福建省2024年中考数学1教材梳理篇第7章圆与圆有关课件

第七章 圆 第30课时 与圆有关的计算 教材梳理篇 知识框架 1 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 2 · 考点1 正多边形与圆 · 考点2 弧长 考点突破 2 · 考点3 扇形面积 · 考点4 圆锥的相关计算 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 考点1 正多边形与圆 要点知识 正多边形的中心：外接圆的圆心； 正多边形的半径：外接圆的半径； 正多边形的边心距：中心到边的距离； 正多边形的中心角：边所对的外接圆的圆心角． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 题串考点 名称 圆内接正三角形 圆内接正方形 圆内接正六边形 图形(圆的半径均为R) 中心角       边心距       边长       边心距∶半径∶边长       120° 90° 60° R 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 聚焦福建中考 36° 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 母题变式【2023龙岩三模4分】如图，AB，AC和BC分别为⊙O的内接正三角形、正四边形和正m边形的一边，已知⊙O的半径是1.给出以下说法：①m为十二；②∠ABC＝45°；③∠BAC＝20°.其中正确的有________．(填序号) ①② 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 C 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 考点2 弧长 要点知识 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 题串考点 π 9 100° 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 聚焦福建中考[7年2考] A 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 4．【2022福建8分】如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF. (1)求证：AC＝AF； 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 (1)求证：AC＝AF； 证明：∵AD∥BC，DF∥AB， ∴四边形ABED为平行四边形，∴∠B＝∠D. ∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴∠AFC＝∠ACF， ∴AC＝AF. 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 考点3 扇形面积 要点知识 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 题串考点 1. 已知扇形的圆心角为45°，半径为4，则该扇形的面积为________(结果保留π)． 2．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB的长为30 cm，贴纸部分 BD的长为20 cm.求所需贴纸的面积 (两面都贴纸)． 2π 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 5. 教材母题【北师九下P104题5改编】如图，在AB为直径的⊙O中，∠DAB＝30°，∠COD＝60°，则扇形COD的面积与阴影部分的面积相等吗？ 请说明理由． 聚焦福建中考[7年2考] 类型1：等积转化法求阴影部分面积 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 解：相等．理由：连接CD. ∵∠DAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°. ∵∠COD＝60°，OC＝OD， ∴△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°， ∴∠CDO＝∠DOB＝60°，∴CD∥AB， ∴易得S△ACD＝S△COD. ∴S阴影部分＝S△ACD＋S弓形CD＝S△COD＋S弓形CD＝S扇形COD， 即扇形COD的面积与阴影部分的面积相等． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 6π cm2 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 6. 教材母题【人教九上P112例2改编】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3 m，求截面上有水部分的面积(结果保留π)． 类型2：割补法求阴影部分面积 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 母题变式【2019福建4分】如图，边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E，F分别是AD，BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是________．(结果保留π) π－1 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 考点4 圆锥的相关计算 要点知识 名称 图示 公式 展开图 圆锥 S底面圆＝πr2，C底面圆＝2πr， V圆锥＝πr2h，S侧面积＝πlr， S表面积＝πlr＋πr2，r2＋h2＝l2 侧面展开图是扇形 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 题串考点 如图，已知圆锥的底面直径为BC，母线为AC. (1)若BC＝4 cm，AC＝3 cm，则该圆锥的侧面 积为______cm2，全面积为______cm2； (2)若该圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为________； (3)若AC＝5 cm，圆锥的侧面积是15 π cm2，则该圆锥的底面圆的半径是________cm. 6π 10π 180° 3 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 7. 教材母题【人教九上P116题10改编】如图，从一块直径是1 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，求剪出的扇形的面积；如果将剪下来的 扇形围成一个圆锥，那么圆锥的底面圆 的半径是多少？ 聚焦福建中考 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 C 当堂小练 3 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 B 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 3．【2020福建4分】一个扇形的圆心角是90°，半径为4，则这个扇形的面积为______．(结果保留π) 4π 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 4．【2022莆田质检4分】如图，两个小正方形的边长均为 1，图中的阴影部分均为扇形，则这两个小扇形的面积之和为________．(结果保留π) 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA的长为半径作⊙B，交BD于点E. (1)试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由； 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 (1)试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由； 解：CD与⊙B相切．理由：如图，过点B作BF⊥CD, 垂足为F. ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD. 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 5 R R R 1∶2∶2 1∶∶2 ∶2∶2 R R 1. 教材母题【北师九下P122题15改编】如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在上，则∠CFD＝______． 2．【2023福建改编】我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，他用这种方法得到了圆周率π的近似值为3.141 6.如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为(　　) A． B．2 C．3 D．2 弧长公式：l＝. (圆心角度数为n°，圆的半径为R), 1. 已知圆的半径是3，一条弧所对的圆心角度数为60°，则这条弧的长为______． 2．已知的长为6π，其所对的圆心角度数为120°，则所在圆的半径为______． 3．若扇形的半径为3，弧长是π，则此扇形的圆心角的度数为________. 3．【2023宁德质检4分·源于北师九下P106题16】“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，其边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”. 若等边三角形ABC的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长等于(　　) A．2π B．2π－ C． D．2π＋ (2)若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长(结果保留π)． (2)若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长(结果保留π)． 解：如图，连接AO，CO， 由(1)得∠AFC＝∠ACF， ∴∠AFC＝＝75°， ∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，∴的长为＝. 1．扇形面积：S扇形＝＝lR. 2．阴影部分面积： 解题技巧：将求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积． 常用方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法． 解：由题意得AB＝30 cm, BD＝20 cm，∠BAC＝120°， ∴AD＝AB－BD＝30－20＝10(cm)， ∴×2＝(cm2)． 答：所需贴纸的面积为 cm2. 母题变式【2023厦门思明区二模4分】如图，在半径为6 cm，圆心角为120° 的扇形AOB中，半径OB的垂直平分线交于点C，连接BC，则阴影部分的面积为________． 解：连接OA，OB，作OC⊥AB，垂足为D，交于点C，连接AC.∵OC＝0.6 m，DC＝0.3 m，∴OD＝OC－DC＝0.3 m，∴OD＝DC.又∵AD⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线， ∴AC＝AO＝OC，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°，AD＝AO·sin 60°＝0.6×＝(m)，∴AB＝2AD＝2×＝ (m)，∴截面上有水部分的面积为S扇形AOB－S△AOB＝－××0.3＝π－(m2)． 解：如图，连接BC，∵∠BAC＝90°， ∴BC为⊙O的直径，即BC＝1 m， ∴易得AB＝ m， ∴S扇形BAC＝＝π(m2)．设圆锥的底面圆的半径为r m，∴πr×＝π，解得r＝，即圆锥的底面圆的半径是 m. 1．【2023三明质检4分】如图，AB是半圆O的直径，AB＝12，C，D是半圆上的两点，且满足∠ADC＝120°，则的长为(　　) A．6π B．4π C．2π D．π 2．如图，从一个边长为2 m的正六边形ABCDEF铁皮上剪出一个扇形ACE，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为(　　) A. m B. m C. m D. m (2)若AB＝2，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积． ∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB. 在△ABD和△FBD中， ∴△ABD≌△FBD(AAS)，∴BF＝BA，即点 F在⊙B上， ∴CD与⊙B相切． (2)若AB＝2，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积． 解：∵∠BCD＝60°，CB＝CD，∴△BCD是等边三角形， ∴∠CBD＝60°.∴∠ADB＝60°，∵∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝30°，∵AB＝2 ，∴AD＝AB·tan 30°＝2， ∴阴影部分的面积＝S△ABD－S扇形ABE＝×2×2－＝2－π. $$第七章 圆 第29课时 与圆有关的位置关系 教材梳理篇 知识框架 1 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 · 考点1 点、直线与圆的位置关系 · 考点2 圆的切线 考点突破 2 · 考点3 三角形的外接圆与内切圆 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 考点1 点、直线与圆的位置关系 要点知识 1. 点与 圆的 位置 关系 点的位置 d与r的关系 图示 点A在圆外 dA>r 点B在圆上 dB＝r 点C在圆内 dC<r 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 2. 直线 与圆 的位 置关系 相交 相切 相离 d<r d＝r d>r 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 题串考点 如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，M为AB的中点，以点C为圆心，r为半径作圆． (1)若r＝3，则点A在⊙C____，点B在⊙C______， 点M在⊙C______； (2)若r＝2，则直线AB与⊙C的位置关系为____； (3)若直线AB与⊙C相切，则r＝________； (4)若线段AB与⊙C有唯一公共点，则r的取值范围为_______________. 上 外 内 相离 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 1．【2023厦门一检4分】⊙O的半径为4，点A在⊙O内，则OA的长可以是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 聚焦福建中考 A 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 2. 教材母题【华师九下P72题6改编】P是直线l上的任意一点，点A在⊙O上．设OP的最小值为m，若直线l过点A，则m与OA的大小关系是____________． m≤OA 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 ②③④ 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 考点2 平行四边形的判定 要点知识 1．性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 2．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直径是圆的切线 3．*切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 二者缺一不可 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 题串考点 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， AO＝13，⊙O的半径为12，AB过⊙O上的点D，AD＝5. (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)求证：AC是⊙O的切线． 常用方法技巧：①明确直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不确定直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段是半径． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 (1)求证：AB是⊙O的切线； 证明：如图，连接DO. ∵AO＝13，DO＝12，AD＝5， ∴AO2＝DO2＋AD2， ∴△ADO为直角三角形，且OD⊥AB， ∴AB是⊙O的切线． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 (2)求证：AC是⊙O的切线． 证明：如图，作OE⊥AC于点E， ∵AB＝AC，O为BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线， ∴OE＝OD，即点E在⊙O上， ∴AC是⊙O的切线． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 4．【2023莆田一检4分】如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，连接AB，线段OP交⊙O于点M.下列说法不正确的是(　　) A．PA＝PB B．OP⊥AB C．PO平分∠APB D．OM＝MP 聚焦福建中考[7年7考] D 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 5．【2023厦门湖里区三模4分】如图，△ABC内接于⊙O，过点A作直线DE，若直线DE与⊙O相切，则∠BAE＝ (　　) A．∠B B．∠BAC C．∠C D．∠DAC C 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 (1)求∠BED的大小； 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 (1)求∠BED的大小； 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 考点3 三角形的外接圆与内切圆 要点知识及题串考点 1．三角形的外心与内心 名称 三角形的外心 三角形的内心 概念 三角形外接圆的圆心 三角形内切圆的圆心 作法 三角形三条 边的______ ______的 交点 三角形三个内角__________ 的交点 垂直 平分线 平分线 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 续表 名称 三角形的外心 三角形的内心 性质 三角形的外心到__________________的距离相等 三角形的内心到________________的距离相等 位置 外心不一定在三角形内 内心一定在三角形内 三角形三个顶点 三角形三条边 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 2. 看到三角形的内心(I是△ABC的内心)应联想到： 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 续表 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 7．【2022厦门一模4分】如图，在4×4的网格中，A、B、C、D、O均在格点上，则点O是(　　) A．△ABC的内心 B．△ABC的外心 C．△ACD的外心 D．△ACD的重心 聚焦福建中考 B 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 8．【2019福建改编】如图，⊙I是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∠DEF＝50°，则 ∠A＝________． 80° 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 9. 教材母题【人教九上P100例2】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13，求AF，BD，CE的长． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F， ∴AF＝AE，CE＝CD，BD＝BF.设AF＝x，则AE＝x， ∴CD＝CE＝AC－AE＝13－x，BD＝BF＝AB－AF＝9－x. ∵BD＋CD＝BC， ∴(13－x)＋(9－x)＝14，解得x＝4， ∴AF＝4，BD＝5，CE＝9. 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 母题变式【2023龙岩一模8分】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC，BC，AB相切于点D，E，F，求圆心O到顶点A的距离． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 解：如图，连接OD，OE，OF. 由题易知∠C＝∠CDO＝∠CEO＝∠ADO＝ 90°， OE＝OD，AD＝AF，CD＝CE，BE＝BF， ∴易得四边形ODCE为正方形， ∴CD＝OD. 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 A 当堂小练 3 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 2．如图，BC与⊙O相切于点B，CO的延长线交⊙O于点A，连接AB，若∠ACB＝20°，则∠BAC等于(　　) A．25° B．30° C．35° D．40° C 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 3．如图，△ABC内接于⊙O，点D在BC的延长线上，AD与⊙O相切，AC＝CD，∠B＝40°，则∠BAD等于(　　) A．95° B．100° C．110° D．120° B 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 D 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 5．在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝8，则△ABC的内切圆的半径为__________，外接圆的半径为________. 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 6．【2023福州一检10分】如图，P为⊙O外一点，M为OP的中点． (1)过点P作⊙O的一条切线PQ，且Q为切点(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 (1)过点P作⊙O的一条切线PQ，且Q为切点(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； 解：如图，PQ即为所求． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 5 6 3<r≤4或r＝ 3．【新课标例75改编】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(4，3)，B(4，4)，⊙A的半径为1，直线l：y＝kx(k≠0)，给出下列四个结论：①当k＝1时，直线l与⊙A相离；②若直线l是⊙A的一条对称轴，则k＝；③若直线l与⊙A只有一个公共点P，则OP＝2；④若直线l上存在点Q，⊙A上存在点C，使得∠BQC＝90°，则k的最大值为.其中正确的是__________(填写所有正确结论的序号). 6．【2020福建8分】如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sin A＝. (2)若⊙O的半径为3，点F在AB的 延长线上，且BF＝3，求证：DF与⊙O相切． 解：连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB. ∵sin A＝，∴∠A＝30°，∴∠AOB＝60°， ∴∠BOD＝120°.∴∠BED＝∠BOD＝60°. (2)若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3，求证：DF与⊙O相切． 证明：连接OF，由(1)得OB⊥AB，∠BOD＝120°， ∵OB＝3，BF＝3，∴OF＝＝6， ∴∠OFB＝30°，∴∠BOF＝60°，∴∠DOF＝60°. 在△BOF和△DOF中， ∴△BOF≌△DOF(SAS)．∴∠ODF＝∠OBF＝90°. ∴OD⊥DF，又∵点D在⊙O上，∴DF与⊙O相切． ①角平分线 ∠AIB＝90°＋∠ACB ②等距 ID＝IE＝IF ③切线长 AD＝AF＝(AB＋AC－BC) ④面积 S△ABC＝(CA＋CB＋AB)·r，其中r为⊙I的半径 由勾股定理可得AB＝＝5， 设CD＝CE＝x，则AF＝AD＝4－x，BF＝BE＝3－x， ∵AF＋BF＝AB＝5，∴4－x＋3－x＝5，解得x＝1， ∴CD＝OD＝1，AD＝4－1＝3，由勾股定理可得AO＝＝，即圆心O到顶点A的距离为. 1．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OB交⊙O于点C.若OA＝3，tan∠AOB＝，则BC的长为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 4．【2023漳州质检】如图，AB是⊙O的直径，P为AB的延长线上一点，PM与⊙O相切于点M，点 N在⊙O上，且AM＝AN，连接PN， 若PM∥AN，则下列结论错误的是(　　) A．四边形AMPN是菱形 B．PN是⊙O的切线 C．＝ D．＝ (2)在(1)的条件下，若PQ＝PM，求证：点M在⊙O上． (2)在(1)的条件下，若PQ＝PM，求证：点M在⊙O上． 证明：由(1)得PQ与⊙O相切于点Q.连接OQ， ∴OQ⊥PQ，∴∠OQP＝90°.设PM＝x，则PQ＝x. ∵M是OP的中点，∴OM＝PM＝x，OP＝2PM＝2x， 在Rt△OPQ中，OQ＝＝x，即⊙O的半径为x， ∵OM＝x，∴点M在⊙O上． $$第七章 圆 第28课时 圆的基本概念及性质 教材梳理篇 知识框架 1 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 · 考点1 圆的基本概念及性质 · 考点2 弧、弦、圆心角之间的关系 考点突破 2 · 考点3 垂径定理及其推论 · 考点4 圆周角定理及其推论 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 考点1 圆的有关概念 要点知识 1．圆：线段绕其一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形. 2．弦：连接圆上任意两点的线段，直径是最长的弦． 3．弧：分为优弧、劣弧、半圆． 4．等圆：能够重合的两个圆叫做等圆． 5．圆心角的顶点在 圆心，圆周角的 顶点在圆上． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 题串考点 如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，AB为⊙O的直径，CD与AB相交于点E，连接OD，BD. (1)图中有______条弦，______个圆周角； (2)若∠OBD＝60°，则∠BOD的度数为____； (3)若⊙O中最长的弦是16 cm，则⊙O的半径是____cm； 3 4 60° 8 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 ①④ 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 1. 教材母题【人教九上P80例1改编】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. A，B，C，D四个点_______ (填“在”或“不在”)以点O为圆心的同一个圆上，原因为_______________________________． 聚焦福建中考[7年1考] 在 矩形的两条对角线相等且互相平分 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 母题变式【2017福建改编】如图，矩形ABCD中，P，E分别是线段AC，BC上的点，且四边形PEFD为矩形．求证：点P，E，C，F，D在同一个圆上． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 考点2 弧、弦、圆心角之间的关系 要点知识 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 推论 (1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等； (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 题串考点 如图，OA，OB，OC，OD是⊙O的半径． (1)若∠AOB＝∠COD，AB＝3，则CD＝______； 3 8 160° 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 聚焦福建中考[7年3考] 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 母题变式Ⅰ 【2023厦门一检4分】⊙O中有两个三角形：△AOB与△COD，点A，B，C，D依次在⊙O上，如图所示.若这两个三角形关于过点O的直线l成轴对称，则点B关于直线l的对称点是点________． C 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 考点3 垂径定理及其推论 要点知识 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 2．垂径定理的应用：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 题串考点 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，它们相交于点E. (1)已知AB⊥CD. ①若AB＝10，CD＝8，则OE＝________； ②若∠A＝35°，则∠BOD的度数为________． (2)已知点E为弦CD的中点． ①若∠D＝18°，则∠A的度数为________； ②若CD＝24，BE＝8，则AB＝________. 3 70° 36° 26 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 3. 教材母题(1)【华师九下P40题2改编】如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8 cm，OC＝5 cm，则DC的长为________． 聚焦福建中考[7年3考] 2 cm 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 (2)【人教九上P89题8改编】如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4 m，EM＝6 m．则⊙O的半径为________． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 【点拨】 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 母题变式【2023莆田一检4分】为了得到一个铁球的半径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示(单位：cm)，则该铁球的半径为(　　) A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．3 cm B 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 考点4 圆周角定理及其推论 要点知识 1．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 2．推论： (1)同弧或等弧所对的圆周角相等；(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 3．圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 题串考点 如图，已知点A，B，C在⊙O上，BC为⊙O的直径，∠CAB的平分线交⊙O于点D. (1)①若AB＝3，BC＝5，则AC＝________； ②若∠ACB＝30°，则∠AOB＝________． (2)若BC＝12，则CD＝________． (3)点E在DB的延长线上，若∠ABE＝80°，则∠ACB＝________. 4 60° 35° 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 4．【2023龙岩一检4分】如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数 是100°，则∠BCD的度数为(　　) A．30° B．40° C．50° D．80° 聚焦福建中考[7年5考] B 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 C 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 6．【2023南平三模8分】如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD.判断△BDE的形 状，并证明你的结论． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 解：△BDE是等腰直角三角形．证明： ∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠EBC. ∵∠DBC＝∠CAD，∴∠BAE＝∠DBC. ∵∠BED＝∠BAE＋∠ABE，∠DBE＝∠DBC＋∠CBE， ∴∠BED＝∠DBE，∴BD＝ED， ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∴△BDE是等腰直角三角形． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 1．生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为(　　) A．同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大 　　　　B．同一个圆中所有的直径都相等 C．圆的周长是直径的π倍 　　　　 D．圆是轴对称图形 B 当堂小练 3 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 A 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 3．【2023厦门一检4分】我国东汉初年的数学典籍《周髀算经》中总结了对几何工具“矩”(即直角形状的曲尺，如图①所示)的使用之道，其中就有“环矩以为圆”的方法．我国许多数学家对该方法作了如下更具体的描述：如图②所示，在平面内固定两个钉子A，B，保持“矩”的两边始终紧靠两钉子的内侧，转动“矩”，则“矩”的顶点C的运动路线将会是一个圆．依此描述，请用你学过的一个数学 概念解释“环矩以为圆”：_______ ______________________________. 圆是所有 到定点的距离等于定长的点的集合 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 4．【2023武汉】如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC. (1)求证：∠AOB＝2∠BOC； 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 (1)求证：∠AOB＝2∠BOC； 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 (4)下列说法正确的是________．(填序号) ①是劣弧，是优弧；②与是等弧；③AB是⊙O的对称轴；④是半圆. 证明：连接DE，PF相交于点O，连接OC. ∵四边形PEFD是矩形，∴PO＝FO＝PF，EO＝DO＝DE，DE＝PF. ∴OD＝OE＝OF＝OP， ∵四边形ABCD为矩形，∴∠ECD＝90°. ∵由上知点O为DE的中点，∴OC＝DE， ∴OD＝OE＝OF＝OP＝OC，∴点P，E，C，F，D在以点O为圆心，OC为半径的同一个圆上． (2)若＝，A，C之间的距离为8，则B， D之间的距离为________； (3)若＝，∠AOB＝30°，∠AOD＝130°， 则∠AOC的度数为______． 2. 教材母题【华师九下P46题7】如图，＝. 求证：AB＝AC. 证明：∵＝，∴＋＝＋，即＝，∴∠BCE＝∠CBD， 即∠BCA＝∠CBA，∴AB＝AC. 母题变式Ⅱ【2023泉州一模改编】如图，AB、AC是⊙O的弦(不是直径)，将沿AB翻折交AC于点D.若＝， ＝，求证：△ABC∽△BDC. 证明：设翻折前点D的对应点是点D′，连接AD′，BD′，则 ＝，＝，∴AD′＝AD，BD′＝BD. ∵＝，∴AD＝BD，∴AD′＝AD＝BD＝BD′，∴四边形ADBD′是菱形，∴∠BAD＝∠BAD′＝∠DAD′，∴＝， ∴BC＝BD′，∴BC＝BD，∴∠C＝∠BDC. ∵＝，∴AB＝AC，∴∠C＝∠ABC， ∴∠ABC＝∠BDC，又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC. m 连接OC，如图所示．设⊙O的半径为x m，则OC＝ OE＝x m，∵EM＝6 m，∴OM＝(6－x)m.∵M是CD的中点，CD＝4 m，∴CM＝2 m.∵M是弦CD的中点，EM过 圆心O，∴EM⊥CD.∴OC2＝OM2＋CM2，即x2＝ (6－x)2＋22，解得x＝.故⊙O的半径是 m. 6 5．【2023莆田质检4分】如图，在⊙O中，∠AOB＝120°，点C在上，连接AC，BC，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，在点C沿着从点A运动 到点B的过程中，∠CBD的度数(　　) A．先增大后减小 B．先减小后增大 C．保持不变 D．一直减小 2．【2020福建4分】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为的中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于(　　) A．40° B．50° C．60° D．70° (2)若AB＝4，BC＝，求⊙O的半径． 证明：∵∠ACB＝∠AOB，∠BAC＝∠BOC， ∠ACB＝2∠BAC，∴∠AOB＝∠BOC， ∴∠AOB＝2∠BOC. (2)若AB＝4，BC＝，求⊙O的半径． 解：如图，过点O作半径OD⊥AB于点E，连接BD. 则∠DOB＝∠AOB，AE＝BE＝AB＝2， ∵∠AOB＝2∠BOC，∴∠DOB＝∠BOC，∴BD＝BC＝. 在Rt△BDE中，DE＝＝＝1， 在Rt△BOE中，OB2＝OE2＋BE2，∴OB2＝(OB－1)2＋22，∴OB＝，即⊙O的半径是. $$