1.7 正切函数（3知识点+10题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

1.7 正切函数 课程标准 学习目标 （1）借助单位圆理解正切函数的定义，利用定义推导出正切函数的诱导公式； （2）了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质． （1）掌握正切的诱导公式在化简、求值和证明中的应用； （2）能利用正切函数的图象及性质解决有关问题． 知识点01 正切函数 1、正切函数的定义 （1）根据函数的定义，比值是的函数，称为的正切函数，记作，其中定义域为． （2）若角的终边上任取一点，则． 2、特殊角的正切值 0 0 1 －1 【即学即练1】（24-25高一上·江苏淮安·月考）在平面直角坐标系中，已知角的始边是轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】（24-25高一上·天津河北·期末）已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 知识点02 正切函数的诱导公式 ； ； ； ； ； 【即学即练3】（22-23高一下·河南驻马店·期中）（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】（22-23高一下·江西九江·期中）已知，则（    ） A．2 B．2 C．1 D．1 知识点03 正切函数的图象与性质 1、正切函数的图象 （1）正切函数的图象称作正切曲线，正切曲线各支的渐近线方程为． （2）正切函数的图象： 【注意】①图象在x轴上方的部分下凹；在x轴下方的部分上凸． ②图象被相互平行的直线隔开，图象无限接近这些直线，但永不相交． ③正切函数不是轴对称图形，没有对称轴． 2、正切函数的性质 解析式 y＝tan x 定义域 值域 周期 ，最小正周期是 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个区间上单调递增 对称性 正切曲线是中心对称图形，其对称中心是 【即学即练5】（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的最小正周期为（    ） A．16 B．8 C． D． 【即学即练6】（23-24高一下·山西长治·期末）函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 难点1：函数f (x)＝Atan(A≠0，ω≠0)的性质的应用 正切函数的变换与正弦函数相同，一般根据函数图象的平移变换得到平移后的函数图象的解析式，最后利用正切函数图象的相关特征，用整体的观点建立对称轴、对称中心、单调区间等的方程或不等式求解． 【示例1】（24-25高一上·吉林·月考）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【示例2】（多选）已知函数，则（    ） A．的定义域和值域均为 B．的最小正周期为2 C．在区间内单调递增 D．的图象关于点对称 【题型1：利用正切函数的定义求值】 例1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知点是角终边上的一点，且，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 变式1-1．（24-25高一上·四川德阳·期末）已知角的终边过点，且，则（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（23-24高一下·重庆·月考）已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B．1 C．2 D． 变式1-3．（23-24高一下·江西南昌·月考）已知角的终边在直线上，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1、已知角α终边上任一点的坐标，求该角的正切函数值，或者已知角的正切值，求角终边上一点的坐标时，都应紧扣正切函数的定义求解． 2、其值与该点的位置无关，且但要注意判断角α 所在象限． 【题型2：利用诱导公式化简求值】 例2．（24-25高三上·安徽·月考）若，则（    ） A． B．1 C． D．或 变式2-1．（23-24高一下·江西景德镇·期中） ． 变式2-2．（23-24高一下·陕西渭南·月考） . 变式2-3．（23-24高一下·上海闵行·月考）化简： . 【方法技巧与总结】 1、熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键． 2、无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值． 【题型3：正切函数的定义域问题】 例3．（24-25高一上·浙江宁波·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．（23-24高一下·辽宁鞍山·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 变式3-2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式3-3．（24-25高一上·福建厦门·月考）函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 【方法技巧与总结】 1、求正切函数定义域的方法 （1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数有意义，即； （2）求正切函数的定义域时，要将 “”视为一个“整体”，令，，解得． 2、解正切不等式的方法 （1）图象法：即先画出函数图象，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的几何； （2）三角函数线法：现在单位圆中作出角的边界值时的正切项，得到边界线的终边，再单位圆中画出符合条件的区域，要特别注意函数的定义域． 【题型4：与正切函数有关的图象识别】 例4．函数、、在上的大致图像依次是 ．（选填序号） 变式4-1．（23-24高一上·宁夏银川·期末）函数（）的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   变式4-2．（23-24高二下·浙江丽水·期中）函数在的图象大致为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．（22-23高一下·北京·期中）函数|在区间（，）内的图象是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 解决与正切函数有关的图象识别问题的常用方法 1、作图法：先作出相关函数的图象，再对照选项确定正确答案． 2、性质法：研究相关函数的性质，排除相关选项，从而确定正确答案． 【题型5：正切函数的周期性及应用】 例5．（24-25高一上·青海·期末）函数的最小正周期为 . 变式5-1．（24-25高一上·重庆·期末）若函数的最小正周期为，则常数 ． 变式5-2．（24-25高一上·云南大理·期末）已知函数，若的周期为，则 . 变式5-3．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）设集合，则集合A的元素个数为（    ） A．1013 B．1014 C．2024 D．2025 【方法技巧与总结】 一般地，函数的最小周期为，常常利用此公式来求周期。 【题型6：正切函数的奇偶性及应用】 例6．判断下列函数的奇偶性： (1) (2) 变式6-1．判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式6-2．（23-24高一上·河北邢台·月考）已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为 ． 变式6-3．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，且，则 . 【方法技巧与总结】 判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断与的关系。 【题型7：正切函数的对称性及应用】 例7．（24-25高一上·湖北武汉·月考）函数的对称中心为 ； 变式7-1．（23-24高一下·河南驻马店·月考）下列是函数的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 变式7-2．（23-24高一下·北京·期中）“”是“函数的图象关于对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式7-3．已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 正切型函数只有对称中心，将 “”视为一个“整体”，令，，解得得到对称中心。 【题型8：正切函数的单调性及应用】 例8．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）函数的单调递增区间为 . 变式8-1．已知函数，则（    ） A．增区间为， B．增区间为， C．减区间为， D．减区间为， 变式8-2．（24-25高一上·云南昆明·月考）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式8-3．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1、的单调区间的求法是把看成一个整体，解即可，当时，先用诱导公式把化为正值再求单调区间。 2、已知单调性求参数的范围 （1）子集法：求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； （3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解 【题型9：比较正切函数值的大小】 例9．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式9-1．（23-24高一下·北京门头沟·期中）比较、、的大小关系（    ） A． B． C． D． 变式9-2．已知，，，则它们的大小关系为 （用“”连接） 变式9-3．（23-24高一下·陕西渭南·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用诱导公式将角度转化到同一个单调区间内，利用单调区间确定函数值的大小。 【题型10：正切函数的值域（最值）问题】 例10．（23-24高一下·江西·月考）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 变式10-1．函数的值域为 ． 变式10-2．函数的最小值为 . 变式10-3．（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知为钝角，则的最大值为 ． 【方法技巧与总结】 通常将正切函数当做整体，可利用换元法（令）将含有正弦函数的表达式简化，再结合基本初等函数的单调性求值域。三角函数值域的常见类型有： 1、形如型：可利用正弦函数的有界性，注意对a正负的讨论 2、形如型：可利用换元思想，设，转化为二次函数求最值，t的范围需要根据定义域来确定． 3、形如，可先由定义域求得的范围，然后求得的范围，最后求得最值 4、分式型：（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；（2）判别式法 1．（24-25高一上·山东淄博·期末）（    ） A． B． C． D．1 2．（24-25高一上·福建龙岩·月考）已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·甘肃兰州·月考）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 4．（24-25高三上·四川绵阳·月考）的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·北京·期末）若函数的最小正周期为，则的值是 . 6．（24-25高一上·安徽淮南·月考）与函数的图象不相交的一条直线是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·天津河东·期末）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·北京东城·期末）已知，若点在第一象限，则的取值范围是 ． 9．（24-25高一上·陕西榆林·月考）当，函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数，则下列结论中正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．点是图象的一个对称中心 D．不等式的解集为 11．（23-24高一下·辽宁·月考）已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数，在区间内的图象是（    ） A． B． C． D． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.7 正切函数 课程标准 学习目标 （1）借助单位圆理解正切函数的定义，利用定义推导出正切函数的诱导公式； （2）了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质． （1）掌握正切的诱导公式在化简、求值和证明中的应用； （2）能利用正切函数的图象及性质解决有关问题． 知识点01 正切函数 1、正切函数的定义 （1）根据函数的定义，比值是的函数，称为的正切函数，记作，其中定义域为． （2）若角的终边上任取一点，则． 2、特殊角的正切值 0 0 1 －1 【即学即练1】（24-25高一上·江苏淮安·月考）在平面直角坐标系中，已知角的始边是轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，.故选：A 【即学即练2】（24-25高一上·天津河北·期末）已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】角的终边经过点，所以.故选：A 知识点02 正切函数的诱导公式 ； ； ； ； ； 【即学即练3】（22-23高一下·河南驻马店·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】．故选：C． 【即学即练4】（22-23高一下·江西九江·期中）已知，则（    ） A．2 B．2 C．1 D．1 【答案】D 【解析】由，可得， 于是.故选：D 知识点03 正切函数的图象与性质 1、正切函数的图象 （1）正切函数的图象称作正切曲线，正切曲线各支的渐近线方程为． （2）正切函数的图象： 【注意】①图象在x轴上方的部分下凹；在x轴下方的部分上凸． ②图象被相互平行的直线隔开，图象无限接近这些直线，但永不相交． ③正切函数不是轴对称图形，没有对称轴． 2、正切函数的性质 解析式 y＝tan x 定义域 值域 周期 ，最小正周期是 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个区间上单调递增 对称性 正切曲线是中心对称图形，其对称中心是 【即学即练5】（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的最小正周期为（    ） A．16 B．8 C． D． 【答案】B 【解析】的最小正周期为．故选：B. 【即学即练6】（23-24高一下·山西长治·期末）函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数，令，解得， 令，可得， 所以函数的一个对称中心有，其它不是对称中心.故选：B． 难点1：函数f (x)＝Atan(A≠0，ω≠0)的性质的应用 正切函数的变换与正弦函数相同，一般根据函数图象的平移变换得到平移后的函数图象的解析式，最后利用正切函数图象的相关特征，用整体的观点建立对称轴、对称中心、单调区间等的方程或不等式求解． 【示例1】（24-25高一上·吉林·月考）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可知，的最小正周期， ， 根据对称性可知，则， 由于，所以，所以.故选：C 【示例2】（多选）已知函数，则（    ） A．的定义域和值域均为 B．的最小正周期为2 C．在区间内单调递增 D．的图象关于点对称 【答案】BD 【解析】由题意得即， 所以函数的定义域为，正切函数的值域为，故A错误； 函数的最小正周期，故B正确； 由A得，当时，，即在处无定义，故C错误； 由于的图象关于点对称，则令，则， 令，则，故的图象关于点对称，故D正确．故选：BD 【题型1：利用正切函数的定义求值】 例1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知点是角终边上的一点，且，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】由点是角终边上的一点， 所以，所以，故选：D 变式1-1．（24-25高一上·四川德阳·期末）已知角的终边过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 由三角函数的定义得，整理可得， 因为，所以，所以.故选：D 变式1-2．（23-24高一下·重庆·月考）已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【解析】根据题意，角的终边经过点，且，所以， 又，解得，故选：D. 变式1-3．（23-24高一下·江西南昌·月考）已知角的终边在直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知角的终边在直线上，在上任取一点， 则， 故，故选：A 【方法技巧与总结】 1、已知角α终边上任一点的坐标，求该角的正切函数值，或者已知角的正切值，求角终边上一点的坐标时，都应紧扣正切函数的定义求解． 2、其值与该点的位置无关，且但要注意判断角α 所在象限． 【题型2：利用诱导公式化简求值】 例2．（24-25高三上·安徽·月考）若，则（    ） A． B．1 C． D．或 【答案】C 【解析】由题意得，， 则.故选: . 变式2-1．（23-24高一下·江西景德镇·期中） ． 【答案】 【解析】由三角函数的诱导公式，可得： ． 故答案为：. 变式2-2．（23-24高一下·陕西渭南·月考） . 【答案】 【解析】 . 故答案为：. 变式2-3．（23-24高一下·上海闵行·月考）化简： . 【答案】 【解析】. 故答案为： 【方法技巧与总结】 1、熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键． 2、无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值． 【题型3：正切函数的定义域问题】 例3．（24-25高一上·浙江宁波·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以. 则函数的定义域为故选：A. 变式3-1．（23-24高一下·辽宁鞍山·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正切函数的定义域，令，，即， 所以函数的定义域为.故选:D． 变式3-2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数有意义，则，于是， 即，因此， 所以原函数的定义域为.故选：A 变式3-3．（24-25高一上·福建厦门·月考）函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】由题意，得， 所以，，得，， 故所求函数的定义城为，，故选：C. 【方法技巧与总结】 1、求正切函数定义域的方法 （1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数有意义，即； （2）求正切函数的定义域时，要将 “”视为一个“整体”，令，，解得． 2、解正切不等式的方法 （1）图象法：即先画出函数图象，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的几何； （2）三角函数线法：现在单位圆中作出角的边界值时的正切项，得到边界线的终边，再单位圆中画出符合条件的区域，要特别注意函数的定义域． 【题型4：与正切函数有关的图象识别】 例4．函数、、在上的大致图像依次是 ．（选填序号） 【答案】①③② 【解析】，在轴下方无图像，对应①； 与关于y轴对称，对应③， 是偶函数，图象关于y轴对称，对应②； 故三个图象依次是①③②. 故答案为：①③②. 变式4-1．（23-24高一上·宁夏银川·期末）函数（）的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】因为函数（） 所以，则函数为偶函数，故排除A，C选项； 又，故排除D选项，故选B符合.故选：B. 变式4-2．（23-24高二下·浙江丽水·期中）函数在的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 从而时，图象关于原点对称，所以选项A和C错误， 又时，，，所以时，， 所以选项B错误，选项D正确，故选：D. 变式4-3．（22-23高一下·北京·期中）函数|在区间（，）内的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，， ∴， 当时，， ∴， 由选项可判定B选项图象正确.故选：B 【方法技巧与总结】 解决与正切函数有关的图象识别问题的常用方法 1、作图法：先作出相关函数的图象，再对照选项确定正确答案． 2、性质法：研究相关函数的性质，排除相关选项，从而确定正确答案． 【题型5：正切函数的周期性及应用】 例5．（24-25高一上·青海·期末）函数的最小正周期为 . 【答案】 【解析】由题意可知，函数的最小正周期为. 故答案为：. 变式5-1．（24-25高一上·重庆·期末）若函数的最小正周期为，则常数 ． 【答案】 【解析】因为函数的最小正周期为，所以， 又因为，解得，故答案为：. 变式5-2．（24-25高一上·云南大理·期末）已知函数，若的周期为，则 . 【答案】 【解析】因为周期为，所以，， 则. 变式5-3．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）设集合，则集合A的元素个数为（    ） A．1013 B．1014 C．2024 D．2025 【答案】A 【解析】当时，， 由正切函数性质知道，此时单调递增，则集合至少有1012个元素. 即为. 当时，由于正切函数关于对称， 则，，，， 则当增加时，元素与前面的重复， 当时，元素等于 0， 当时，运用正切函数的周期性知道，又元素重复出现了， 则集合A的元素个数为1013个.故选：A. 【方法技巧与总结】 一般地，函数的最小周期为，常常利用此公式来求周期。 【题型6：正切函数的奇偶性及应用】 例6．判断下列函数的奇偶性： (1) (2) 【答案】(1)偶函数；(2)奇函数 【解析】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 且， 所以为偶函数. （2）因为的定义域为，关于原点对称， 且， 所以为奇函数. 变式6-1．判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)奇函数，理由见解析；(2)偶函数，理由见解析；(3)奇函数，理由见解析；(4)偶函数，理由见解析 【解析】（1）是奇函数，理由如下： 设，由解得， 所以的定义域为， ， 所以是奇函数. （2）是偶函数，理由如下： 设，则的定义域是， ， 所以是偶函数. （3）是奇函数，理由如下： 设，则定义域是， ， 所以是奇函数. （4）是偶函数，理由如下： 设，则的定义域是， ， 所以是偶函数. 变式6-2．（23-24高一上·河北邢台·月考）已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为的图象关于原点中心对称，所以， 又，故的最小值为． 变式6-3．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，且，则 . 【答案】 【解析】由，， 设函数，， 则， 即函数为奇函数，则， 所以， 则，即. 【方法技巧与总结】 判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断与的关系。 【题型7：正切函数的对称性及应用】 例7．（24-25高一上·湖北武汉·月考）函数的对称中心为 ； 【答案】 【解析】令，解得， 所以函数的对称中心是. 变式7-1．（23-24高一下·河南驻马店·月考）下列是函数的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，解得， 故函数的对称中心为，故AB错误； 当时，，故对称中心为，D正确， 经检验，C不满足要求.故选：D 变式7-2．（23-24高一下·北京·期中）“”是“函数的图象关于对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若函数的图象关于对称， 则，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“函数的图象关于对称”的充分不必要条件.故选：A. 变式7-3．已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得，，又，所以， 所以，则，则， 又，则，故． 令，解得． 结合选项可得当时，， 故是图象的一个对称中心．故选：B. 【方法技巧与总结】 正切型函数只有对称中心，将 “”视为一个“整体”，令，，解得得到对称中心。 【题型8：正切函数的单调性及应用】 例8．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【解析】易知正切函数的单调递增区间为， 所以令，解得； 即该函数的单调递增区间为. 变式8-1．已知函数，则（    ） A．增区间为， B．增区间为， C．减区间为， D．减区间为， 【答案】C 【解析】由解得. 因此，函数的单调递减区间为，.故选：C. 变式8-2．（24-25高一上·云南昆明·月考）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数在上是减函数， 所以，，， .故选：B. 变式8-3．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，解得， 故且，解得，故选：C 【方法技巧与总结】 1、的单调区间的求法是把看成一个整体，解即可，当时，先用诱导公式把化为正值再求单调区间。 2、已知单调性求参数的范围 （1）子集法：求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； （3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解 【题型9：比较正切函数值的大小】 例9．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A中，由，且，由正切函数性质， 可得，且， 所以，所以，所以A不正确； 对于B中，由， 由正切函数单调性可得，即，所以B错误； 对于C中，由正切函数在上为单调递增函数， 因为，所以，所以C正确； 对于D中，由，由正切函数的单调性，可得， 即，所以D错误.故选：C. 变式9-1．（23-24高一下·北京门头沟·期中）比较、、的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为函数在上单调递增，且， 所以，即.故选：D 变式9-2．已知，，，则它们的大小关系为 （用“”连接） 【答案】 【解析】因为，所以，，， 由正切函数性质得在上单调递增， 所以，故，即. 故答案为： 变式9-3．（23-24高一下·陕西渭南·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， ，由于，因此.故选：D. 【方法技巧与总结】 利用诱导公式将角度转化到同一个单调区间内，利用单调区间确定函数值的大小。 【题型10：正切函数的值域（最值）问题】 例10．（23-24高一下·江西·月考）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】故选：C. 变式10-1．函数的值域为 ． 【答案】 【解析】函数中，， 所以函数的值域为. 故答案为： 变式10-2．函数的最小值为 . 【答案】2 【解析】因为，由于，所以当时，函数取最小值2. 故答案为：2 变式10-3．（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知为钝角，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】为钝角,, ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为. 【方法技巧与总结】 通常将正切函数当做整体，可利用换元法（令）将含有正弦函数的表达式简化，再结合基本初等函数的单调性求值域。三角函数值域的常见类型有： 1、形如型：可利用正弦函数的有界性，注意对a正负的讨论 2、形如型：可利用换元思想，设，转化为二次函数求最值，t的范围需要根据定义域来确定． 3、形如，可先由定义域求得的范围，然后求得的范围，最后求得最值 4、分式型：（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；（2）判别式法 1．（24-25高一上·山东淄博·期末）（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】.故选：D 2．（24-25高一上·福建龙岩·月考）已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】角终边与单位圆交于点，则，. .故选：A. 3．（24-25高一上·甘肃兰州·月考）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】B 【解析】函数，定义域为， ，函数为奇函数， 其最小正周期.故选：B. 4．（24-25高三上·四川绵阳·月考）的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令， 函数的定义域为：， 函数的定义域：，则，即， 所以的定义域为故选：A 5．（24-25高一上·北京·期末）若函数的最小正周期为，则的值是 . 【答案】 【解析】因为函数的最小正周期为，所以，解得， 故，所以， 故答案为：. 6．（24-25高一上·安徽淮南·月考）与函数的图象不相交的一条直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，令，得， 令，得，令，得，令，得， 令，得，结合选项得函数的图象的一条渐近线为直线， 即直线与函数的图象不相交．故选：C． 7．（24-25高一上·天津河东·期末）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的图象的一个对称中心为， 则，解得， 且，所以函数的最小正周期为， 对于选项A：若，此时，不合题意，故A错误； 对于选项B：若，此时，不合题意，故B错误； 对于选项C：若，解得，故C正确； 对于选项D：若，此时，不合题意，故D错误；故选：C. 8．（24-25高一上·北京东城·期末）已知，若点在第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为点在第一象限，则， 且，可知角不为轴线角， 若，则，可得， 且，则，可得； 若，则，可得，不合题意； 若，则，可得， 且，则，可得； 若，则，可得，不合题意； 综上所述：的取值范围是. 9．（24-25高一上·陕西榆林·月考）当，函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由，得， 作出，，的图象， 由图可知，两函数的图象的交点有4个， 则曲线在上的零点个数为4.故选：B. 10．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数，则下列结论中正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．点是图象的一个对称中心 D．不等式的解集为 【答案】D 【解析】， 作出的图象，如图，观察图象， 对于A， 的最小正周期为，故A错误； 对于B，的值域为，B错误； 对于C，的图象没有对称中心，C错误； 对于D，不等式， 即时，得， 解得， 所以的解集为，故D正确.故选：D. 11．（23-24高一下·辽宁·月考）已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数，在区间内的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，的图象与直线的相邻交点间的距离为， 所以 的周期为， 则， 所以， 由正弦函数和正切函数图象可知正确.故选：A. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$