专题03 与乘法公式有关的计算（三大题型总结）（计算题专项训练）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册计算题专项训练系列（湘教版2024）

专题03 与乘法公式有关的计算（三大题型总结） 【题型一：运用乘法公式进行运算】 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）运用平方差公式计算： （1） （2） （3） （4） （5） 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）运用乘法公式计算： （1）； （2）． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： （1）； （2）； （3）． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式计算： （1） （2） （3） （4） 10．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）计算： （1） （2） 11．（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）计算： （1） （2） 12．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）计算： （1）； （2）． 13．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）计算： （1）； （2）． 14．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 15．（23-24七年级下·全国·期中）计算： （1）； （2）． 16．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： （1）． （2）． 17．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： （1）； （2）． 18．（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… （1）【归纳】由此可得：________； （2）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：； （3）【拓展】请运用上面的方法，求的值． 19．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）阅读下列材料：某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．他很受启发．后来在求时，联想到“凑成”平方差公式，改造此法：将乘积式前面乘1，并且把1写成得： ． 解答问题： （1）计算：； （2）化简：． 20．（23-24七年级下·山东济南·期末）（1）计算： ； ； （2）利用平方差公式进行计算： （3）计算：= ；并直接写出上面结果的个位数字是 ； （4）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果．根据上面用到的数学公式，从下面的两个题中，任选一个题进行计算．（若两个题都进行计算，只第一个题得分） ①计算： ②计算： 【题型二：与乘法公式有关的化简求值】 21．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）先化简，再求值：，其中． 22．（23-24八年级上·浙江台州·期中）先化简，再求值：，其中 23．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中，． 24．（23-24七年级下·内蒙古包头·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 25．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中，． 26．（23-24七年级下·安徽池州·期末）先化简再求值：，其中：． 27．（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值：已知，求代数式的值． 28．（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简．再求值：的值，其中，且． 29．（23-24七年级下·陕西西安·期中）先化简，再求值：，其中，． 30．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中x，y满足． 31．（23-24八年级上·四川眉山·期中）先化简，再求值： （1），其中，； （2），其中． 32．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足． 【题型三：通过对完全平方公式变形求值】 33．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 34．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 35．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）已知，求下列各式的值． （1）； （2）． 36．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若，且． （1）求的值； （2）求的值． 37．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，，求下列代数式的值： （1）； （2）． 38．（23-24七年级下·全国·单元测试）若n满足，求的值． 39．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）已知，求的值 40．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 41．（23-24九年级下·浙江宁波·期中）已知正实数x满足． （1）求的值； （2）求与的值． 42．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）已知，且满足；求 （1）的值； （2）的值； （3）的值． 43．（23-24八年级上·福建泉州·期末）已知． （1）求的值； （2）若，求的值； （3）若，，求的最大值． 44．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或者几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）若可配方成（m、n为常数），则______； 【探究问题】 （3）已知，则______； （4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】 （5）已知实数x、y满足，求的最值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 与乘法公式有关的计算（三大题型总结） 【题型一：运用乘法公式进行运算】 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）运用平方差公式计算： （1） （2） （3） （4） （5） 【思路点拨】 本题考查了利用平方差公式进行计算． （1）利用平方差公式进行计算即可得解； （2）利用平方差公式进行计算即可得解； （3）把原式进行变形，然后利用平方差公式进行计算即可得解； （4）把原式进行变形，然后利用平方差公式进行计算即可得解； （5）利用平方差公式进行计算即可得解，然后合并同类项即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【思路点拨】 本题考查了平方差公式，整式的乘法和加减，熟练掌握各个运算法则是解题的关键． （1）先变形，再根据平方差公式计算即可； （2）直接根据平方差公式计算即可； （3）先变形，再根据平方差公式计算即可； （4）先根据平方差公式和单项式乘以多项式计算，再计算加减即可； （5）先根据多项式乘以多项式和平方差公式计算，再计算加减即可． 【解题过程】 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）运用完全平方公式进行计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可； （3）运用完全平方公式进行计算即可； （4）运用完全平方公式进行计算即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【思路点拨】 此题考查了完全平方公式和单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用完全平方公式展开即可得到结果； （2）利用完全平方公式展开即可得到结果； （3）利用完全平方公式展开即可得到结果； （4）利用完全平方公式展开即可得到结果； （5）利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可得到结果； （6）利用完全平方公式展开，再合并同类项即可得到结果． 【解题过程】 （1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】 本题主要考查完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的计算是解题的关键．根据即可求解． （1）将原式变形得，运用完全平方公式计算即可； （2）将原式变形得，运用完全平方公式计算即可； （3）将原式变形得，运用完全平方公式计算即可； （4）将原式变形得，运用完全平方公式计算即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）运用乘法公式计算： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了利用平方差公式和完全平方公式进行计算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． （1）原式变形为，再利用平方差公式计算即可得出答案； （2）利用完全平方公式计算即可得出答案． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： （1）； （2）； （3）． 【思路点拨】 本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）运用完全平方公式去括号，再根据整式的加减运算法则计算即可； （2）运用完全平方公式，平方差公式去括号，再根据整式的加减运算法则计算即可； （3）运用完全平方公式去括号，再根据整式的加减运算法则计算即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【思路点拨】 本题主要考查利用完全平方公式及平方差公式计算，熟练掌握两个公式是解题关键． （1）利用完全平方公式求解即可； （2）根据平方差公式求解即可； （3）根据平方差公式求解即可； （4）根据平方差公式求解即可； （5）根据平方差公式求解即可． 【解题过程】 （1）解：原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）原式 ． （5）原式 ． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）利用乘法公式计算： （1） （2） （3） （4） 【思路点拨】 本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行计算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键． （1）利用平方差公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可； （3）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （4）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 10．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）计算： （1） （2） 【思路点拨】 此题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式，平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，然后合并同类项； （2）首先根据平方差公式计算，然后根据完全平方公式计算即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ． 11．（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）计算： （1） （2） 【思路点拨】 本题考查了整式的混合运算的法则和顺序，解决此题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式进行运算． （1）根据整式的混合运算的法则和顺序，结合平方差公式计算即可； （2）根据整式的混合运算的法则和顺序，结合平方差公式和完全平方公式计算即可． 【解题过程】 （1）解： ， ， ； （2）解： ． 12．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】 （1）利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并即可求解； （2）利用完全平方公式展开，再合并即可求解； 本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：原式 ， ； （2）解：原式 ， ． 13．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了乘法公式，涉及完全平方公式、平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据完全平方公式、平方差公式计算，然后合并同类项即可； （2）先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式计算即可． 【解题过程】 （1）解：原式 （2）解：原式 14．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】 本题考查了乘法公式，多项式乘多项式． （1）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可求解； （2）先利用平方差公式和多项式乘多项式法则计算，再合并即可求解； （3）利用平方差公式计算即可求解； （4）先利用完全平方公式和多项式乘多项式法则计算，再合并即可求解． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 15．（23-24七年级下·全国·期中）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查整式的乘法运算． （1）先根据完全平方公式，多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可； （2）先添加括号，运用平方差公式进行计算，再运用完全平方公式进行计算即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ． 16．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： （1）． （2）． 【思路点拨】 本题考查了对平方差公式和完全平方公式的应用，注意：平方差公式是：，完全平方公式是：，． （1）根据平方差公式展开，再根据完全平方公式求出即可； （2）先变形，再根据平方差公式展开，最后根据完全平方公式求出即可． 【解题过程】 （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 17．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查乘法公式，掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键： （1）先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项即可； （2）先利用平方差公式进行计算，再利用完全平方公式进行计算即可． 【解题过程】 （1）解：原式 = =； （2）原式 = =． 18．（23-24七年级下·江西抚州·阶段练习）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… （1）【归纳】由此可得：________； （2）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：； （3）【拓展】请运用上面的方法，求的值． 【思路点拨】 此题主要考查了平方差公式以及数字变化规律，正确得出式子之间的变化规律是解题关键． （1）利用已知得出式子变化规律，进而得出答案； （2）利用（1）中变化规律进而得出答案； （3）将转化为，再利用（2）中变化规律进而得出答案． 【解题过程】 （1）解：①； ②； ③； ……； ∴， 故答案为：． （2） ； （3） ． 19．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）阅读下列材料：某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．他很受启发．后来在求时，联想到“凑成”平方差公式，改造此法：将乘积式前面乘1，并且把1写成得： ． 解答问题： （1）计算：； （2）化简：． 【思路点拨】 本题考查了整式的混合运算—化简求值，平方差公式的应用，弄清题中的规律是解题的关键． （1）先整理，则原式为，再利用题中的规律进行计算，即可作答． （2）进行分类讨论，当或两种情况，利用题中的规律计算即可得到结果． 【解题过程】 （1）解：原式 ； （2）解：当时， 原式 当时， 原式 ． 综上：当时，原式，当时，原式． 20．（23-24七年级下·山东济南·期末）（1）计算： ； ； （2）利用平方差公式进行计算： （3）计算：= ；并直接写出上面结果的个位数字是 ； （4）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果．根据上面用到的数学公式，从下面的两个题中，任选一个题进行计算．（若两个题都进行计算，只第一个题得分） ①计算： ②计算： 【思路点拨】 本题考查平方差公式，掌握是正确解答的关键． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）将写成，利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式形成，连续利用平方差公式得到结果为，再根据底数为2的幂的个位数字所呈现的规律得出答案； （4）①将相邻两项结合，再逆用平方差公式变形求解即可； ②逆用平方差公式将原式变形，然后约分化简即可． 【解题过程】 解：（1）， 原式 ， 故答案为：，； （2）原式 ； （3）原式 ； ∵，，，，，，……， 而， ∴的个位数字是6， 故答案为：，6； （4）①原式 ； ②原式 ． 【题型二：与乘法公式有关的化简求值】 21．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）先化简，再求值：，其中． 【思路点拨】 本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握完全平方公式，与平方差公式是解题的关键．先计算乘法，再合并同类项，然后把代入，即可求解． 【解题过程】 解： ； 当时，原式． 22．（23-24八年级上·浙江台州·期中）先化简，再求值：，其中 【思路点拨】 本题考查整式的化简求值，利用完全平方公式，平方差公式，多项式乘多项式运算法则将原式展开，再进行合并，然后将代入进行计算即可．熟练掌握乘法公式，多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【解题过程】 解： ， 当时， 原式． 23．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中，． 【思路点拨】 本题主要考查了整式的化简求值，根据完全平方公式和平方差公式先去括号，然后合并同类项把原式化简，最后把x、y的值代入计算得到答案． 【解题过程】 解： ， 当，时，原式． 24．（23-24七年级下·内蒙古包头·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【思路点拨】 本题考查了整式的混合运算一化简求值，完全平方公式，平方差公式，先利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．准确熟练地进行计算是解题的关键． 【解题过程】 解：原式 ， 当，时，原式． 25．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中，． 【思路点拨】 本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式，多项式乘以多项式的计算法则去括号， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【解题过程】 解： ， 当，时，原式． 26．（23-24七年级下·安徽池州·期末）先化简再求值：，其中：． 【思路点拨】 本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算法则，完全平方公式，平方差公式，以及多项式乘以多项式的乘法法则． 先根据整式混合运算法则将整式化简，再根据负整数幂的运算法则，得出x的值，最后将x的值代入进行计算即可． 【解题过程】 解： ∵， ∴当时， 原式． 27．（24-25七年级上·上海·期中）先化简，再求值：已知，求代数式的值． 【思路点拨】 本题考查整式的混合运算，原式利用完全平方公式，平方差公式以及多项式乘以多项式法则计算得到最简结果，再把已知等式代入计算即可求出值．掌握相应的运算法则、公式和运算顺序是解题的关键．也考查了求代数式的值． 【解题过程】 解： ， ∵， ∴原式． 28．（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简．再求值：的值，其中，且． 【思路点拨】 本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行计算是解此题的关键，题目是一道中档题目，难度适中． 先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可． 【解题过程】 解： ， ， ， ， ， ， ， 则原式 ． 29．（23-24七年级下·陕西西安·期中）先化简，再求值：，其中，． 【思路点拨】 本题考查了整式化简求值，首先利用整式的相关法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可． 【解题过程】 解： ， 当，时 原式= ． 30．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中x，y满足． 【思路点拨】 利用完全平方公式和平方差公式进行化简可得化简结果，根据绝对值的非负性和平方的非负性求解的值，然后代入求解即可． 【解题过程】 解： ∵，即， ∴，，解得，， 将，，代入原式， ∴化简结果为，值为． 31．（23-24八年级上·四川眉山·期中）先化简，再求值： （1），其中，； （2），其中． 【思路点拨】 本题考查了整式的混合运算，在解题时要注意运算顺序及乘法公式的综合应用. （1）本题须先根据平方差公式和完全平方公式分别进行计算，再把所得结果合并即可； （2）本题须根据整式的混和运算顺序和法则分别进行计算，再代入求值即可. 【解题过程】 （1）解： , ， 当时, 原式 ． （2）解： 当时， 原式 ． 32．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）先化简，再求值：，其中a，b满足． 【思路点拨】 本题考查整式运算中的化简求值，先根据整式的运算法则进行化简，利用非负性求出的值，再将的值代入化简的结果中，进行求解即可． 【解题过程】 解：原式 ； ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴原式． 【题型三：通过对完全平方公式变形求值】 33．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【思路点拨】 此题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的灵活应用和变形是解题的关键． （1）运用完全平方公式变形为，即可求解； （2）运用完全平方公式变形为，即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵，， 又∵， ∴ ． （2）解：∵，， 由（1）知：， ∴ ． 34．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）根据完全平方公式即可求解． 【解题过程】 （1）解： ，， ， ； （2）解： ，， ，， ． 35．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）已知，求下列各式的值． （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式及其变形公式的运用，掌握公式形式是解题关键． （1）根据，整体代入，即可求解； （2）根据，，即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∵，， ∴原式； （2）解：∵，， ∴， ∴， ． 36．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若，且． （1）求的值； （2）求的值． 【思路点拨】 此题考查整式的化简求值，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）先去括号，再整体代入即可求出答案； （2）先将变形为，再整体代入，即可求出答案． 【解题过程】 （1）解：，， ， ， ， ； （2）解：，， ． 37．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，，求下列代数式的值： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题主要考查完全平方公式． （1）利用完全平方公式进行求解即可； （2）结合（1）进行求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴ ； （2）解： ． 38．（23-24七年级下·全国·单元测试）若n满足，求的值． 【思路点拨】 本题考查利用完全平方公式变形求值，根据，进行求解即可． 【解题过程】 解：∵，且， ∴ ， ∴； 故答案为：0． 39．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）已知，求的值 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，乘方运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 把等式结合后配方，利用完全平方公式化简，再根据非负数的性质求出x、y的值，然后在计算乘方即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， 即， ，， ∴，， ∴，， ∴． 40．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式，整式乘法的应用．先利用完全平方公式求得，再利用和结合即可求解． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ． 41．（23-24九年级下·浙江宁波·期中）已知正实数x满足． （1）求的值； （2）求与的值． 【思路点拨】 该题主要考查了完全平方公式以及多项式乘多项式，解答的关键是掌握对应的运算法则． （1）根据完全平方公式解答即可； （2）根据结合即可算出；同理根据算出，再根据即可计算； 【解题过程】 （1）∵， ∴． 又x为正实数， ∴； （2）． ， ∵ ∴， 解得：． 42．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）已知，且满足；求 （1）的值； （2）的值； （3）的值． 【思路点拨】 本题考查代数式求值，完全平方公式的运用、等式的性质． （1）根据等式的性质得到，根据完全平方公式计算，得到答案； （2）把化为，代入计算即可； （3）将分子分母约去一个a，得到，再由，，代入计算即可． 【解题过程】 （1）解： ， ， ， ， ， ， ； （2）解： ， ，， ； （3）解： ， ，， ， ． 43．（23-24八年级上·福建泉州·期末）已知． （1）求的值； （2）若，求的值； （3）若，，求的最大值． 【思路点拨】 本题主要考查了完全平方公式的运用，熟练掌握相关公式及方法是解题关键． （1）展开进行求解即可； （2）首先将去掉括号，得到，然后根据（1）求得，分情况计算即可； （3）利用完全平方公式得到，，然后利用，进一步加以计算即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ． （2）解：∵， ∴， 即， ∴， ， 当时， ； 当时， ． 综上所述，的值为或 （3）解：∵，， ∴， ， ∴ ， 即：， ∵≥， ∴ ， ∴≤， ∴当时，有最大值，这个最大值为． 44．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或者几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）若可配方成（m、n为常数），则______； 【探究问题】 （3）已知，则______； （4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】 （5）已知实数x、y满足，求的最值． 【思路点拨】 本题主要考查的是配方法的应用，“完美数”的定义． （1）根据“完美数”的定义解答即可． （2）利用配方法把原式变形，进而求出m，n的值，然后计算即可． （3）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性计算出x，y的值，然后再计算即可． （4）利用配方法把原式变形，根据“完美数”的定义解答即可． （5）将等式变形求得，利用配方法即可求得最小值． 【解题过程】 解：（1）， 故答案为：． （2） ， ∴，， ∴， 故答案为： （3） 即， 即， ∴，， ∴， 故答案为：5． （4） ， 要使S为“完美数”，则， 解得： （5）， ∴， ∴ ， ∵ ∴取的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$