第十二讲 圆环及组合图形的面积应用(知识点＋经典讲练)-2024-2025学年五年级数学下册学习讲义（苏教版）

第十二讲 圆环及组合图形的面积应用【知识梳理】 知识点一：圆环的意义及面积的计算 （1）两个半径不相等的同心圆之间的部分叫作圆环，也叫环形。 （2）圆环的面积＝外圆的面积－内圆的面积，如果用R表示外圆半径，r表示内圆半径，S表示圆环的面积，那么圆环的面积计算公式是S＝πR2－πr2或S＝π(R2－r2)。 知识点二：组合图形面积的求法 把图形进行分割、拼接，转化为规则几何图形，再求面积。 经典讲练1：圆环的面积 例1、如图所示，大圆半径2厘米，小圆半径1厘米。小圆从A点出发，顺时针绕着大圆滚动一周，回到A点。 （1）请把小圆圆心的运动轨迹在图中画出来。 （2）小圆的圆心运动了（    ）厘米。 （3）小圆圆心的运动轨迹与原来的大圆之间形成了一个（    ）形，它的面积是（    ）平方厘米。 【答案】（1）见详解 （2）18.84 （3）圆环；15.7 【分析】（1）小圆从A点出发，顺时针绕着大圆滚动一周，回到A点，那么小圆圆心的运动轨迹是一个以A点为圆心，半径为（2＋1）厘米的圆，据此在图中画出运动轨迹。 （2）求小圆的圆心运动的长度，就是求半径为（2＋1）厘米的圆的周长，根据圆的周长公式C＝2πr求解。 （3）从图中可知，小圆圆心的运动轨迹与原来的大圆之间形成了一个圆环；根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算求解。 【详解】（1）小圆圆心的运动轨迹如下图： （2）2＋1＝3（厘米） 2×3.14×3＝18.84（厘米） 小圆的圆心运动了18.84厘米。 （3）3.14×（32－22） ＝3.14×（9－4） ＝3.14×5 ＝15.7（平方厘米） 小圆圆心的运动轨迹与原来的大圆之间形成了一个圆环形，它的面积是15.7平方厘米。 例2、如图，学校圆形花坛的直径是12米；在花坛的周围有一条2米宽的小路。小路的面积是多少平方米？ 【答案】87.92平方米 【分析】求小路的面积即求圆环的面积，内圆半径是12÷2＝6（米），内圆半径加上小路的宽即外圆半径，根据环形面积公式S＝π（－），代入公式计算即可。 【详解】12÷2＝6（米） 6＋2＝8（米） 3.14×（－） ＝3.14×（64－36） ＝3.14×28 ＝87.92（平方米） 例3、一个圆形餐桌，桌面上铺若一个直径是24分米圆形的桌布。桌面上放着一个可以转动的圆形转盘（餐桌的正中间），圆形转盘的直径是14分米。转盘的边缘距离圆桌的边缘3分米。圆形桌布从桌面上垂下部分的面积是多少平方分米？ 【答案】138.16平方分米 【分析】求圆形桌布从桌面上垂下部分的面积，也就是求圆环的面积，外圆的半径R等于桌布的半径，内圆的半径r等于桌面的面积；根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算即可求解。 【详解】桌布的半径：24÷2＝12（分米） 转盘的半径：14÷2＝7（分米） 桌面的半径：7＋3＝10（分米） 3.14×（122－102） ＝3.14×（144－100） ＝3.14×44 ＝138.16（平方分米） 例4、在星光小学校园里有一个靠墙的半圆形花圃（如图），已知它的直径是12米，这个半圆形花圃的周长是( )米，在花圃边有一个宽2米的半圆环形小路。这条小路的面积是( )平方米。（计算结果保留π） 【答案】 ＋12 【分析】（1）根据圆的周长公式：C＝πd，半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，代入数据计算即可； （2）根据环形面积公式：S环形 ＝π（R2−r2），求出圆环面积的一半，据此解答即可。 【详解】（1）π×12÷2＋12 ＝12π÷2＋12 ＝（6π＋12）米 这个半圆形花圃的周长是（6π＋12）米。 （2）小圆的半径：12÷2＝6（米） 大圆的半径： 6＋2＝8（米） 环形圆的面积： π（82−62） ＝π（64－36） ＝28π（平方米） 28π÷2＝14π（平方米） 练习： 1、一个圆环，内圆半径是2厘米，外圆半径是3厘米，这个圆环的面积是( )平方厘米。 【答案】15.7 【分析】已知圆环的内圆半径r和外圆半径R，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算求出这个圆环的面积。 【详解】3.14×（32－22） ＝3.14×（9－4） ＝3.14×5 ＝15.7（平方厘米） 这个圆环的面积是15.7平方厘米。 2、一个圆形喷水池，半径为6米，在它周围有一条宽为1米的环形小路，要在环形路上铺上鹅卵石，这条小路的面积是多少平方米？如果每平方米需要0.3吨鹅卵石，一共需要鹅卵石多少吨？ 【答案】12.246吨 【分析】根据题意可知：环形路面积＝外圆面积－内圆面积，再根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式求出环形路的面积，再乘每平方米需要鹅卵石的重量，即可求出共需要鹅卵石多少吨。 【详解】3.14×[（6＋1）2－62] ＝3.14×[72－62] ＝3.14×[49－36] ＝3.14×13 ＝40.82（平方米） 40.82×0.3＝12.246（吨） 3、2024年巴黎奥运会将于7月26日开幕，会上将升起奥运五环旗。奥运五环是由5个相同的圆环套接组成。如图，每个圆环的内外直径分别是10厘米和12厘米，每个相交处的面积大约是4平方厘米。这个奥运五环的面积是多少平方厘米？ 【答案】140.7平方厘米 【分析】用外圆的面积减去内圆的面积（圆环的面积）乘5即是五环的面积，总共相交8次，再减去相交的面积，即是这个图形的面积。其中，圆环的面积S＝π（R2－r2），据此解答。 【详解】12÷2＝6（厘米） 10÷2＝5（厘米） 3.14×（62－52） ＝3.14×（36－25） ＝3.14×11 ＝34.54（平方厘米） 34.54×5－4×8 ＝172.7－32 ＝140.7（平方厘米） 4、公园里有一个周长是31.4米的圆形花圃，要在花圃的周围修一条2米宽的小路。如果每平方米需要铺石子0.5吨，铺这条小路共需要石子多少吨？ 【答案】37.68吨 【分析】已知圆形花圃的周长是31.4米，根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆形花圃的半径r； 要在花圃的周围修一条2米宽的小路，则外圆的半径R等于花圃的半径加上2米； 根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算，即可求出小路的面积； 再用每平方米需铺石子的吨数乘小路的面积，求出铺这条小路共需要石子的总吨数。 【详解】花坛的半径： 31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（米） 外圆的半径：5＋2＝7（米） 小路的面积： 3.14×（72－52） ＝3.14×（49－25） ＝3.14×24 ＝75.36（平方米） 需要石子： 0.5×75.36＝37.68（吨） 经典讲练2：组合图形的面积 例1、计算图1涂色部分的周长和图2中涂色部分的面积。 （1）    （2） 【答案】（1）50.56厘米；（2）11.44平方厘米 【分析】 （1）如图，涂色部分的周长＝圆周长的一半＋长方形的长×2＋宽，圆的周长＝圆周率×直径； （2）涂色部分的面积＝梯形面积－圆的面积，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，圆的面积＝圆周率×半径的平方。 【详解】（1）3.14×8÷2＋15×2＋8 ＝12.56＋30＋8 ＝50.56（厘米） 涂色部分的周长是50.56厘米。 （2）（4＋8）×4÷2－3.14×42× ＝12×4÷2－3.14×16× ＝24－12.56 ＝11.44（平方厘米） 涂色部分的面积是11.44平方厘米。 例2、求涂色部分的面积。（单位：厘米） 【答案】122.46平方厘米；6.88平方厘米；15.25平方厘米 【分析】（1）观察图形可知，涂色部分是一个圆环，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算求解。 （2）观察图形可知，涂色部分的面积＝长方形的面积－半圆的面积，根据长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 （3）观察图形可知，涂色部分的面积＝半圆的面积－三角形的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，三角形的面积公式S＝ah÷2，代入数据计算求解。 【详解】（1）3.14×（82－52） ＝3.14×（64－25） ＝3.14×39 ＝122.46（平方厘米） 涂色部分的面积是122.46平方厘米。 （2）8×（8÷2）－3.14×（8÷2）2÷2 ＝8×4－3.14×42÷2 ＝32－3.14×16÷2 ＝32－25.12 ＝6.88（平方厘米） 涂色部分的面积是6.88平方厘米。 （3）3.14×（10÷2）2÷2－6×8÷2 ＝3.14×52÷2－48÷2 ＝3.14×25÷2－24 ＝39.25－24 ＝15.25（平方厘米） 例3、求涂色部分的面积。（单位：厘米） 【答案】39.25平方厘米；28.5平方厘米 【分析】第一幅图，看图可知，大圆半径＝小圆直径，涂色部分的面积＝大圆面积－小圆面积×2，圆的面积＝圆周率×半径的平方； 第二幅图，涂色部分的面积＝圆的面积－正方形面积，将正方形看成2个等腰直角三角形，三角形的底＝圆的直径，三角形的高＝圆的半径，三角形面积＝底×高÷2，正方形面积＝三角形面积×2，据此列式计算。 【详解】3.14×（10÷2）2－3.14×（10÷2÷2）2×2 ＝3.14×52－3.14×2.52×2 ＝3.14×25－3.14×6.25×2 ＝78.5－39.25 ＝39.25（平方厘米） 3.14×（10÷2）2－10×（10÷2）÷2×2 ＝3.14×52－10×5÷2×2 ＝3.14×25－50 ＝78.5－50 ＝28.5（平方厘米） 练习： 1、求出下列图形中涂色部分的面积。 【答案】；； 【分析】①图中阴影部分是环形，根据环形面积公式：环形面积等于大圆面积减去小圆面积即，然后代入数据计算即可； ②图中阴影部分是一个半圆面积加一个正方形面积，即，然后代入数据计算即可； ③图中阴影部分面积等于半圆面积减去三角形面积，即，然后代入数据计算即可。 【详解】图①： 图②： 图③： 2、计算下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） （1）          （2） 【答案】（1）31.4平方厘米；（2）5.44平方厘米 【分析】（1）阴影部分的面积是由四分之一的大圆面积减四分之一小圆面积围成，通过圆的面积＝可计算出阴影部分面积。 （2）阴影部分面积可通过梯形面积减圆的面积计算，梯形面积＝，圆的面积＝。 【详解】（1）7－4＝3（厘米） ＝ ＝31.4（平方厘米） （2）（3＋6）×4÷2－3.14×（4÷2）2 ＝9×4÷2－3.14×4 ＝18－12.56 ＝5.44（平方厘米） 3、仔细观察，算一算。（计算下面各图形中阴影部分的面积） 【答案】6.88dm2；57m2；30.375dm2 【分析】 ，阴影部分面积＝长是（4＋4）dm，宽是4dm的长方形面积－直径是4dm的圆的面积×2；根据长方形面积公式：面积＝长×宽；圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答； ，阴影部分面积＝半径是10m的圆的面积一半－底是（10＋10）m，高是10m的是三角形面积；根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答； ，阴影部分面积＝长是（5＋5）dm，宽是5dm的长方形面积－直径是5dm的圆的面积；根据长方形面积公式：面积＝长×宽；圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】（4＋4）×4－3.14×（4÷2）2×2 ＝8×4－3.14×22×2 ＝32－3.14×4×2 ＝32－12.56×2 ＝32－25.12 ＝6.88（dm2） 3.14×102÷2－（10＋10）×10÷2 ＝3.14×100÷2－20×10÷2 ＝314÷2－200÷2 ＝157－100 ＝57（m2） （5＋5）×5－3.14×（5÷2）2 ＝10×5－3.14×2.52 ＝50－3.14×6.25 ＝50－19.625 ＝30.375（dm2） 巩固提优 1、如图所示，比较空白部分与阴影部分的周长、面积的大小，说法正确的是（  ）。 A．周长相等，面积也相等 B．周长相等，面积不相等 C．周长不相等，面积相等 D．周长不相等，面积也不相等 【答案】A 【分析】封闭图形一周的长度是这个图形的周长；面积是指物体所占的平面图形的大小。据此分析解答。 【详解】通过观察可以发现，阴影部分和空白部分的周长都是由两条相同半圆的弧长和两条正方形的边长组成，因为半圆的弧长等于圆周长的一半，两条这样相同的半圆弧长之和就等于一个圆的周长，即空白部分与阴影部分的周长都是由直径为10厘米的圆的周长加两条正方形的边长组成，因此空白部分与阴影部分的周长是相等的。 通过割补法，把空白部分与阴影部分变成两个大小相同直角三角形，如下图，所以空白部分与阴影部分的面积是相等的。 故答案为：A 2、如图，扇形的半径都是4厘米，阴影部分的面积是（    ）平方厘米。 A．16 B．16π C．8π D．无法确定 【答案】C 【分析】观察图形可知，阴影部分是3个半径为4厘米的扇形，它们的圆心角之和等于三角形的内角和180°，由此可知，3个阴影扇形可以组成半径为4厘米的半圆；根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】180°÷360°＝ π×42× ＝π×16× ＝8π（平方厘米） 阴影部分的面积是8π平方厘米。 故答案为：C 3、阴影部分面积能用“π×（52－22）”来计算的有（    ）。    A．1个 B．2个 C．3个 【答案】C 4、如图，在一个面积是20平方厘米的正方形内画一个最大的圆，画出的圆的面积是( )平方厘米；继续在这个圆内画一个最大的正方形，画出的正方形的面积是( )平方厘米。 【答案】 15.7 10 【分析】在正方形中画一个最大的圆，即圆的直径等于大正方形的边长，根据d＝2r，则圆的半径等于大正方形边长的一半，设面积是20平方厘米的大正方形的边长为厘米，则圆的半径为厘米；根据圆的面积＝πr2，则圆的面积是：，因为平方厘米，所以圆的面积是（平方厘米）；因为在圆内画出的正方形的对角线是圆的直径，而圆的直径又是大正方形的边长，所以在圆内画出的正方形的对角线等于大正方形的边长，根据正方形的面积＝对角线相乘÷2，在圆内画出的正方形的面积为÷2，因为＝20平方厘米，所以在圆内画出的正方形面积是20÷2＝10平方厘米；据此解答即可。 【详解】 ＝0.785×20 ＝15.7（平方厘米） 20÷2＝10（平方厘米） 5、求阴影部分的周长和面积。 【答案】12.56cm；3.44cm2 【分析】（1）观察图形可得，阴影部分的周长等于半径是4÷2＝2cm的圆的周长；利用周长公式即可得解。 （2）阴影部分的面积等于正方形的面积减去一个半径2cm的圆的面积，根据圆的面积＝πr2，正方形的面积＝边长×边长，代入数据即可解答。 【详解】4×3.14＝12.56（cm） 4×4－（4÷2）2×3.14 ＝16－4×3.14 ＝16－12.56 ＝3.44（cm2） 阴影部分的周长是12.56cm，面积是3.44cm2。 6、求涂色部分的周长。（π值取3.14） 【答案】33.42dm 【分析】 如图所示： 通过平移可以知道：涂色部分的周长等于长方形的两条长之和加上一条宽的长度，再加上直径为6dm圆的周长的一半。圆的周长C＝πd，据此解答。 【详解】 由分析可作图：   9×2＋6＋3.14×6÷2 ＝18＋6＋18.84÷2 ＝24＋9.42 ＝33.42（dm） 7、计算下面图形的周长。 【答案】42.84dm；28.26cm 【详解】图一：2×3.14×12×＋12×2 ＝6.28×12×＋24 ＝75.36×＋24 ＝18.84＋24 ＝42.84（dm） 图二：3.14×（2＋3＋4）÷2＋3.14×2÷2＋3.14×3÷2＋3.14×4÷2 ＝3.14×9÷2＋6.28÷2＋9.42÷2＋12.56÷2 ＝28.26÷2＋3.14＋4.71＋6.28 ＝14.13＋3.14＋4.71＋6.28 ＝17.27＋4.71＋6.28 ＝21.98＋6.28 ＝28.26（cm） 8、求阴影部分的面积。 【答案】36平方厘米 【分析】题干中图形是运动场造型，左右两侧的半圆可组成一个圆，半径为（6÷2）厘米，根据圆面积＝计算得出两侧半圆面积；中间位置是一个正方形，边长为6厘米，面积＝边长×边长，这个图形面积是圆面积＋正方形面积；图中的白色部分是两个半圆，能组成一个半径为（6÷2）厘米的圆，根据阴影部分面积＝图形面积-白色圆的面积，则左右两侧的阴影部分两个半圆与中间白色的两个半圆面积相等，则阴影部分面积＝中间正方形面积＝边长×边长，据此可得出答案。 9、求阴影部分的面积。              【答案】10.75cm2；42.5cm2 【分析】第一幅图，阴影部分的面积＝长方形面积－半圆的面积，长方形面积＝长×宽，半圆面积＝圆周率×半径的平方÷2； 第二幅图，通过对称，阴影部分可以拼成一个梯形，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，列式计算即可。 【详解】10×（10÷2）－3.14×（10÷2）2÷2 ＝10×5－3.14×52÷2 ＝50－3.14×25÷2 ＝50－39.25 ＝10.75（cm2） （5＋12）×5÷2 ＝17×5÷2 ＝42.5（cm2） 阴影部分的面积分别是10.75cm2、42.5cm2。 10、计算下面阴影部分的面积。（单位：分米。） 【答案】5.44平方分米；18平方分米 【分析】左图：阴影部分面积＝梯形面积减去半径为4的圆面积的；梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2；圆面积＝，代入数据计算即可； 右图： 如图，1、2、3、4部分面积相等，则阴影部分面积等于正方形面积的一半。 【详解】（4＋5）×4÷2 ＝9×4÷2 ＝18（平方分米） 3.14×42÷4 ＝3.14×16÷4 ＝12.56（平方分米） 18－12.56＝5.44（平方分米） 6×6÷2＝18（平方分米） 11、求涂色部分的面积。（单位：厘米） 【答案】6.88平方厘米；46.26平方厘米 【分析】通过观察第一个图可知，长方形的宽等于半圆的半径，涂色部分的面积等于一个长方形的面积减去一个半圆的面积。根据公式r＝d÷2、长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，即可解答； 通过观察第二个图可知，涂色部分的面积等于一个三角形的面积加上一个半圆的面积，根据公式r＝d÷2、三角形的面积公式S＝ ah÷2、圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，即可解答。 【详解】（1）8÷2＝4（厘米） 8×4－3.14×42÷2 ＝8×4－3.14×16÷2 ＝32－25.12 ＝6.88（平方厘米） （2）3.14×（6÷2）2＋6×6÷2 ＝3.14×32＋6×6÷2 ＝3.14×9＋6×6÷2 ＝28.26＋18 ＝46.26（平方厘米） 12、量出需要的数据（取整毫米数），计算涂色部分的面积。 【答案】142.4775平方毫米；484.48平方毫米；111.72平方毫米 【分析】（1）量出大半圆的半径是11毫米，观察可知小半圆的直径等于大半圆的半径，涂色部分等于大半圆面积减小半圆面积，根据半径＝直径÷2，圆的面积公式，圆的面积除以2得到半圆的面积，据此计算解答。 （2）量出长方形的长是24毫米，宽是16毫米，观察可知半圆的直径等于长方形的宽，涂色部分的面积等于长方形面积加半圆面积，根据圆的半径＝直径÷2，圆的面积公式，圆的面积除以2得到半圆的面积，长方形的面积＝长×宽，据此计算解答。 （3）量出半圆的半径是14毫米，观察可知，白色三角形的底是半圆的直径，高是半圆的半径，涂色部分的面积等于半圆面积减白色三角形的面积，根据圆的直径＝半径×2，圆的面积公式，圆的面积除以2得到半圆的面积，据此计算解答。 【详解】（1） （平方毫米） （平方毫米） （平方毫米） （2）（平方毫米） （平方毫米） （平方毫米） （3） （平方毫米） （平方毫米） （平方毫米） 13、阳光花园小区有一个圆形水塘。水塘的直径是12米，王大妈喜爱运动，每天绕水塘边走10圈。 （1）王大妈每天绕水塘走多少米？ （2）为美化环境，小区又在水塘一周修了一个2米宽的环形花圃。环形花圃的面积是多少平方米？ 【答案】（1）376.8米； （2）87.92平方米 【分析】（1）根据“圆的周长公式为：”，求出圆形水塘的周长，再乘王大妈走的圈数，即可求出王大妈每天绕水塘走多少米。 （2）环形花圃的面积相当于一个外圆半径（12÷2＋2）米、内圆半径（12÷2）米的圆环的面积，圆环的面积“”，据此解题即可。 【详解】（1）3.14×12×10 ＝37.68×10 ＝376.8（米） 答：王大妈每天绕水塘走376.8米。 （2）12÷2＝6（米） 3.14×[（6＋2）2－62] ＝3.14×[82－62] ＝3.14×[64－36] ＝3.14×28 ＝87.92（平方米） 14、明珠小区有一个直径6米的圆形花坛，现准备将这个花坛的直径扩建至10米，若扩建1平方米需要经费280元，则扩建这个花坛共需要经费多少元？ 【答案】14067.2元 【分析】根据题意，用扩建后圆的面积－原来圆形花坛的面积，求出扩建部分的面积，也是圆环的面积；根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出扩建部分的面积再乘280，即可求出需要的经费。 【详解】[3.14×（10÷2）2－3.14×（6÷2）2]×280 ＝[3.14×52－3.14×32]×280 ＝[3.14×25－3.14×9]×280 ＝[78.5－28.26]×280 ＝50.24×280 ＝14067.2（元） 15、一个圆形花坛的半径为6米，要在花坛周围铺一条2米宽的石子路，并且在这条石子路的外围围上篱笆。石子路的面积是多少平方米？石子路外围的篱笆长多少米？ 【答案】87.92平方米；50.24米 【分析】石子路的形状是个圆环，小圆半径＝花坛的半径，大圆半径＝花坛的半径＋石子路的宽，根据圆环面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），即可求出石子路的面积；根据圆的周长＝2×圆周率×半径，即可求出篱笆长。 【详解】6＋2＝8（米） 3.14×（82－62） ＝3.14×（64－36） ＝3.14×28 ＝87.92（平方米） 2×3.14×8＝50.24（米） 答：石子路的面积是87.92平方米，石子路外围的篱笆长50.24米。 16、下图中涂色部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积。 【答案】78.5平方厘米 【分析】 根据正方形的面积＝边长×边长，因为小圆的半径等于小正方形的边长，所以小正方形的面积等于小圆半径的平方，即r2。同理，大圆的半径等于大正方形的边长，所以大正方形的面积等于大圆半径的平方，即R2。因此，涂色部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积，即R2－r2＝25（平方厘米），根据圆环面积公式：S＝π（R2－r2），用3.14×25可以求出圆环的面积。 【详解】 3.14×25＝78.5（平方厘米） 17、一块圆形玉佩（如图），外围是玉石，中间是黄金。这块玉佩中玉石的面积是多少平方厘米？ 【答案】9.42平方厘米 【分析】 观察题意可知，大圆的半径是（4÷2）厘米，小圆的半径是（2÷2）厘米，根据根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），用3.14×[（4÷2）2－（2÷2）2]即可求出玉石的面积。 【详解】3.14×[（4÷2）2－（2÷2）2] ＝3.14×[22－12] ＝3.14×[4－1] ＝3.14×3 ＝9.42（平方厘米） 18、城中公园有一个周长为31.4米的圆形草坪。 （1）现在准备为它安装自动旋转喷灌装置。有射程为5米、10米、20米的三种装置。你认为自动旋转喷灌装置选哪种比较合适？安装在什么地方？写出计算过程和你的想法。 （2）在草坪周围铺设一条宽为1米的水泥路，这条路的面积是多少平方米？ 【答案】（1）见详解； （2）34.54平方米 【分析】（1）根据圆的特征，安装是圆心的位置比较合适，根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷π÷2，据此求出半径，然后与喷灌的射程进行比较即可。 （2）根据环形面积公式：S＝π（R2－r2），把数据代入公式解答。 【详解】（1）31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（米） 答：选择射程5米的比较合适，安装是圆心的位置。 （2）5＋1＝6（米） 3.14×（62－52） ＝3.14×（36－25） ＝3.14×11 ＝34.54（平方米） 答：这条路的面积是34.54平方米。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二讲 圆环及组合图形的面积应用【知识梳理】 知识点一：圆环的意义及面积的计算 （1）两个半径不相等的同心圆之间的部分叫作圆环，也叫环形。 （2）圆环的面积＝外圆的面积－内圆的面积，如果用R表示外圆半径，r表示内圆半径，S表示圆环的面积，那么圆环的面积计算公式是S＝πR2－πr2或S＝π(R2－r2)。 知识点二：组合图形面积的求法 把图形进行分割、拼接，转化为规则几何图形，再求面积。 经典讲练1：圆环的面积 例1、如图所示，大圆半径2厘米，小圆半径1厘米。小圆从A点出发，顺时针绕着大圆滚动一周，回到A点。 （1）请把小圆圆心的运动轨迹在图中画出来。 （2）小圆的圆心运动了（    ）厘米。 （3）小圆圆心的运动轨迹与原来的大圆之间形成了一个（    ）形，它的面积是（    ）平方厘米。 例2、如图，学校圆形花坛的直径是12米；在花坛的周围有一条2米宽的小路。小路的面积是多少平方米？ 例3、一个圆形餐桌，桌面上铺若一个直径是24分米圆形的桌布。桌面上放着一个可以转动的圆形转盘（餐桌的正中间），圆形转盘的直径是14分米。转盘的边缘距离圆桌的边缘3分米。圆形桌布从桌面上垂下部分的面积是多少平方分米？ 例4、在星光小学校园里有一个靠墙的半圆形花圃（如图），已知它的直径是12米，这个半圆形花圃的周长是( )米，在花圃边有一个宽2米的半圆环形小路。这条小路的面积是( )平方米。（计算结果保留π） 练习： 1、一个圆环，内圆半径是2厘米，外圆半径是3厘米，这个圆环的面积是( )平方厘米。 2、一个圆形喷水池，半径为6米，在它周围有一条宽为1米的环形小路，要在环形路上铺上鹅卵石，这条小路的面积是多少平方米？如果每平方米需要0.3吨鹅卵石，一共需要鹅卵石多少吨？ 3、2024年巴黎奥运会将于7月26日开幕，会上将升起奥运五环旗。奥运五环是由5个相同的圆环套接组成。如图，每个圆环的内外直径分别是10厘米和12厘米，每个相交处的面积大约是4平方厘米。这个奥运五环的面积是多少平方厘米？ 4、公园里有一个周长是31.4米的圆形花圃，要在花圃的周围修一条2米宽的小路。如果每平方米需要铺石子0.5吨，铺这条小路共需要石子多少吨？ 经典讲练2：组合图形的面积 例1、计算图1涂色部分的周长和图2中涂色部分的面积。 （1）    （2） 例2、求涂色部分的面积。（单位：厘米） 例3、求涂色部分的面积。（单位：厘米） 练习： 1、求出下列图形中涂色部分的面积。 2、计算下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） （1）          （2） 3、仔细观察，算一算。（计算下面各图形中阴影部分的面积） 巩固提优 1、如图所示，比较空白部分与阴影部分的周长、面积的大小，说法正确的是（  ）。 A．周长相等，面积也相等 B．周长相等，面积不相等 C．周长不相等，面积相等 D．周长不相等，面积也不相等 2、如图，扇形的半径都是4厘米，阴影部分的面积是（    ）平方厘米。 A．16 B．16π C．8π D．无法确定 3、阴影部分面积能用“π×（52－22）”来计算的有（    ）。    A．1个 B．2个 C．3个 4、如图，在一个面积是20平方厘米的正方形内画一个最大的圆，画出的圆的面积是( )平方厘米；继续在这个圆内画一个最大的正方形，画出的正方形的面积是( )平方厘米。 5、求阴影部分的周长和面积。 6、求涂色部分的周长。（π值取3.14） 7、计算下面图形的周长。 8、求阴影部分的面积。 9、求阴影部分的面积。              10、计算下面阴影部分的面积。（单位：分米。） 11、求涂色部分的面积。（单位：厘米） 12、量出需要的数据（取整毫米数），计算涂色部分的面积。 13、阳光花园小区有一个圆形水塘。水塘的直径是12米，王大妈喜爱运动，每天绕水塘边走10圈。 （1）王大妈每天绕水塘走多少米？ （2）为美化环境，小区又在水塘一周修了一个2米宽的环形花圃。环形花圃的面积是多少平方米？ 14、明珠小区有一个直径6米的圆形花坛，现准备将这个花坛的直径扩建至10米，若扩建1平方米需要经费280元，则扩建这个花坛共需要经费多少元？ 15、一个圆形花坛的半径为6米，要在花坛周围铺一条2米宽的石子路，并且在这条石子路的外围围上篱笆。石子路的面积是多少平方米？石子路外围的篱笆长多少米？ 16、下图中涂色部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积。 17、一块圆形玉佩（如图），外围是玉石，中间是黄金。这块玉佩中玉石的面积是多少平方厘米？ 18、城中公园有一个周长为31.4米的圆形草坪。 （1）现在准备为它安装自动旋转喷灌装置。有射程为5米、10米、20米的三种装置。你认为自动旋转喷灌装置选哪种比较合适？安装在什么地方？写出计算过程和你的想法。 （2）在草坪周围铺设一条宽为1米的水泥路，这条路的面积是多少平方米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$