专题04 分数的加法和减法（拓展篇）-2024-2025学年五年级下册数学计算大通关（人教版）

2024-2025学年五年级下册数学计算大通关 第三单元：分数的加法和减法（拓展篇） 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、计算常用知识点：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、计算专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 3、计算题综合突破：针对常考题进行汇编突破。 目录 常用知识点 1 专题突破 2 【突破点一】分数的加减法简便计算 2 【突破点二】分数大小比较 3 【突破点三】分数拆分与计算 3 综合突破 3 1.分数加减法简便算法（分组计算） 2.分数大小比较 3.分数拆分与计算（也称裂项法） 一、分数加减法简便运算。 1.++++……++ 2. ++++ 3.++++++++…++…+…++ 4.100-99+98-97+96-95+…+2-1 5.+（+）+（++）+…+（++…+） 二、分数大小比较有妙招 1.如果a=，b=，那么a、b中较大的数是（ ）。 2.比较、和的大小。 三、分数拆分与计算 1.++++ 2.-+-+ - 3.++++…+ 4.+++…+ 一、巧妙计算。 （1）++++++++ （2）（+++…+）+（+++…+）+（+++……+）+……+（+）+ （3）-+ -+- （4）-------- （5）++++…+ （6）++++++ （7）++++…+ （8）-+-+…-+ （9）+++++++…++ （10）+++ （11）++++ （12）+++++ （13）1+3+5+7+9 （14）-+- （15）+++…++ （16）-+-+ （17）1+3+5++9+11+13+15+17 二、比较分数的大 1.请将、、这三个数从小到大排列。 2. 将、、、、这三个数从小到大排列。 3.设A=，B=、比较A、B的大小。 4.a=，b=，c=,下列大小顺序的排列正确的是（ ） A.a＜b＜c B. a＜c＜b C. c＜b＜a D. b＜c＜a 三、文字题 1.一个最简分数分子与分母之和是50。如果把这个分数的分子、分母都减去15，所得的分数值是，求原来的分数。 2.一个最简分数分子与分母之和是62。若分子减去1、分母都减去7，所得的分数值是，求原来的分数。 3.一个分数，若分子加上3，约分为；若分子减3，约分为，，求原分数。 4.一个最简分数分子与分母之和是49。如果把这个分数的分子加上4、分母减去4，所得的新分数可以约分为，求原来的分数。 5.已知a，b为自然数，=+,求a+b的最小值。 6.=+，括号里填上不同的自然数 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年五年级下册数学计算大通关 第三单元：分数的加法和减法（拓展篇） 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、计算常用知识点：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、计算专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 3、计算题综合突破：针对常考题进行汇编突破。 目录 常用知识点 1 专题突破 2 【突破点一】分数的加减法简便计算 2 【突破点二】分数大小比较 4 【突破点三】分数拆分与计算 5 综合突破 7 1.分数加减法简便算法（分组计算） 2.分数大小比较 3.分数拆分与计算（也称裂项法） 一、分数加减法简便运算。 1.++++……++ 【思维点拨】此题中相邻两个加数之间相差，成等差数列，我们可以运用等差数列求和公式：“总和=（首相+末项）×项数÷2”以及“项数=（末项-首项）÷公差+1”来计算。 【解答】 项数=（-）÷+1=9 原式=（+）×9÷2=4.5 或原式=====4.5 2.++++ 【思维点拨】采用数形结合思想方法解题：观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。可以利用下图发现规律。 ++=1-= +++=1-= 【解答】 ++++=1-= 3.++++++++…++…+…++ 【思维点拨】此题计算比较复杂，但根据算式中分数的特点，合理分组，分别计算即可。 【解答】 原式=++++++++…++…+…++ =1+2+3+……+2023 =（1+2023）×2023÷2 =2024×2023÷2 =2023×1012 =2047276 4.100-99+98-97+96-95+…+2-1 【思维点拨】分组进行计算 【解答】 原式=（100-99）+（98-97）+（96-95）+…+（2-1） =+++……+（50个） = = = 5.+（+）+（++）+…+（++…+） 【思维点拨】先把括号里的结果分别算出来，再根据算式特点进行合理转化为同分母分数进行计算即可。 【解答】 原式=+1++…+ =+++…+ = = 二、分数大小比较有妙招 1.如果a=，b=，那么a、b中较大的数是（ ）。 【思维点拨】此题分数的分母和分子数值较大，如果运用通分转化为同分母进行比较，则计算量较大。根据每个分数接近1的特点，可以把每一个分数转化为1，在减去相差部分即可。 【解答】 a==1- b==1- 所以此题转化为比较1-与1-的大小即可，根据被减数相同，减数越大，差越小的原理进行比较 因为＞，所以1-＜1- 即＜ 所以a＜b 2.比较、和的大小。 【思维点拨】方法同上 【解答】 因为=1-，=1-，=1-。 又因为＞＞，所以1-＜1-＜1-。 得到＜＜。 三、分数拆分与计算 1.+++……++ 【思维点拨】算式中的每一个分数都可以拆成两个分数的差：如==1-，==-， ==-，……，拆开后的一些分数在计算的过程中可以相互抵消，这样计算就简便多了。 【解答】 原式=1-+-+-+……+-+- =1- = 2.–+-+ - 【思维点拨】算式中的每一个分数都可以拆成两个分数的差：如==1+，==+， ==+，……，拆开后的一些分数在计算的过程中可以相互抵消，这样计算就简便多了。在计算过程中注意符号的变化。 【解答】 原式=（1+）-（+）+（+）-（+）+（+）-（+） =1+--++--++-- =1- = 3.++++…+ 【思维点拨】根据题中分数特点，发现分母相差3，差正好等于分子，所以可以把每一组拆分成两个基本分数单位相减的形式进行计算，能抵消的分数直接抵消，这样计算起来就简便多了。例如：=-，=-，=-，…… 【解答】 原式=-+-+-+-+……+- =- = 4.+++…+ 【思维点拨】题中有10个分数，每一个分数都与1接近，所以可以把每一个分数看作是1，再减去看大的部分即可。例如：=1-，=1-，=1-，…… 【解答】 原式=1-+1-+1-+……+1- =1×10-（+++……+） =10-（1-+-+-+……+-） =10-（1-） =9 一、巧妙计算。 （1）++++++++ 【思维点拨】此题为异分母分数加法，通分方法无法算出；采用拆分法也无法相互抵消；可以采用分组相加的方法进行计算。 【解答】 原式=（++）+（+）+（+）+（+） =+++ =（+）+（+） =+ =1 （2）（+++…+）+（+++…+）+（+++……+）+……+（+）+ 【思维点拨】此题采用分组方法进行计算，同分母的分数作一组。 【解答】 原式=+（+）+（++）+（+++）+……+（++……++） =++++……+ =95 （3）-+ -+- 【思维点拨】此题采用拆分法，把每一项拆成两个分数单位相加的形式，再相互抵消，起到了巧算效果。 【解答】 原式=（+）-（+）+（+）-（+）+（+）-（+） =1+--++--++--++-- =1- = （4）-------- 【思维点拨】此题采用分数的基本性质1和拆分抵消法进行计算较简单。 【解答】 原式=-（+++++++）（分数的基本性质1） =-（-+-+……+-+-） =-（-） = （5）++++…+ 【思维点拨】根据题中分数特点，发现分母相差2，差正好等于分子，所以可以把每一组拆分成两个基本分数单位相减的形式进行计算，能抵消的分数直接抵消，这样计算起来就简便多了。例如：=-，=-，=-，…… 【解答】 原式=-+-+-+-+……+- =- = （6）++++++ 【思维点拨】采用数形结合思想方法解题：观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。可以利用下图发现规律。++=1-=，+++=1-= 【解答】 ++++++=1-= （7）++++…+ 【思维点拨】算式中的每一个分数都可以拆成两个分数的差：如=1-，=-， =-，……，拆开后的一些分数在计算的过程中可以相互抵消，这样计算就简便多了。 【解答】 原式=1-+-+-+-- =1- = （8）-+-+…-+ 【思维点拨】算式中的每一个分数都可以拆成两个分数的差：如=1+，=+， =+，……，拆开后的一些分数在计算的过程中可以相互抵消，这样计算就简便多了。在计算过程中注意符号的变化。 【解答】 原式=（1+）-（+）+（+）-（+）+……-（+）+（+） =1+--++--+……--++ =1+ = （9）+++++++…++ 【思维点拨】此题为同分母分数相加，根据同分母分数加法计算法则进行计算：分母不变，把分子相加减。分子为连续自然数，可以采用数列求和的方法求和。 【解答】 原式= = = （10）+++ 【思维点拨】采用拆分法进行计算很简便。（拆减法） 【解答】 原式=1-+-+-+- =1- = （11）++++ 【思维点拨】采用拆分法进行计算很简便。（拆减法） 【解答】 原式=+（-）+（-）+（-）+（-） =+-+-+-+- =1- = （12）+++++ 【思维点拨】把每一项转化为带分数，再运用拆分法进行计算。 【解答】 原式=1++++ =1×5+（++++） =5+（-+-+-+-+-） =5+（-） =5 （13）1+3+5+7+9 【思维点拨】此题可以采用分组法和拆分法进行计算。 【解答】 原式=（1+3+5+7+9）+（++++） =25+（-+-+-+-） =25+（-） =25 （14）-+- 【思维点拨】此题采用拆加法方法进行计算更简便。 【解答】 原式=1+--++-- =1- = （15）+++…++ 【思维点拨】此题采用同分母分数相加计算法则和数列求和方法进行计算。 【解答】 原式= = = （16）-+-+ 【思维点拨】拆加法计算。 【解答】 原式=（+）-（+）+（+）-（+）+（+） =+--++--++ =+ = （17）1+3+5++9+11+13+15+17 【思维点拨】此题采用分组法和极限思想方法进行计算。 【解答】 原式=（1+3+5+7+9+11+13+15+17）+（++++++++） =81+（1-） =81 二、比较分数的大 1.请将、、这三个数从小到大排列。 【思维点拨】此题把每一个分数转化为同分子的方法进行比较较简便：分子相同，分母小的分数大。 【解答】 [4,6,10]=60 =，=，= 因为＜＜，所以＜＜ 2. 将、、、、这三个数从小到大排列。 【思维点拨】方法同上 【解答】 =、=、=、=、= 因为＜＜＜＜，所以＜＜＜＜ 3.设A=，B=、比较A、B的大小。 【思维点拨】先把=，再利用与1作差法进行比较。 【解答】 = =1- =1- 因为＜，所以1-＞1- 即＞，A＞B 4.a=，b=，c=,下列大小顺序的排列正确的是（ ） A.a＜b＜c B. a＜c＜b C. c＜b＜a D. b＜c＜a 【思维点拨】利用与1作差法进行比较较简便。 【解答】 =1- =1- =1- 因为＞＞，所以1-＞1-＞1-，即a＜b＜c 【答案】A 三、文字题 1.一个最简分数分子与分母之和是50。如果把这个分数的分子、分母都减去15，所得的分数值是，求原来的分数。 【思维点拨】同时减去15，所以分子与分母之和为50-15×2=20，分子可以看作是3份，分母看作是7份，20÷（3+7）=2，3×2=6,7×2=14。可以求出现在分数为，分子分母再加上15，得到原分数。 【解答】 （50-15×2）÷（3+7）=2 原分数分子：2×3+15=21 原分数分母：7×2+15=29 所以原分数为。 2.一个最简分数分子与分母之和是62。若分子减去1、分母都减去7，所得的分数值是，求原来的分数。 【思维点拨】方法同上 【解答】 （62-1-7）÷（2+7）=6 原分数分子：6×2+1=13 原分数分母：6×7+7=49 所以原分数为。 3.一个分数，若分子加上3，约分为；若分子减3，约分为，，求原分数。 【思维点拨】解决此题关键就是分数的分母不变，分子前后相差3+3=6。利用分数的基本性质进行求解即可。 【解答】 化为同分母=，= 观察发现分子相差20-14=6。 所以原分数为= 4.一个最简分数分子与分母之和是49。如果把这个分数的分子加上4、分母减去4，所得的新分数可以约分为，求原来的分数。 【思维点拨】和不变，运用和倍问题的解题方法进行求解即可。 【解答】 49÷（3+4）=7 原分数分子：7×3-4=17 原分数分母：7×4+4=32 所以原分数为。 5.已知a，b为自然数，=+,求a+b的最小值。 【思维点拨】把拆成两个分数单位相加，要使两个分数的分母之和最少。 【解答】 进行分析推理： （1）=+=+，分子与分母和为15+5=20 （2）==+=+，分子与分母和为10+6=16 所以a+b的最小值为16。 6.=+，括号里填上不同的自然数。 【思维点拨】利用分数的基本性质把分数单位缩小后再进行拆分。 【解答】（答案不唯一） ==+=+ 所以=+ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$