直径,内接于,点P是的内心,延长交于点D,连接. (1)求证:; (2)已知的半径是,,求的长. 16.已知: ABC内接于⊙O,∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D. (1)如图①,以点D为圆心,DB长为半径作弧,交AD于点I.求证:点I是 ABC的内心; (2)如图②,在(1)的条件下,若AD与BC交于点E.求证:; (3)探究:如图③, ABC内接于⊙O,若BC=8,∠BAC=120 ,求 ABC内切圆半径的最大值. 阅卷人 三、拓展创新 得分 17.如图,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,以此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1+S2+S3+…+S10=( ) A.4 B.3 C.2 D. 18.把圆分成等份,经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形.如图,的半径是,分别求它的外切正三角形、外切正方形、外切正六边形的边长. 19.【阅读材料】已知,如图1,在面积为S的 ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,内切圆O的半径为r,连接OA,OB,OC, ABC被划分为三个小三角形. ∵S=S OBC+S OAC+S OAB=BC•r+AC•r+AB•r=ar+br+cr=(a+b+c)r. ∴r= . (1)【类比推理】如图2,若面积为S的四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆),各边长分别为AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,求四边形的内切圆半径r的值; (2)【理解应用】如图3,在Rt ABC中,内切圆O的半径为r,⊙O与 ABC各边分别相切于D、E和F,已知AD=3,BD=2,求r的值. 20.阅读以下材料,并按要求完成相应地任务: 莱昂哈德 欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数,公式和定理,下面是欧拉发现的一个定理:在 ABC中,R和r分别为外接圆和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心,则 . 如图1,⊙O和⊙I分别是 ABC的外接圆和内切圆,⊙I与AB相切分于点F,设⊙O的半径为R,⊙I的半径为r,外心O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心I(三角形三条角平分线的交点)之间的距离OI=d,则有d2=R2﹣2Rr. 下面是该定理的证明过程(部分): 延长AI交⊙O于点D,过点I作⊙O的直径MN,连接DM,AN. ∵∠D=∠N,∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等), ∴ MDI∽ ANI, ∴ , ∴①, 如图2,在图1(隐去MD,AN)的基础上作⊙O的直径DE,连接BE,BD,BI,IF, ∵DE是⊙O的直径,∴∠DBE=90 , ∵⊙I与AB相切于点F,∴∠AFI=90 , ∴∠DBE=∠IFA, ∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等), ∴ AIF∽ EDB, ∴ ,∴②, 任务: (1)观察发现: , (用含R,d的代数式表示); (2)请判断BD和ID的数量关系,并说明理由; (3)请观察式子①和式子②,并利用任务(1),(2)的结论,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余部分; (4)应用:若 ABC的外接圆的半径为5cm,内切圆的半径为2cm,则 ABC的外心与内心之间的距离为 cm. 答案解析部分 1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】B 4.【答案】D 5.【答案】D 6.【答案】140 ;70 7.【答案】125 8.【答案】证明:的内切圆分别与边,,相切于点,,. .. , . . 9.【答案】解:如图所示,即为所求. 10.【答案】解:连接IE,IF, ∵内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F, ∴∠AEI=∠AFI=90 , ∵∠A=70 , ∴∠EIF=110 , ∴∠FDE=55 . 答:∠FDE的度数为55 . 11.【答案】C 12.【答案】D 13.【答案】C 14.【答案】15 15.【答案】(1)证明:∵为直径 ∴ ∵点P是的内心 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ (2)解:连接,如图所示 ∵是直径, ∴是等腰直角三角形 ∵的半径是 ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵, ∵ ∴ ∵ ∴ ∵, ∴ ∴ ∴ ∴在中,. 16.【答案】(1)证明:如图①中,连接BI. ∵DB=DI, ∴∠DBI=∠DIB, ∵∠DIB=∠IAB+∠IBA,∠DBI=∠IBC+∠DBC, 又∵∠DBC=∠DAC=∠DAB, ∴∠DBC=∠IAB, ∴∠IBA=∠IBC,即BI平分∠ABC, ∴点I是 ABC的内心. (2)证明:如图②中, ∵∠BDA=∠BCA,∠DBC=∠DAC, ∴ BDE∽ ACE, ∴ ∵DB=DI, ∴ (3)解:如图③中,作∠BAC的角平分线AD交⊙O于D,连接BD,DC,以D为圆心,DB为半径作弧,交AD于点I, 由(1)点I是 ABC的内心. ∵IH⊥AC, ∴IH是 ABC的内切圆的半径, 在 AIH中,∠IAH= ∠BAC=60 , ∴IH= AI,故欲求IH的最大值只要求出AI的最大值, ∵∠DBC=∠DAC=60 ,∠DCB=∠DAB=60 , ∴ BDC是等边三角形, ∴DB=CB=8,即DI=8, 作直径DF, 在Rt BDF中,∠DFB=60 ,DB=8, ∴DF= ,即直径为 , ∴AI的最大值为 -8, ∴ ABC的内切圆的半径的最大值为8-4 . 17.【答案】D 18.【答案】解:如图, ∵外切三角形为正三角形, ∴, ∴, ∴外切正三角形边长; ∵外切四边形为正方形, ∴, ∴是等腰直角三角形, ∴, ∴外切正方形的边长; ∵外切六边形为正六边形, ∴, ∴, ∴外切六边形的边长 19.【答案】解:(1)如图2,连接OA、OB、OC、OD.∵S=S AOB+S BOC+S COD+S AOD=arbrcrdr=(a+b+c+d)r,∴r=;(2)如图3连接OE、OF,则四边形OECF是正方形,OE=EC=CF=FO=r,在Rt ABC中,AC2+BC2=AB2,(3+r)2+(2+r)2=52,r2+5r﹣6=0,解得:r=1. 20.【答案】(1)R-d (2)解:BD=ID,理由如下: ∵点I是 ABC的内心, ∴∠BAD=∠CAD,∠CBI=∠ABI, ∵∠DBC=∠CAD,∠BID=∠BAD+∠ABI,∠DBI=∠DBC+∠CBI, ∴∠BID=∠DBI, ∴BD=ID; (3)解:由(2)知:BD=ID, 又 , , ∴DE IF=IM IN, ∴ , ∴ ∴ ; (4) 1 学科网(北京)股份有限公司 $$