精品解析：山东省泰安第二中学2024-2025学年高二上学期期末模拟数学试题

2024-2025高二数学期末模拟试题 一、单选题 1. 已知为等差数列的前项和，，则（ ） A. 240 B. 60 C. 180 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质以及前项和公式求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，所以， 所以， 所以． 故选：D． 2. 已知向量，且，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量垂直得到，解方程即可. 【详解】因为，所以， 因向量，， 所以，解得， 所以的值为4. 故选：A. 3. 已知直线过双曲线的一个焦点，且与的一条渐近线平行，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过直线方程，求得焦点坐标，即双曲线方程中的，由直线方程的斜率求得的值，解方程即可得到的值，即可得到曲线的方程. 【详解】双曲线的焦点在轴上， 由直线，取，可得，则， 再由，得，得， 联立，解得． 的方程为． 故选：C． 4. 已知等差数列的前项和为，且，，则当取得最大值时，（ ） A. 37 B. 36 C. 18 D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质与前项和公式推得，，从而得解. 【详解】因为， ， 所以，，从而当时，取得最大值． 故选：C. 5. 在平面直角坐标系内，已知，，动点满足，则（）的最小值是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出点P的轨迹方程，则可以看成圆上动点与定直线上动点的距离，求得其最小值，即可求得答案. 【详解】因为，，动点满足， 则，整理得， 可以看成圆上动点与定直线上动点的距离， 其最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2，即， 因此，的最小值是， 故选：C. 6. 已知，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为，若的最小值为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称点得出斜率积为定值，结合最小值得出，从而可得离心率. 【详解】设椭圆方程，其中， 已知，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线，的斜率分别为， 设，，， 则，， 又，， 则， 又，当且仅当时取等号， 又最小值为， 则， 则， 即， 即． 故选：A． 7. 如图，已知，是双曲线的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长与双曲线交于点，易得，设，结合双曲线定义得，进而在中应用勾股定理得到齐次方程，即可得离心率. 【详解】延长与双曲线交于点，因为，根据对称性知， 设，则，， 可得，即， 所以，则，， 所以，可知， 在中，由勾股定理得， 即，解得. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 8. 某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件和分期付款公式列方程求解即可 【详解】由已知条件和分期付款公式，可得 ， ∴． 故选：C 二、多选题 9. 设为实数，若方程表示圆，则（ ） A. B. 该圆必过定点 C. 若直线被该圆截得的弦长为2，则或 D. 当时，该圆上的点到直线的距离的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，方程化为圆的标准式，令等式右侧部分大于0，求解即可判断； 对B，点代入方程即可判断； 对C，结合点线距离公式，由几何法根据弦长列方程即可求解； 对D，结合点线距离公式，由几何法可得圆上的点到直线距离的最小值. 【详解】对A，，由方程表示圆，则有，A错； 对B，将代入方程，符合，B对； 对C，圆心为，则圆心到直线的距离为，故直线被该圆截得的弦长为或，C对； 对D，，则圆半径为1，圆心到直线距离为，故该圆上的点到直线的距离的最小值为，D对. 故选：BCD. 10. 已知正四棱锥的棱长均为3，，分别为棱，靠近，的三等分点，动点满足，则下列结论中正确的是（ ） A. 正四棱锥的体积为 B. 动点的轨迹是半径为的球面 C. 点在动点的轨迹外部 D. 动点的轨迹被平面截得的是半径为的圆 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件作图.A选项，由已知线段长求出高即可求得体积；B选项由向量数量积为0得到直线垂直，从而知道动点在以为直径的球面上，求出的值即可；C选项，求出的值即可；D选项求出点到平面的距离，即可求得切面的半径，从而求出面积. 【详解】如图，设，则底面，设， 因，分别为棱，靠近，的三等分点， 可得：，，， 对于A，易知，， ， 正四棱锥的体积为，故A正确； 对于B，，，又， 动点的轨迹是以为直径的球面， 球的半径为，球心为中点，故B正确； 对于C，， 即点在球的球面上，故C错误； 对于D，以为直径的球的球心到底面的距离为： ，又球的半径， 球被平面截得的截面小圆半径，故D正确． 故选：ABD． 11. 2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹成为双纽线，已知点是双纽线上一点，下列说法正确的有（ ）． A. 双纽线关于原点中心对称； B. ； C. 双纽线上满足的点有两个； D. 的最大值为. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据双纽线的定义求出曲线方程，然后将替换方程中的进行判断，对于B，根据三角形的等面积法分析判断，对于C，由题意得，从而可得点在轴上，进行可判断，对于D，由向量的性质结合余弦定理分析判断. 【详解】对于A，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线， 所以， 用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以A正确， 对于B，设 ∵，， ∴， ∴，∴，故B正确； 对于C，由知在的垂直平分线（方程为）上 将代入得 即，解得， ∴这样的点只有一个，故C错误； 对于D，因为， 所以， 由余弦定理得， 所以， 所以的最大值为，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12. 数列的前项和为，若，则的前2024项和________． 【答案】0 【解析】 【分析】由三角函数知道数列的周期，求出一个周期内的数列各项的值，求得前2024项包含了多次个周期，是否还余项，余下的是哪几项，即可求得前2024项的和. 【详解】若， 可得的周期， 由，，， 则的前2024项和． 故答案为：0． 13. 将正偶数按如下所示的规律排列： 则数字2024的位置为第________行，从左向右第________个数． 【答案】 ①. 32 ②. 51 【解析】 【分析】首先可得数字2024是第1012个数，求出前行所有数的个数和，即可判断. 【详解】因为数字2024是第1012个数， 由已知前行所有数的个数为， 又，，，所以数字2024在第32行， 又， 所以数字2024在第32行，第51个数． 故答案为：32；51． 14. 直线与函数和的图象都相切，则________ 【答案】 【解析】 【分析】设直线与函数的切点为，与函数的切点为，根据导数的几何意义可求的值. 【详解】， 设直线与函数的切点为， 又，所以， 设直线与函数的切点为， 又，所以， 由可得， 由，可得， 又，所以， 由，得， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． （1）证明：； （2）求集合中元素个数． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出； （2）根据题意化简可得，即可解出． 【小问1详解】 设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证． 【小问2详解】 由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为． 16. 已知椭圆过点且． （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为直线与交于，两点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）通过关系，设出椭圆方程，带点坐标到方程中解得的值即可； （2）设直线的方程，联立方程组整理成一元二次方程，由判别式求得的取值范围，由韦达定理得到根与系数的关系，由焦点弦长公式表示出的值，再求出点到直线，从而得到面积，由二次函数求得最大值. 【小问1详解】 由于，设所求椭圆方程为， 把点代入，得， 解得，， 所以椭圆方程为：； 【小问2详解】 设直线的方程为，设，， 联立，整理可得：， ，可得，即， 且，， 所以弦长， 到直线的距离，所以， 当，即时取等号，符合判别式大于0， 所以面积的最大值为． 17. 已知数列的前项和为，且是首项为1，公差为2的等差数列. （1）求的通项公式； （2）若数列的前项和为，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由求通项公式，由等差数列定义写出通项公式，进而写出通项公式； （2）应用错位相减法、等比数列前n项和公式求，问题化为对一切恒成立，研究右侧的单调性求最大值，即可得参数范围. 【小问1详解】 当时，，解得. 当时，，两式相减得， 即， 所以是首项､公比均为2的等比数列，故. 又，故. 【小问2详解】 因为，所以①，②， ①-②得. 所以. 不等式对一切恒成立，转化为对一切恒成立. 令，则， 又， 当时，，当时，， 所以，则. 所以实数的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，与交于点，平面平面为线段上的一点． （1）证明：平面； （2）若二面角余弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用面面垂直度性质定理判断平面，再利用线面垂直的判定定理判断平面； （2）先以为原点，为轴，为轴，过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，再设并求，进而求平面的一个法向量，最后向量法求二面角余弦值，从而列方程得到答案. 【小问1详解】 连接，过点作的垂线，垂足为， 平面平面，且平面平面， ，平面， 又平面， 又四边形为菱形，，又平面，， 平面， 又平面， 又，平面， 平面． 【小问2详解】 由（1）知，互相两两垂直，以为原点，为轴，为轴，过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图： 因为，所以，即. 则， ，. 设，则， ． 易知平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，即． 设二面角为， 则，即，两边同时取平方化简得，解得． 故二面角余弦值为时，． 19. 如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为． （1）求的值； （2）求出的通项公式； （3）设曲线在点处的切线斜率为，求证：． 【答案】（1），； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，用表示出点的坐标，再代入曲线方程，计算作答. （2）令为数列的前n项和，利用与表示出点的坐标，代入曲线方程即可得与的关系，再利用递推关系求出通项. （3）由（2）求出点的横坐标，利用导数的几何意义求出，再利用裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 依题意，为正三角形，且，观察图象得，而点在曲线上， 即，解得，为正三角形，且，点在曲线上， ，整理得，解得， 所以，. 【小问2详解】 令为数列的前n项和，是正三角形，点， ，于是点在曲线上， 则，即，当时，， 两式相减得：，整理得， 则，而满足上式，因此，， 即数列是首项为，公差的等差数列，， 所以数列的通项公式是. 【小问3详解】 由（2）知，当时，， 则点的横坐标，显然满足上式，因此， 由求导得，，于是， 当时，， 所以. 【点睛】易错点睛：裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025高二数学期末模拟试题 一、单选题 1. 已知为等差数列的前项和，，则（ ） A. 240 B. 60 C. 180 D. 120 2. 已知向量，且，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 3. 已知直线过双曲线的一个焦点，且与的一条渐近线平行，则的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，且，，则当取得最大值时，（ ） A. 37 B. 36 C. 18 D. 19 5. 在平面直角坐标系内，已知，，动点满足，则（）的最小值是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 16 6. 已知，是椭圆上关于原点对称两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为，若的最小值为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，是双曲线的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设为实数，若方程表示圆，则（ ） A. B 该圆必过定点 C. 若直线被该圆截得的弦长为2，则或 D. 当时，该圆上的点到直线的距离的最小值为 10. 已知正四棱锥的棱长均为3，，分别为棱，靠近，的三等分点，动点满足，则下列结论中正确的是（ ） A. 正四棱锥的体积为 B. 动点的轨迹是半径为的球面 C. 点在动点的轨迹外部 D. 动点轨迹被平面截得的是半径为的圆 11. 2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹成为双纽线，已知点是双纽线上一点，下列说法正确的有（ ）． A. 双纽线关于原点中心对称； B. ； C. 双纽线上满足的点有两个； D. 的最大值为. 三、填空题 12. 数列前项和为，若，则的前2024项和________． 13. 将正偶数按如下所示的规律排列： 则数字2024的位置为第________行，从左向右第________个数． 14. 直线与函数和的图象都相切，则________ 四、解答题 15. 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且． （1）证明：； （2）求集合中元素个数． 16. 已知椭圆过点且． （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为的直线与交于，两点，求面积的最大值． 17. 已知数列的前项和为，且是首项为1，公差为2的等差数列. （1）求的通项公式； （2）若数列的前项和为，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，与交于点，平面平面为线段上的一点． （1）证明：平面； （2）若二面角余弦值为，求值． 19. 如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为． （1）求的值； （2）求出的通项公式； （3）设曲线在点处的切线斜率为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $