第22章 二次函数 单元检测 2024-2025学年人教版（2012）数学九年级上册

            二次函数 第22章     单元检测 一、选择题（共10小题） 1．（2024•淅川县一模）如图，若一次函数的图象经过二、三、四象限，则二次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•江阳区期末）已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 3．（2024春•北碚区校级期中）已知抛物线，下列说法正确的是　　 A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 4．（2023秋•江阳区期末）将抛物线向左平移一个单位，得到的新抛物线的解析式是　　 A． B． C． D． 5．（2024•石家庄模拟）如图，的半径为2，是函数的图象，是函数的图象，则阴影部分的面积是　　 A． B． C． D．都不对 6．（2024•峄城区二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 7．（2024春•台江区校级期中）已知二次函数，当时，的取值范围是，且该二次函数的图象经过点，两点，则的值不可能是　　 A． B．4 C． D．6 8．（2024春•九龙坡区校级期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•丰顺县期末）已知二次函数和一次函数的图象如图所示，下面四个推断： ①二次函数有最大值 ②二次函数的图象关于直线对称 ③当时，二次函数的值大于0 ④过动点且垂直于轴的直线与，的图象的交点分别为，，当点位于点上方时，的取值范围是或，其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2024春•郑州期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共10小题） 11．（2024•惠城区校级一模）若函数的图象与轴只有一个公共点，则常数的值是 　　． 12．（2024•济宁二模）写出一个二次函数，其图象满足：（1）开口向下；（2）顶点坐标是．这个二次函数的解析式可以是 　　． 13．（2023秋•江阳区期末）如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为 　　． 14．（2024•大庆二模）如图，二次函数为常数）的图象的对称轴为直线．则的值为 　　． 15．（2024•凉州区二模）已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为 　　． 16．（2024•凉州区校级一模）如图，在喷水池的中心处竖直安装一个水管，水管的顶端处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高点，高度为，水柱落地点离池中心处，则水管的长为　　． 17．（2023秋•睢宁县期末）已知某品牌汽车在进行刹车测试时发现，该品牌某款汽车刹车后行驶的距离（单位：米）与行驶时间（单位：秒）满足下面的函数关系：．那么测试实验中该汽车从开始刹车到完全停止，共行驶了 　　米． 18．（2024•无锡模拟）已知抛物线经过点和点，则的最小值是 　　． 19．（2024春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①； ②； ③若点在此抛物线上且，则或． ④若点在此抛物线上，则； 所有正确结论的序号是 　　． 20．（2024春•海淀区校级期中）二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，，．下列结论中： ①；②；③；④；⑤． 正确的有 　　（写出所有正确结论的序号）． 三、解答题（共10小题） 21．（2024春•海淀区校级期中）已知二次函数，当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 22．（2023秋•嘉兴期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，． （1）求抛物线的函数解析式； （2）将抛物线向左平移个单位，当抛物线经过点时，求的值； （3）若是抛物线上位于第一象限内的一点，且，求点的坐标． 23．（2024春•江宁区校级月考）已知二次函数． （1）若该函数图象经过点，求的值； （2）当时，随的增大而减小，求的取值范围． 24．（2023秋•兴庆区期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 25．（2024春•龙华区月考）如图，二次函数的图象与轴的交点为、在的右侧），与轴的交点为，且，，对称轴是直线，求二次函数的解析式． 26．（2024•雅安模拟）某超市销售一种商品，成本价为30元千克，经市场调查，每天销售量（千克）与销售单价（元千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元． （1）直接写出与之间的函数关系式： （2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？ （3）设每天的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 27．（2023秋•玉环市期末）如图，已知抛物线经过点． （1）求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围． 28．（2024春•仓山区校级月考）已知二次函数． （1）用配方法化为的形式； （2）该二次函数图象的顶点坐标为 　　； （3）如图，用五点画图法在给出的坐标系中画出该二次函数的图象； 0 1 2 3 　　 　　 　　 　　 　　 （4）根据图象，直接写出当时，的取值范围． 29．（2024•宣化区一模）某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程发现，每月销量（万件）与销售单价（元之间关系可以近似地看作一次函数．（利润售价制造成本） （1）写出每月的利润（万元）与销售单价（元之间函数解析式； （2）当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得350万元的利润？ （3）当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？ 30．（2024•新昌县一模）在直角坐标系中，设函数，是实数）． （1）当时，若该函数的图象经过点，求函数的表达式． （2）若，且当时，随的增大而减小，求的取值范围． （3）若该函数的图象经过，两点，是实数）．当时，求证：． 参考答案 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【解答】解：一次函数的图象经过二、三、四象限， ，， 二次函数的图象可能是：开口方向向下，对称轴在轴左侧， 故选：． 2．【答案】 【解答】解：抛物线解析式为， 抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，随增大而减小， 点 ，，在抛物线上，且， ． 故选：． 3．【答案】 【解答】解：由题意，抛物线为， 抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 故、、均不正确，正确． 故选：． 4．【答案】 【解答】解：由题意，根据二次函数的变化规律“左加右减，上加下减”， 又抛物线向左平移一个单位， 新抛物线的解析式是． 故选：． 5．【答案】 【解答】解：是函数的图象，是函数的图象， 两函数图象关于轴对称， 阴影部分面积即是半圆面积， 阴影部分的面积． 故选：． 6．【答案】 【解答】解：二次函数， 抛物线开口向上， 排除， 一次函数， 直线与轴的正半轴相交， 排除； 抛物线得， 排除； 故选：． 7．【答案】 【解答】解：二次函数，当时，的取值范围是， 二次函数开口向下，对称轴为直线， 该二次函数的图象经过点，两点， 点关于对称轴的对称点为， 或， 的值不可能是． 故选：． 8．【答案】 【解答】解：由题意可知， 二次函数的图象的对称轴为，开口方向向下， 则离着对称轴越远的点的纵坐标越小， 点离着对称轴最远，点离着对称轴最近， 所以． 故选：． 9．【答案】 【解答】解：二次函数的图象的开口向上， 二次函数有最小值，故①错误； 观察函数图象可知二次函数的图象关于直线对称，故②正确； 当时，二次函数的值小于0，故③错误； 当或时，抛物线在直线的上方， 的取值范围为：或，故④正确． 故选：． 10．【答案】 【解答】解：由题意，抛物线开口向上， ，故①正确． 又对称轴是直线， ． ，故②正确． 又由题意，抛物线与轴有两个不同的交点， △，故③正确． 又当时，， ． ，故④错误． 综上，正确的有3个． 故选：． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】0或1． 【解答】解：有两种情况： ①当时，函数为， 图象为一条直线，与轴有一个交点， ； ②当时，的图象与轴只有一个公共点， 令，则， △， 解得：， 故答案为：0或1． 12．【答案】．（答案不唯一） 【解答】解：抛物线顶点为， ， 抛物线开口向下， ， ． 故答案为：． 13．【答案】，． 【解答】解：一次函数与二次函数的图象分别交于点，， 关于的方程的解为：，． 故答案为：，． 14．【答案】3． 【解答】解：由二次函数为常数）知，该抛物线与轴的交点坐标是和． 对称轴为直线， ． 解得， 故答案为：3． 15．【答案】． 【解答】解：抛物线的解析式为， 抛物线的开口向下，顶点坐标为， 抛物线，抛物线关于原点中心对称， 抛物线的开口向上，顶点坐标为， 抛物线的解析式为． 故答案为：． 16．【解答】解：以池中心为原点，竖直安装的水管为轴，与水管垂直的为轴建立直角坐标系． 由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为， 则设抛物线的解析式为：， 代入求得：． 将值代入得到抛物线的解析式为：； 令，则． 故水管的长为． 故答案为：2.25． 17．【答案】9． 【解答】解：由题意，， ， 当时，前行的距离最大，最大距离为9米， 汽车从开始刹车到完全停下这段时间的行驶的距离为：9米． 故答案为：9． 18．【答案】． 【解答】解：抛物线， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过点和点， 点和点关于对称轴对称，， ，即， ， ， ， 时，有最小值为：． 故答案为：． 19．【答案】②③④． 【解答】解：抛物线的对称轴是直线， ，故①错误． 抛物线开口向下， ，故②正确． 抛物线与轴的交点为，抛物线开口向下，对称轴为， 点关于对称轴的对称点为， 若点在此抛物线上且， 或，故③正确． 抛物线开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大． 又由对称性，当时的函数值与当时函数相同， 由，且抛物线过点， 当时，． 当时，，故④正确． 故答案为：②③④． 20．【答案】①②③⑤． 【解答】解：抛物线的开口向下，则；抛物线的对称轴，且； ①由图可得：当时，，即，故①正确； ②已知，且，所以，故②正确； ③已知抛物线经过，即（1）， 由图知：当时，，即（2）， 由（2）（1）可得， ， 故③正确； ④已知抛物线经过，即（1），由图知：当时，，即（2）， 由①知：（3）； 联立（1）（2），得：； 联立（1）（3）得：； 故，即； 所以④错误； ⑤已知抛物线经过，即， ， ， ， ， ， ，故⑤正确； 因此正确的结论是①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 三、解答题（共10小题） 21．【答案】或． 【解答】解：当时，对进行分类讨论． ①当时，即，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ， ，解得（不合题意，舍去）． ②当时，顶点的横坐标在取值范围内， ， 当时，在时，， ， 解得或（不合题意，舍去）． 当时，在时，， ， 解得或（不合题意，舍去）， ③当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ， 解得． 综上所述，或． 22．【答案】（1）抛物线的函数解析式为； （2）； （3）或． 【解答】解：（1）把，代入， 则， 解得， 抛物线的函数解析式为； （2）， 对称轴为直线， 令点关于对称轴的对称点为， ， ， 抛物线向左平移个单位经过点， ； （3）设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， 直线的解析式为， 过点作轴交于点，如图： 则点的纵坐标为2， 把代入得，， 解得， ， ， ， 过点作轴交于点， 设点，则， ， ， ， ． ， 令， 解得或2， 当时，； 当时，， 或． 23．【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）二次函数过点， ， 解得：； （2）， 函数图象抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小， ， 解得：， ， 的取值范围． 24．【答案】（1）； （2）19，250． 【解答】解：（1）设商城每次降价的百分率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：商城每次降价的百分率为． （2）设每个商品应降价元，则平均每天可售出个， 则利润：， 整理得：， 当时，获得利润最大，最大为250元， 此时每个商品的定价为（元， 答：要想获得最大利润，每个商品的定价为19元，最大利润是250元． 25．【答案】． 【解答】解：由题意，设二次函数的解析式为， 又抛物线过，，对称轴是直线， ． ． 抛物线的解析式为． 26． 【解答】解：（1）设与之间的函数关系式为， 将；分别代入得： ， 解得：， 与之间的函数关系式为； （2）设利润为元， 由题意得： ， ； 令， 解得或（舍， 如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为60元； （3）由（2）知，， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，最大，最大为5000元． 当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元． 27．【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）抛物线经过点， ， 解得， 抛物线为， 此抛物线的顶点坐标为； （2）把代入得，， 解得，， ，抛物线开口向下， 当时，． 28．【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）． 【解答】解：（1）； （2）由（1）得：该函数图象的顶点坐标为； 故答案为： （3）解：列表如下： 0 1 2 3 0 1 0 画出该二次函数的图象如下： （4）根据图象，当时，的取值范围为． 29．【解答】解：（1）， 每月的利润（万元）与销售单价（元之间函数解析式为； （2）由，得， 解得：或43， 销售单价应定为25元或43元； （3）， 因此，当销售单价为34元时，厂商每月能够获得最大利润，最大利润为512万元． 30．【答案】（1）； （2）； （3）见解答． 【解答】解：（1）当时，则， 把点代入得，， ， ，即； （2）， 抛物线与轴的交点为，， 抛物线的对称轴为直线， ， 对称轴为直线， 抛物线开口向上且当时，随的增大而减小， ， ； （3）证明：函数的图象经过，两点，是实数）， ，， ， ， ， ， ． 第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$