福建省2024年中考数学1教材梳理篇第2章方程与不等式课件

第二章 方程与不等式 第8课时 不等式(组)的解法及其应用 教材梳理篇 知识框架 1 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 · 考点1 不等式的基本性质 · 考点2 不等式(组)的解法 考点突破 2 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 考点1 不等式的基本性质 要点知识 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 题串考点 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 ①② 1. 教材母题【北师八下P41习题改编】若x＋3<y，则一定有－2x－6□－2y，“□”中的符号是(　　) A．> B．< C．≥ D．＝ 聚焦福建中考 A 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 考点2 不等式(组)的解法 要点知识 解集在数轴上的表示(令a>b)： x>a， x>b x>a 大大取大 x<a， x<b x<b 小小取小 x<a， x>b b<x<a 大小小大中间夹 x>a， x<b 无解 大大小小无处找 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 题串考点 已知不等式组 (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①②的解集在数轴(如图)上表示出来； (4)原不等式组的解集为____________. x<1 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 x≥－3 如图． －3≤x<1 2．【2023龙岩质检4分】不等式x＋1> 的解集在数轴上表示正确的是(　　) B 聚焦福建中考[7年6考] 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 3．【2023厦门思明区三模4分】不等式组 的整数解共有(　　) A．3个 B．2个 C．4个 D．1个 A 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 4．【2023漳州漳浦三模4分】关于x的不等式x－b≥0恰有两个负整数解，则b的取值范围是(　　) A．－3＜b＜－2 B．－3＜b≤－2 C．－3≤b≤－2 D．－3≤b＜－2 B 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 解：(1)解不等式①，得x≤2.解不等式②，得x>－3. 所以原不等式组的解集为－3<x≤2. 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 解不等式①，得x<1.解不等式②，得x≥－3. 所以原不等式组的解集为－3≤x<1. 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 考点3 不等式(组)的实际应用 要点知识 常用关键词 符号 大于、多于、超过、高于 > 小于、少于、不足、低于 < 至少、不低于、不小于、不少于 ≥ 最多、不超过、不高于、不大于 ≤ 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 题串考点 用适当的不等式表示下列不等关系： (1)x的 与x的3倍的差是非负数：_______________； (2)y与4的和的25%不大于7：____________________； (3)有理数a的平方与3的和不小于3：__________； (4)一件商品的标价为a元，打7折售出比降价35元售出获利要多：______________. 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 (y＋4)×25%≤7　 a2＋3≥3　 0.7a>a－35　 6. 教材母题【人教七下P126题8】苹果的进价是每千克1.5元，销售中估计有5%的苹果正常损耗，商家把售价至少定为多少，才能避免亏本？ 聚焦福建中考[7年3考] 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 母题变式【2019福建考向改编】某店用220元的固定成本购进一批苹果，且采购过程中每千克需要其他费用0.5元，若购进这批苹果的平均费用不超过6元，则最少购进这种苹果多少千克？(2019福建中考题见本课时当堂小练第4题) 解：设购进这种苹果x千克，根据题意，得 220＋0.5x≤6x，解得x≥40. ∴最少购进这种苹果40千克． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 7. 教材母题【人教七下P130题6改编】把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人能分到书但不足3本．这些书有多少本？共有多少人？ 解：设共有学生x人，则书有(3x＋8)本， 由题意得0<(3x＋8)－5(x－1)<3，解得5<x<6.5， ∵x为正整数，∴x＝6.　 3x＋8＝3×6＋8＝26. 答：这些书有26本，共有6人． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 1．若x>y，ax<ay，则一定有(　　) A．a>0 B．a<0 C．a＝0 D．a为任何实数 当堂小练 3 B 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 2.【人教七下P130题6改编】把一些书分给几名同学，若_____；若每人分11本，则不够．设有x名同学，依题意，可列不等式9x＋7<11x，则横线上的信息可以是(　　) A．每人分7本，则可多分9人 B．每人分7本，则剩余9本 C．每人分9本，则剩余7本 D．其中1人分7本，则其他同学每人分9本 C 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 4.【选做】【2019福建改编】某工厂投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水每天需固定成本30元，并且每处理1吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，某日，该工厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 (1)求m的值； 解：35×8＋30＝310(元)，∵310＜370，∴易得m＜35. 依题意，得30＋8m＋12(35－m)＝370，解得m＝20. 答：m的值为20. 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 (2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该工厂一天产生的工业废水量的范围． 设一天产生工业废水x吨， 当0＜x≤20时，8x＋30≤10x，解得x≥15，∴15≤x≤20； 当x＞20时，12(x－20)＋8×20＋30≤10x，解得x≤25， ∴20＜x≤25. 综上所述，该工厂一天产生的工业废水量的范围为15≤x≤25. 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 性质1：如果a＞b，那么a±c>b±c． 性质2：如果a＞b，c＞0，那么ac>bc(或>)． 性质3：如果a＞b，c＜0，那么ac<bc (或<)． 若a>b，则下列结论成立的有________． ①a－5>b－5； ②－5a<－5b； ③>； ④a2＞b2； ⑤a＋b<2b. 5．解不等式组： (1)【2020福建8分】　 (2)【2023福建8分】 x－3x≥0 解：设把售价定为每千克x元，苹果总数为a(a>0)千克，根据题意，得x·a(1－5%)≥1.5a，化简得0.95ax≥1.5a，∵a>0，∴x≥， ∴商家把售价至少定为每千克元，才能避免亏本． 3．【2022莆田质检8分】解不等式组：并把解集表示在数轴上． 解： 解不等式①，得x≥1.解不等式②，得x<2. ∴原不等式组的解集为1≤x<2. 将不等式组的解集表示在数轴上，如图． $$第二章 方程与不等式 第6课时 分式方程及其应用 教材梳理篇 知识框架 1 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 · 考点1 分式方程的解法 · 考点2 分式方程的解 考点突破 2 · 考点3 分式方程的实际应用 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 考点1 分式方程的解法 要点知识 1．基本思路： 分式方程――→ 整式方程――→ 得解． 2．注意： 求出整式方程的解后一定要验根． 转化 求解 验根 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 题串考点 解方程： 解：去分母，得__________________________________，去括号，得____________________________， 移项、合并同类项，得__________，系数化为1，得__________， 检验：_______________________________． 所以____________________________. 2x(x－1)－3(x＋1)＝2(x＋1)(x－1) 2x2－2x－3x－3＝2x2－2 －5x＝1 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 1. 教材母题【北师八下P128数学理解改编】解分式方程 ＝－1时，去分母正确的是(　　) A．x＋1＝x－3－1 B．2(x＋1)＝x－3－1 C．2(x＋1)＝x－3－2(x－2) D．2(x＋1)＝x－3－(x－2) 聚焦福建中考[7年1考] C 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 2.【2023宁德质检4分】方程 －1＝0的解是______． x＝5 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 3．【2022厦门湖里中学三模】解下列分式方程： 解：(1)去分母，得5(x－3)－2x＝0， 去括号，得5x－15－2x＝0， 移项、合并同类项，得3x＝15， 系数化为1，得x＝5，经检验，x＝5是原方程的解． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 去分母，得3(3x－1)－2＝1， 去括号，得9x－3－2＝1， 移项、合并同类项，得9x＝6， 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 去分母，得x－1＝3－3x， 移项、合并同类项，得4x＝4，系数化为1，得x＝1. 经检验，x＝1是原方程的增根．所以原方程无解． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 4.【2023三明二模8分】先化简 然后判断它的值能否等于－1，并说明理由． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 考点2 分式方程的解 要点知识 增根≠无解 增根：使分母为0且是去分母后整式方程的解． 无解：包含增根和去分母后的整式方程无解两种情况． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 题串考点 已知关于x的分式方程 (1)若x＝2是该方程的解，则a＝________； (2)若该方程有增根，则x＝______，a＝______； (3)若该方程无解，则a＝________； (4)若该方程的解为非负数，则a的取值范围是___________. 1 3 3或2 a>2且a≠3 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 5. 教材母题【人教八上P154题2改编】若关于x的方程 ＝1的解是正数，则m的取值范围是________________． m<－1且m≠－2 聚焦福建中考 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 6.教材母题【人教八上P150例题改编】若关于x的方程 ＝无解，则m的值为__________． 0或4 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 考点3 分式方程的实际应用 要点知识 用分式方程解实际问题的一般步骤 【温馨提示】双检验：(1)检验是不是分式方程的解；(2)检验是否符合实际问题． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 题串考点 题目：一辆大货车和一辆小货车往25 km远的地方运零件，小货车的速度是大货车的1.5倍①，小货车比大货车晚出发10 min，却和大货车同时到达②，求两车速度．(设大货车的速度为x km/h) 分析：根据①可得小货车的速度为___________． 根据②可列出方程为_______________. 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 7.【2020福建4分】我国古代著作《四元玉鉴》中记载有“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是(　　) A 聚焦福建中考[7年1考] 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 8.【2023厦门思明区三模4分】“某学校要整修门口1 500 m的 道路，但是在实际施工时，…，求实际每天整修道路多少 米．”在这个题目中，若设实际每天整修道路x m，可得方程 ＝10，则题目中用“…”表示的条件应是(　　) A．每天比原计划多修5 m，延期10天完成 B．每天比原计划多修5 m，提前10天完成 C．每天比原计划少修5 m，延期10天完成 D．每天比原计划少修5 m，提前10天完成 B 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 9. 教材母题【华师八下P26题13】某服装制造厂要在开学前赶制3 000套校服，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的校服比原计划多了20%，结果提前4天完成任务．问原计划每天能完成多少套校服？ 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 当堂小练 3 C 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 B 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 －2 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 解：(1)去分母，得2－x－1＝x－3， 移项、合并同类项，得－2x＝－4， 系数化为1，得x＝2.经检验，x＝2是原方程的解． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 去分母，得(x－2)2－(x2－4)＝12， 去括号，得x2－4x＋4－x2＋4＝12， 移项、合并同类项，得－4x＝4，解得x＝－1， 经检验，x＝－1是原方程的解． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 5.【2023三明质检改编】读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．世界读书日即将来临，某书店决定购进甲、乙两种图书进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本25元、每本20元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍．若用2 800元在该书店购买甲种图书的本数比用1 750元在该书店购买乙种图书的本数多10本．甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元？ 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 －＝2. x＝－ 当x＝－时，(x＋1)(x－1)≠0 x＝－是原方程的根 ＝ (1)－＝0 (2)－＝ 系数化为1，得x＝，经检验，x＝是原方程的解． (3)＝. ÷， 解：÷＝×＝×＝×＝×＝. ÷的值不能等于－1, 理由如下：若＝－1，解得a＝0，∵当a＝0时，原式无意义， ∴÷的值不能等于－1. －＝a. ＝ 5x km/h ＝＋ A．3(x－1)＝ B. ＝3 C．3x－1＝ D. ＝3 － 解：设原计划每天能完成x套校服，根据题意，得－＝4.解得x＝125. 经检验，x＝125是原分式方程的解且符合题意． 答：原计划每天能完成125套校服． 1．下列方程中不是分式方程的是(　　) A. ＝3 B. ＝ C. ＝2 D. ＝ 2．将5 kg浓度为98%的酒精稀释为浓度为75%的酒精．设需要加水x kg，根据题意可列方程为(　　) A. 98%×5＝75%x B. ＝75% C. 75%×5＝98%x D. ＝98% 3．若关于x的分式方程－3＝无解，则m＝_____． 4．解方程： (1)＋＝1； (2)－1＝. 解：设乙种图书的售价为每本x元， 则甲种图书的售价为每本1.4x元， 由题意，得＝＋10，解得x＝25，经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意， 所以甲种图书的售价为每本25×1.4＝35(元)． 答：甲种图书的售价为每本35元，乙种图书的售价为每本25元． $$第二章 方程与不等式 第7课时 一元二次方程及其应用 教材梳理篇 知识框架 1 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 · 考点1 一元二次方程的相关概念及解法 · 考点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 考点突破 2 · 考点3 一元二次方程的应用 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 考点1 一元二次方程的相关概念及解法 要点知识 配方前先将二次项系数化为1 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 题串考点 已知x＝1是方程2x2＋1＝mx的一个根． (1)常数m为________； (2)将该方程化为一般形式为__________________； (3)将方程配方可得 _______________； 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (4)用公式法解该方程. 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1.【2022三明质检4分】小华在解方程x2＝3x时，只得出一个根x＝3，则漏掉的一个根是x＝_____. 聚焦福建中考 0 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.【2023泉州质检4分】若m是一元二次方程x2－x－3＝0的一个根，则m3＋m2－5m的值为________． 6 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4．解下列方程： (1)【2023厦门一检8分】x2＋2x－5＝0；　 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)x(x－3)－7(3－x)＝0；　 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (3)5x2－3x＝x＋1. 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 考点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 要点知识 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． 1．根的判别式为Δ＝b2－4ac. 2．b2－4ac与根的关系： (1)b2－4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根； (2)b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根； (3)b2－4ac＜0⇔方程没有实数根． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 题串考点 1. 关于x的一元二次方程为(k－2)x2＋2x－1＝0.  根的情况 有实数根 有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 k的取值         k≥1且 k≠2 k>1且 k≠2 1 k<1 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 教材母题【人教九上P16例题改编】已知x1，x2是关于x的方程x2－mx－2＝0的两根，则下列结论一定正确的是(　　) A．x1≠x2 B．x1＝x2 C．x1＋x2＞0 D．x1·x2＞0 A 聚焦福建中考[7年1考] 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.【2023泉州南安三模4分】已知m，n是一元二次方程x2＋3x－6＝0的两个根，则m2＋mn＋3m的值为________． 0 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 教材母题【人教九上P17题13】无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．(此题是否还能通过画二次函数图象来解决？自己试试吧！) 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0 总有两个不等的实数根． 理由：原方程可以化为x2－5x＋6－p2＝0， ∴Δ＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝25－24＋4p2＝1＋4p2， ∵p2≥0，∴1＋4p2>0，即Δ>0， ∴无论p取何值，原方程总有两个不等的实数根． (通过画二次函数图象解答过程略) 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 母题变式【2018福建改编】已知一元二次方程(a＋1)x2＋2bx＋(a＋1)＝0 有两个相等的实数根． (1)a和b满足的数量关系为______________________； (2)下列说法一定正确的是________．(只填序号) ①1一定不是方程x2＋bx＋a＝0的根； ②0一定不是方程x2＋bx＋a＝0的根； ③1和－1都是方程x2＋bx＋a＝0的根； ④1和－1不都是方程x2＋bx＋a＝0的根． b＝a＋1或b＝－(a＋1) ④ 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 考点3 一元二次方程的应用 福建常考题型有变化率问题、面积问题、利润问题等] (2023年、2021年) (2018年) 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 聚焦福建中考[7年3考] 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.【2023福建改编】根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43 903.89亿元.2021年、2022年福建省地区生产总值的年平均增长率均为x. (1)2021年的生产总值为________________________． (2)2022年的生产总值为____________________________． (3)若2020～2022年的生产总值为145 308.02亿元，则可列方程为___________________________________________________． 43 903.89(1＋x)亿元　 43 903.89(1＋x)2亿元 43 903.89＋43 903.89(1＋x)＋43 903.89(1＋x)2＝145 308.02 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.【2023三明一模改编】如图，有一面积为600 m2的矩形鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长35 m)，另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1 m宽的门，竹篱笆的总长为69 m．则鸡场垂直于墙的一边的长度为________． 20 m 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【点拨】设鸡场垂直于墙的一边的长度为x m， 则鸡场平行于墙的一边的长度为69＋1－2x＝70－2x(m)， 根据题意，得x(70－2x)＝600， 解得x1＝20，x2＝15. 当x＝20时，70－2x＝30<35，符合题意； 当x＝15时，70－2x＝40>35，不符合题意，故舍去． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 教材母题【北师九上P54例2改编】某水果店以8元/kg的价钱购进了一批水果，已知当售价为14元/kg时，每天可售出40 kg，为了扩大销量，增加盈利，该水果店决定对该种水果降价销售．经调查发现，售价每千克每降低1元，则每天可多售出20 kg.若要该水果店每天销售该种水果的利润达到320元，则该种水果的售价应定为________元/kg. 12 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 当堂小练 3 C 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2．【人教九上P19探究1改编】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了________个人． 10 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3．【2023龙岩一检改编】已知关于x的方程x2－4x＋2k＋1＝0. (1)若方程有两个实数根，则k的取值范围是________； (2)若方程有两个实数根x1，x2，且x1x2－2x1－2x2＋9＝0，则k＝________． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 －1 【点拨】根据题意，得x1＋x2＝4，x1x2＝2k＋1， ∵x1x2－2x1－2x2＋9＝0，∴x1x2－2(x1＋x2)＋9＝0， ∴(2k＋1)－2×4＋9＝0，解得k＝－1. k≤ 4.【2023三明一检10分】某商场将进货价为30元/台的台灯以40元/台售出，1月份销售400台，2、3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576台． (1)求2、3两个月销售量的月平均增长率； 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：(1)设2、3两个月销售量的月平均增长率为x， 依题意，得400(1＋x)2＝576， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不符合题意，舍去)． 答：2、3两个月销售量的月平均增长率为20%. 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，每台售价在35元至40元范围内时，这种台灯的售价每降低0.5元，其销售量增加6台．这种台灯每台售价定为多少时，商场4月份销售这种台灯获利4 800元？ 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)设这种台灯每台降价y元时，商场4月份销售这种台灯 获利4 800元， 依题意，得(40－y－30) ＝4 800， 整理，得y2＋38y－80＝0， 解得y1＝2，y2＝－40(不符合题意，舍去). 40－y＝38. 答：这种台灯每台售价定为38元时，商场4月份销售 这种台灯获利4 800元． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1．一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数，a≠0)． 2．一元二次方程的解法(总体思想：降次)： (1)直接开平方法：若x2＝p(p≥0)，则x＝±； (2)配方法：x2＋mx+n＝(x+)2－＋n (3)公式法：x＝(其中b2－4ac≥0)； (4)因式分解法：对于ax2＋bx＋c＝0，将方程的左边分解成两个整式的乘积． 3 2x2－3x＋1＝0　 ＝ ∵a＝2，b＝－3，c＝1， ∴b2－4ac＝(－3)2－4×2×1＝1>0， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝1. 2．【2023厦门一模4分】将一个关于x的一元二次方程配方为(x＋m)2＝p，若2±是该方程的两个根，则p的值是________． 解：(1)x2＋2x－5＝0，(x＋1)2－6＝0， (x＋1)2＝6，x＋1＝±， ∴x1＝－1，x2＝－－1. x(x－3)－7(3－x)＝0，x(x－3)＋7(x－3)＝0， (x－3)(x＋7)＝0， ∴x1＝3，x2＝－7. 5x2－3x＝x＋1，5x2－4x－1＝0， ∴a＝5，b＝－4，c＝－1， ∴b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36， ∴x1＝＝1，x2＝＝－. 3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别是x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝．(由选学调整为必学) － 方程 两个根的和 两个根的积 x2＋2 x－＝0 x－＝0 －2 － 8．【2023南平质检4分】某市举行篮球联赛，每两支球队之间只进行一场比赛，一共比赛了45场，设有x支球队参加比赛，则可列方程为(　　) A．x(x－1)＝45 B. x(x－1)＝45 C．x(x＋1)＝45 D. x(x＋1)＝45 1．若关于x的方程(m－2)xm2－2＋4x－7＝0是一元二次方程，则m的值为(　　) A．± B．±2 C．－2 D．2 $$第二章 方程与不等式 第5课时 一次方程(组)及其应用 教材梳理篇 知识框架 1 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 · 考点1 方程与不等式 · 考点2 一元一次方程的解法(步骤：去分母→ 去括号→移项→合并同类项→系数化1) 考点突破 2 · 考点3 解二元一次方程组(消元法) · 考点4 一次方程(组)的应用 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 考点1 方程与不等式 要点知识 性质1：如果a＝b，那么a±c＝b±c． 性质2：如果a＝b，那么ac＝bc； 如果a＝b(c≠0)，那么 ． 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 题串考点 1. 如果3x＝10－2x，那么3x＋______＝10，其依据是性质______． 2. 如果2x＝7，那么x＝_______，其依据是性质_______． 3. 如果 ＝3，那么x－1＝____，其依据是性质____. 2x 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 1 3.5 2 6 2 1．【2022福建4分】推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误． 例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下： 设任意一个实数为x，令x＝m，等式两边都乘以x，得x2＝mx.① 聚焦福建中考[7年1考] 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 等式两边都减m2，得x2－m2＝mx－m2.②　等式两边分别分解因式，得(x＋m)(x－m)＝m(x－m)．③ 等式两边都除以(x－m)，得x＋m＝m.④　等式两边都减m，得x＝0.⑤ 所以任意一个实数都等于0. 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是__________． ④ 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 2.【2023漳平一模4分】若x＝1是方程2(a－x)＝x的解， 则a＝________． 聚焦福建中考[7年5考] 考点2 一元一次方程的解法(步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化1) 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 3．【2022龙岩质检4分】整式mx＋2n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程2mx＋4n＝－4的解是__________． x＝0 x －2 －1 0 1 2 mx＋2n 2 0 －2 －4 －6 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 聚焦福建中考[7年1考] 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 5．【2023厦门湖里区三模4分】已知方程组则 x＋y＝________． 2 聚焦福建中考[7年3考] 考点3 解二元一次方程组(消元法) 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 6．【2022泉州三模4分】关于x，y的方程组 中x，y均为正数，则m的取值范围是(　　) A．m>4 B．m≥4 C．m>0 D．m>－4 D 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 考点4 一次方程(组)的应用 要点知识 类型 重要等量关系 利润问题 售价＝标价×折扣 利润＝售价－进价＝进价×利润率 行程问题 路程＝速度×时间 工程问题 工作效率×工作时间＝工作总量 变化率问题 变化量＝原量×变化率 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 打九折即折扣为0.9 题串考点 题目：某种衣服按成本价(设为x)加价40%作为标价，又打八折卖出，结果每件衣服仍可获利15元．求x. 分析：每件衣服的标价为___________元，实际售价为____________________元，根据题意可列方程为_________________________，然后求解即可. (1＋40%)x 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 (1＋40%)x×0.8 (1＋40%)x×0.8－x＝15 8．【2023泉州三模4分】有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两；若每人分九两，则还差半斤(注：1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语)．设总共有x个人，下列所列方程正确的是(　　) A. 7x－4＝9x＋8　　　 B. 7x＋4＝9x－8　　　　 B 聚焦福建中考[7年4考] 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 9.【2018福建4分】我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载有“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是(　　) A 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 10.【2023莆田质检改编】“曹冲称象”是流传很广的故事，有一类似的称象方法为：①先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出；②往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置；③往船上再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，发现水位也恰好到达标记位置．已知每个搬运工的体重均为60 kg，设每块条形石的质量是x kg，根据以上方法可列出的方程是__________________________． 20x＋3×60＝(20＋1)x＋60 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 1．解方程－2(2x＋1)＝x时，去括号正确的是(　　) A．－4x＋1＝－x B．－4x＋2＝－x C．－4x－1＝x D．－4x－2＝x 当堂小练 3 D 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 2．【2022福州一模4分】如图是解方程3－5x＝2(2－x)的过程，其中依据“等式的基本性质”的是(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．②④ D 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 3.【2023厦门质检4分】小桐花45元在文具店购买了一些水笔和笔记本，这两种文具的单价分别为7元/支、5元/个．设小桐购买了x支水笔和y个笔记本，则可列方程组为：______________. 7x＋5y＝45 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 4．已知关于x，y的方程组 的解也是方程x－y＝5的一个解，则m＝ _______． 11 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 5.【2023宁德质检改编】“中国传统制茶技艺及其相关习俗”已成功入选联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，福鼎白茶因其独特的制茶工艺和口感深受人们喜爱，也造福了一方茶农．茶农王二伯家有荒野茶园和修剪茶园共16亩，今年清明节前共采茶青(新鲜茶叶)660千克，已知荒野茶园平均每亩采茶青30千克，修剪茶园平均每亩采茶青50千克．王二伯家有荒野茶园和修剪茶园各多少亩？ 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 1 2 考点突破 1 2 3 4 当堂小练 3 4 5 6 5 7 8 9 10 ＝ 【点拨】由题表可知：当x＝－1时，mx＋2n＝0， 当x＝0时，mx＋2n＝－2， 所以解得 代入方程2mx＋4n＝－4，得－4x－4＝－4，解得x＝0. 4. 教材母题【人教七上P111题3】当x为何值时，下列各组中两个式子的值相等？ (1)x－和7－；　 解：根据题意，得x－＝7－， 去分母，得15x－5x＋5＝105－3x－9， 移项、合并同类项，得13x＝91，解得x＝7. (2)x＋和－x. 根据题意，得x＋＝－x， 去分母，得4x＋5x－5＝15x－15－16x， 移项、合并同类项， 得10x＝－10，解得x＝－1. 7．解方程组： (1)【2019福建8分】 解：(1)①＋②，得3x＝9，解得x＝3， 把x＝3代入①，得3－y＝5，解得y＝－2， 则原方程组的解为 (2)【2023三明质检8分】 ①－②×2，得9y＝9，解得y＝1，把y＝1代入①，得x＝1，则原方程组的解为 C. ＝　　　　D. ＝ A. B. C. D. 解：方法一： 设王二伯家有荒野茶园x亩， 修剪茶园y亩， 根据题意，得解得 答：王二伯家有荒野茶园7亩，修剪茶园9亩． 方法二： 设王二伯家有荒野茶园x亩， 则有修剪茶园(16－x)亩， 根据题意，得30x＋50(16－x)＝660. 解得x＝7.16－7＝9(亩)． 答：王二伯家有荒野茶园7亩，修剪茶园9亩． $$