2025年北师大版数学中考复习专题训练---梯形及特殊梯形

2025年北师大版数学中考复习专题训练---梯形及特殊梯形 一、选择题 1．如图，把直角梯形 沿 方向平移得到梯形， 则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 2． 如图， 四边形ABCD中， BC∥AD， AC⊥BD， AC=3， BD=6，BC=1， 则AD的长为(　　) A．8 B． C． D． 3．如图，中，，平分，交于点E，，点F、G分别是和的中点，则的长为（　　） A．3 B．2.5 C．2 D．5 4． 如图①， 在四边形ABCD中， AB∥CD， AB=28， 点M从A点出发， 以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C→B运动，连接MB， AM. △AMB的面积y与点 M的运动时间x(s)的函数关系如图②所示，则四边形ABCD 的面积为（　　） A．404 B．252 C．168 D．126 5．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，连结AC，BD，且AC⊥BD，设AB=a，CD=b.给出下列说法：①②AD=下列判断正确的是（　　） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 6．下列命题中，真命题是（　　） A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形 7．如图在中，平分交于点，点，分别是，的中点.若，，则的长为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 8．如图，四边形ABCD中，为CD的中点，为BC上一点，且满足，则CF的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在矩形ABCD中，，，E为AB的中点，点F，G分别在CD，AD上，△EFG为等腰直角三角形，且，则四边形BCFE的面积为　 　． 10．如图，点E是▱ABCD的AD边上的中点，连结BE，点F为BE中点，若AB＝6，AD＝4，∠BAD＝120°，则DF的长为　 　． 11．如图，梯形中，，点在边上，且，则的面积与四边形的面积之比为　 　． 12． 如图，在正方形ABCD的右下角有一个正方形GICJ，以点G为顶点向左构造正方形EFGH，使点E，F分别落在边AB，BI上，当A，H，J三点共线时，则的值是 　 　． 13．如图，在等腰梯形中，，对角线于点，，，垂足分别为、，，，则　 　． 三、解答题 14．如图，点C为上一动点，以，为斜边在同侧作等腰直角三角形与等腰直角三角形，连接，点F在上，连接，． （1）求证：点F为的中点； （2）过点F作的垂线，点G为垂足，求的值； （3）若，与的面积和为S，求S的最小值． 15．在直角坐标平面里，梯形ABCD各顶点的位置如图所示，图中每个小正方形方格的边长为1个单位长度． （1）求梯形ABCD的面积； （2）如果把梯形ABCD在坐标平面里先向右平移1个单位，然后向下平移2个单位得到梯形A1B1C1D1，求新顶点A1，B1，C1，D1的坐标． 16．如图，在四边形中，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）点E为边的中点，连接，过E作交边于点F，连接． ①求证：； ②若，，，求与的值． 四、阅读理解题 17．阅读材料： 如图（1），在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点P．求证：S四边形ABCD= AC•BD； 证明：∵AC⊥BD， ∴ ∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB= AC•PD+ AC•BP = AC（PD+PB）= AC•BD 解答问题： （1）上述证明得到的性质可叙述为　 　 （2）已知：如图（2），在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且相交于点P，AD=3cm，BC=7cm，利用上述性质求梯形的面积． （3）如图（3），用一块面积为800cm2的等腰梯形彩纸做风筝，并用两根竹条作梯形的对角线固定风筝，对角线恰好互相垂直，问竹条的长是多少？ 18．阅读理解： 如图1，若在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E与点A，B不重合），分别连结ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题： （1）如图1，若∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由； （2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E； 拓展探究： （3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，请直接写出的值． 图1 图2 图3 五、实践探究题 19．若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形”． （1）下列四边形一定是巧妙四边形的是　 　；（填序号点①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． （2）初步应用 在绝妙四边形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝　 　； （3）深入研究 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，∠B＝72°． 求证：梯形ABCD是绝妙四边形． （4）在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数． 20．综合与实践 折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论． 【实践操作】 如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B′落在矩形ABCD所在平面内，B'C和AD相交于点E，连接B′D． （1）【解决问题】在图1中， ①B′D和AC的位置关系为　 　； ②将△AEC剪下后展开，得到的图形是　 　； （2）若图1中的矩形变为平行四边形时（AB≠BC），如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由； （3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为　 　； （4）【拓展应用】在图2中，若∠B=30°，AB=4 ，当△AB′D恰好为直角三角形时，BC的长度为　 　． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】16 10．【答案】 11．【答案】 12．【答案】​​​​​​​ 13．【答案】6 14．【答案】（1）证明：∵以为斜边在同侧作等腰直角三角形与等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴点F为的中点； （2）解：过D作于，过E作于， ∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵FG⊥AB，DM⊥AB，EN⊥AB， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴； （3）解：∵ ∴设则， ∵ ∴， ∴ 即 ∵二次项系数a=＞0， ∴当x=6时，S的最小值为18． 15．【答案】（1）解：由图可知： A（﹣3，﹣1）、B（2，﹣1）、C（2，2）、D（﹣1，2） AB∥CD，BC⊥AB， 所以，梯形ABCD是直角梯形， AB=5，DC=3，BC=3， 梯形ABCD的面积是S＝ （2）解：如果把梯形ABCD在坐标平面里先向右平移1个单位，然后向下平移2个单位，则平移公式为： 所以，平移以后所得梯形A1B1C1D1各顶点的坐标分别为： A1（﹣2，﹣3），B1（3，﹣3），C1（3，0），D1（0，0） A1（-2，-3），B1（3，-3），C1（3，0），D1（0，0） 16．【答案】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， （2）解：①证明：如图，取的中点N，连接， ， 四边形是梯形， 是的中点，点E为边的中点， 是梯形的中位线， ， ， ， ； ②解： 四边形为平行四边形， ，， 根据①中结论可得得， ，， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ． 17．【答案】（1）对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半 （2）解：在BC的延长线上取一点E，使DE∥AC，从D点作DF⊥BE， ∵梯形是等腰梯形， ∴BD=AC=DE， ∵AC⊥BD， ∴∠DBC+∠ACB=90°， ∵DE∥AC， ∴∠DEB=∠ACB， ∴∠DBC+∠DEB=90° 利用直角三角形斜边上的中线的性质可知DF=BF=EF=5， 由勾股定理可知，DE=5 ， ∴S梯形=S△BDE= DE•DB=5 ×5 ÷2=25cm2 （3）解：∵ABCD是等腰梯形， ∴AC=BD， ∴S梯形ABCD= AC•BD= AC2=800， ∴AC=BD=40cm； 答：竹条的长是40cm 18．【答案】解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点． 理由：∵∠A=55°， ∴∠ADE+∠DEA=125°． ∵∠DEC=55°， ∴∠BEC+∠DEA=125°． ∴∠ADE=∠BEC． ∵∠A=∠B， ∴△ADE∽△BEC． ∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点 （2）作图如下： 图1图2 （3）． 19．【答案】（1）③④ （2）140°或80° （3）证明：如图，连接AC与BD，交于点O， 在梯形ABCD中，AB＝CD， ∴∠ABC＝∠DCB＝72°， ∵AD∥BC， ∴∠BAD＝∠ADC＝108°， ∵AB＝AD＝CD， ∴△ABD是等腰三角形，∠ABD＝∠ADB＝36°， ∴∠DBC＝72°﹣36°＝36°，∠BDC＝108°﹣36°＝72°＝∠DCB， ∴△BDC也是等腰三角形， ∴对角线BD叫做这个四边形ABCD的“巧分线”， 同理可得△ADC和△ACB也是等腰三角形， ∴对角线AC叫做这个四边形ABCD的“巧分线”， ∴梯形ABCD是绝妙四边形. （4）解：∵AC是四边形ABCD的巧分线， ∴△ACD和△ABC是等腰三角形， ①当AC＝BC时，如图5，过C作CH⊥AB于H，过C作CG⊥AD，交AD的延长线于G， ∵∠HAD＝∠AHC＝∠G＝90°， ∴四边形AHCG是矩形， ∴AH＝CG＝AB＝CD， ∴∠CDG＝30°， ∴∠ADC＝150°， ∴∠DAC＝∠DCA＝15°， ∵∠DAB＝90°， ∴∠CAB＝∠B＝75°， ∴∠ACB＝30°， ∴∠BCD＝30°+15°＝45°； ②当AC＝AB时，如图6， ∵AC＝AB＝AD＝CD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠CAD＝∠ACD＝60°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAC＝30°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝75°， ∴∠BCD＝75°+60°＝135°； ③当AB＝BC时，如图7，此时∠BCD＝90°； ④当AB＝AD＝CD时，如图8，过点C作CH⊥AB于H，作DF＝DC，交CH于F，过点F作FE⊥AD于E， 由①得：∠EDF＝∠DCF＝∠DFC＝30°， ∴∠CDF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∠ADC＝180°﹣30°﹣120°＝30°， ∴∠DAC＝∠ACD＝75°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠CAB＝∠B＝15°， ∴∠ACB＝180°﹣15°﹣15°＝150°， ∴∠BCD＝360°﹣150°﹣75°＝135°． 综上，∠BCD的度数是45°或135°或90°． 20．【答案】（1）平行；菱形 （2）解：①选择②证明如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB， ∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C， ∴∠ACB′=∠ACB， ∴∠DAC=∠ACB′， ∴AE=CE， ∴△AEC是等腰三角形； ∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边相等， ∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边是菱形． ②选择①证明如下， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC， ∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C， ∴B′C=BC， ∴B′C=AD， ∴B′E=DE， ∴∠CB′D=∠ADB′， ∵∠AEC=∠B′ED，∠ACB′=∠CAD ∴∠ADB′=∠DAC， ∴B′D∥AC． （3）1：1或 ：1 （4）4或6或8或12 1 学科网（北京）股份有限公司 $$