7.2.4 诱导公式（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）

7.2.4 诱导公式 题型一 利用诱导公式给角求值 1（23·24上·江西·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式直接化简求解即可. 【详解】. 故选：D. 2（23·24·全国·专题练习）求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4)； (5) 【分析】利用诱导公式结合特殊角的三角函数即可得到答案. 【详解】（1） （2） （3） （4）. （5）原式 . 3（23-24高一下·新疆喀什·期中）求下列各式的值： (1)； (2)． (3). 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）. （2） . （3）∵，， ， ∴. 题型二 利用诱导公式给值求值 1（24-25高三上·广东揭阳·开学考试）已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式化简求值. 【解析】因为， 所以， 故选：A 2（23·24上·朝阳·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式计算作答. 【详解】因，则，即，而，于是得， 所以. 故选：A 3（23-24高一上·陕西西安·月考）已知为第二象限角，若则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，则， 由为第二象限角，则，所以.故选：A. 4（23-24高一下·广西梧州·月考）已知，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， ， 所以. 故答案为：. 题型三 诱导公式综合化简求值 1（23·24上·北京·期中）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用诱导公式化简即可得结果. 【详解】. 故选：D 2（23·24上·南宁·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整体代换法用诱导公式进行计算 【详解】， 故选：A. 3（23·24·全国·专题练习）（1）化简：. （2）化简； （3）化简． （4）化简； （5）化简； （6）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）0；（5）；（6） 【分析】利用诱导公式计算即可. 【详解】（1）原式＝； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式； （5）原式； （6）由可得， . 题型四 利用诱导公式证明恒等式 1（1）求证：＝； （2）求证：＝－tan θ. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）右边 左边. 所以原等式成立． （2）左边右边. 所以原等式成立． 2（23·24上·全国·课时练习）（1）求证：； （2）设，求证. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论. 【详解】（1）左边=  =右边，所以原等式成立. （2）方法1：左边=  ===右边，所以原等式成立. 方法2：由，得， 所以，等式左边= ===右边，等式成立. 3（23·24·全国·课时练习）求证：当或3时，. 【答案】证明见解析 【分析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可. 【详解】当时，左边=； 当时，左边=； 综上，或有原等式恒成立. 4．已知角的终边在第三象限，，证明：． 【答案】证明见解析. 【分析】求出，，即得证. 【解析】由题可知 ． ． 为第三象限角，为第三或第四象限角． 又，为第四象限角， ． ． ． 所以得证. 【点睛】易错点睛：本题易求出，根据已知求出为第三或第四象限角，还要根据，得到为第四象限角，从而得到. 题型五 三角形中的诱导公式应用 1（23·24上·抚州·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的性质和诱导公式，分别求得，即可求解. 【详解】由，可得， 又由，， 所以. 故选：C. 2. 已知角为的三个内角，若，则一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【解析】因为 所以，可得， 又因为，所以，则，所以一定是等腰三角形．故选：C． 3．（23·24上·河北·阶段练习）2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)如果小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，直角三角形中较小的锐角为，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：根据大正方形的面积求得直角三角形的斜边，根据大正方形减去小正方形的面积即四个直角三角形的面积和，求得两条直角边的乘积，再根据勾股定理知直角三角形的两条直角边的平方和等于25，联立解方程组可得两条直角边，则可求得的值，进而即可化简求值得解. 详解：根据题意，大正方形的边长为5，小正方形的边长为1， 可得三角形的面积为， 设三角形的两直角边为，则有，又， 联立解得或，所以， 从而可以求得 ，故选B. 点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，需要对对应的图形认真观察，得到对应的量之间的关系，列出相应的等量关系式，求解即可. 4．（24-25高一上·湖南邵阳·月考）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. (1)求出的值和锐角的大小； (2)求的值； (3)记点的横坐标为，若，求的值． 【答案】(1)，；(2)1；(3) 【解析】（1）由于点在单位圆上，且是锐角，可得，则， 所以，且为锐角，可得； （2）； （3）由（1）可知， 根据三角函数定义可得：， 因为，且， 因此，所以. 所以. 1（23·24·全国·专题练习）求值：=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式将任意角转化为锐角，再计算可得结果. 【详解】原式＝ . 故选：A 2．（2024高一·全国月考）知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的基本关系以及诱导公式即可求解. 【解析】因为，，故， 令，则为锐角， 因为，所以，且， 所以 . 故选：C. 3（23·24上·全国·单元测试）已知是方程的根，α是第三象限角，则＝ . 【答案】 【分析】解方程得到，从而求出，从而利用诱导公式化简求出答案. 【详解】，解得或1， 又α是第三象限角，∴，，故， ∴， ∴， ∴. 故答案为： 4（23·24·全国·课堂例题）若，，则 ． 【答案】/ 【分析】将已知条件转化为只含的形式，然后结合求得正确答案. 【详解】因为，所以， 所以， 则． 又，所以， 化简得，所以． 故答案为： 5．证明：，． 【答案】证明见解析 【分析】按的奇偶性分类讨论，用诱导公式变形可证． 【解析】证明：当n为偶数时，令，， 左边． 右边，∴左边=右边． 当n为奇数时，令，， 左边 ． 右边，∴左边=右边． 综上所述，，成立． 6 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2.4 诱导公式 题型一 利用诱导公式给角求值 1（23·24上·江西·开学考试）（    ） A． B． C． D． 2（23·24·全国·专题练习）求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． (4)； (5). 3（23-24高一下·新疆喀什·期中）求下列各式的值： (1)； (2)． (3). 题型二 利用诱导公式给值求值 1（24-25高三上·广东揭阳·开学考试）已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 2（23·24上·朝阳·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 3（23-24高一上·陕西西安·月考）已知为第二象限角，若则（    ） A． B． C． D． 4（23-24高一下·广西梧州·月考）已知，则 ． 题型三 诱导公式综合化简求值 1（23·24上·北京·期中）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 2（23·24上·南宁·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3（23·24·全国·专题练习）（1）化简：. （2）化简； （3）化简． （4）化简； （5）化简； （6）已知，求的值. 题型四 利用诱导公式证明恒等式 1（1）求证：＝； （2）求证：＝－tan θ. 2（23·24上·全国·课时练习）（1）求证：； （2）设，求证. 3（23·24·全国·课时练习）求证：当或3时，. 4．已知角的终边在第三象限，，证明：． 题型五 三角形中的诱导公式应用 1（23·24上·抚州·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 2. 已知角为的三个内角，若，则一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 3．（23·24上·河北·阶段练习）2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)如果小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，直角三角形中较小的锐角为，则 A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖南邵阳·月考）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. (1)求出的值和锐角的大小； (2)求的值； (3)记点的横坐标为，若，求的值． 1（23·24·全国·专题练习）求值：=（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一·全国月考）知，且，则（    ） A． B． C． D． 3（23·24上·全国·单元测试）已知是方程的根，α是第三象限角，则＝ . 4（23·24·全国·课堂例题）若，，则 ． 5．证明：，． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$