专题03 分数的加法和减法（基础篇）-2024-2025学年五年级下册数学计算大通关（人教版）

2024-2025学年五年级下册数学计算大通关 第六单元：分数的加法和减法（基础篇） 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、计算常用知识点：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、计算专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 3、计算题综合突破：针对常考题进行汇编突破。 目录 常用知识点 1 专题突破 4 【突破点一】同分母分数的加减法 4 【突破点二】异分母分数的加减法 5 【突破点三】分数加减混合运算 6 【突破点四】分数加法简便计算 7 【突破点五】分数减法简便计算 7 【突破点六】分数加减混合简便计算 7 【突破点七】分数加减与方程 8 【突破点八】拓展：分数的拆分与计算 10 综合突破 10 1.分数加减法意义 分数加减法的意义和整数加减法的意义相同。 （1）分数加法的意义：把几个数合并成一个数的运算； （2）分数减法的意义：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。 2.同分母分数加减法计算法则 分母不变，把分子相加减，结果要化为最简分数。 3.异分母分数加减法计算法则 先通分，把异分母化成同分母分数，然后再运用同分母分数加减法方法进行计算。 4.分数加减法混合运算 分数加减法混合运算同整数加减法混合运算顺序一样，有括号先算括号里面的，没有括号从左往右算，注意最后结果要写成最简分数形式。 5.分数加法运算律 整数加法的运算律再分数加法中同样适用。 （1）加法交换律：交换两个加数的位置，和不变。 用字母表示加法交换律：a+b=b+a （2）加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，也可以先把后两个数相加，结果不变。 用字母表示加法结合律：（a+b）+c= a+(b+c) 6.分数减法简便计算 1.减法的性质：连续减去两个数，等于减去这两个数的和；或也可以先减去第二个数，再减去第一个数，结果不变。 2.去括号时，括号外面是减号，括号里面的符号要变号。 （1）减法性质1：连续减去两个数，等于减去这两个数的和 用字母表示：a-b-c=a-(b+c) （2）减法性质2：也可以先减去第二个数，再减去第一个数。 用字母表示：a-b-c=a-c-b 7.分数加减与解方程（有两种计算方法） （1）运用等式性质解方程：以等式的性质为基础，应用在分数加减法中，方法不变。 等式性质1：方程左右两边同时加或减去同一个数，左右两边仍然相等； 等式性质2：方程左右两边同时乘或除以一个不为0的数，左右两边仍然相等。 （2）运用数量关系解方程 ①一个加数=和-另一个加数； ②被减数=减数=差； ③减数=被减数-差 8.分数拆分法（也称裂项法） 可以把一个分数拆成两个分数相减或相加的形式： ①=– （分母是连续的两个自然数的积,分子是它们的差） 例如：===– ②=+ （分母是连续的两个自然数的积,分子是它们的和） 例如：===+ 总之，分数加减法最终结果一般是最简分数或整数、小数。不是最简分数的一定要化成最简分数。 【专题突破一】同分母分数的加减法 1.同分母分数相加 2.同分母分数相减 3.含带分数的分数相加减 【专题突破二】异分母分数的加减法 1.异分母分数相加 2.异分母分数相减 3.含带分数的分数相加减 【专题突破三】分数加减混合计算 1.同分母相加减 2.异分母相加减 3.含括号加减计算 【专题突破四】分数加法简便计算 1.加法交换律 2.加法结合律 3.加法交换律和结合律 4.凑整法计算 【专题突破五】分数减法简便计算 1.减法性质1 2.减法性质2 【专题突破六】分数加减混合简便计算 1.加法运算律与减法性质合用 【专题突破七】分数加减与方程 1.加法方程 2.减法方程 3.加减混合方程 【专题突破八】分数的拆分与计算 1.拆减法计算 2.拆加法计算 3.把一个分数拆成多个基本分数单位相加。 【综合突破】 【专题突破一】同分母分数的加减法 【方法点拨】 1.分数加法的意义。 分数加法和整数加法的意义相同，都是把两个数合成一个数的运算。 2.分数减法的意义。 分数减法和整数减法的意义相同，都是已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。 3.同分母分数加、减法计算。 分母不变，把分子相加、减。 注意：分数加减法的结果要约分成最简分数。 1.同分母分数相加 【计算法则】同分母分数相加，分母不变，把分子相加减 直接写得数： += += += += += 1+= += += 2.同分母分数相减 直接写得数： －＝         －＝           －＝            －＝ 1－＝            －＝            -＝           2-＝ 3.含带分数的分数相加减 1+2= 7-6= 1+8= 4+5= 7+8= 17-13= 3-= 9-8= 【专题突破二】异分母分数的加减法 【方法点拨】 1.异分母分数相加、减，先通分，然后按照同分母分数加、减法的计算方法进行计算。 2.在计算时，有时会出现分数和小数的混合运算，如果分数能转化为有限小数，可以把分数转化为小数计算；如果分数不能转化为有限小数，就把小数转化为分数计算。 注意：分数加减法的结果要约分成最简分数。 1.异分母分数相加 += += += += += += += += 2.异分母分数相减 -= -= -= -= -= -= -= -= 3.含带分数的分数相加减 1+= 2-= 8+7= 1-1= +3= 2-= 9+10= 2-1= 【专题突破三】分数加减混合计算 【方法点拨】 分数加减法混合运算同整数加减法混合运算顺序一样，有括号先算括号里面的，没有括号从左往右算，注意最后结果要写成最简分数形式。 1.同分母相加减（脱式计算） （1）++= （2）+-= （3）-+= （4）++= （5）+-+= （6）-+-= （7）--+= （8） ++-= 2.异分母相加减（脱式计算） ++= +-= -+= +-= +-+= -+-= --+= ++-= 3.含括号加减混合计算（脱式计算） （1）1+（-1 （2）  （3） （4）1     （5）    （6）   【专题突破四】分数加法简便计算 【方法点拨】 1.整数加法的运算定律在分数加法中依然适用； 2.交换律：a+b=b+a； 3.结合律：a+b+c=a+（b+c）。 1.加法交换律（简便计算） 2.加法结合律（简便计算） 3.加法交换律和结合律（简便计算） 4.凑整法计算（简便计算） 999+99+9+ 9999+999+99+9+ 【专题突破五】分数减法简便计算 【方法点拨】 1.减法的性质：连续减去两个数，等于减去这两个数的和；或也可以先减去第二个数，再减去第一个数，结果不变。 2.去括号时，括号外面是减号，括号里面的符号要变号。 （1）减法性质1：连续减去两个数，等于减去这两个数的和 用字母表示：a-b-c=a-(b+c) （2）减法性质2：也可以先减去第二个数，再减去第一个数。 用字母表示：a-b-c=a-c-b 1.减法性质1（脱式计算） 1-- 3--- -（- 2.减法性质2（脱式计算） -- 1--- -- 【专题突破六】分数加减混合简便计算 1.加法运算律与减法性质合用（脱式计算） -+- -+- （-）-（-） =--+ = +- =--+ 【专题突破七】分数加减与方程 【方法点拨】 分数加减与解方程（有两种计算方法） （1）运用等式性质解方程：以等式的性质为基础，应用在分数加减法中，方法不变。 等式性质1：方程左右两边同时加或减去同一个数，左右两边仍然相等； 等式性质2：方程左右两边同时乘或除以一个不为0的数，左右两边仍然相等。 （2）运用数量关系解方程 ①一个加数=和-另一个加数； ②被减数=减数=差； ③减数=被减数-差 1.加法方程 x+= +x= +x+= 2.减法方程 x-= -x= x-（-）= 3.加减混合方程 +x-= -（x+）= x-+= 【专题突破八】分数的拆分与计算 【方法点拨】 可以把一个分数拆成两个分数相减或相加的形式： ①=– （分母是连续的两个自然数的积,分子是它们的差） 例如：===– ②=+ （分母是连续的两个自然数的积,分子是它们的和） 例如：===+ 1.拆减法计算 例如==-，==-，==-…… 则==-，==-； 计算：（1）+++++ （2）- --- - 2.拆加法计算 例如==+，==+，==+…… 则==+，==+； 计算： -+-+ - 3.把一个分数拆成多个分数单位相加。 例如：==-，所以=+；因为==-，所以=+. 拆分数（1）=+ （2）=+++ 一、直接写得数 += += += +4= -= -= -= 1-= ++= ++= ++ = 1++= --= --= --= --= 二、直接写得数 += += += += -= -= -= -= 三、填空。 += （ ） -=（ ） +=（ ） （ ）-= +（ ）= -= ++（ ）=1 2--（ ）=1 （ ）++=2 四、列式并计算。 五、在○里填上“＞”“＜”或“=”。 -○- -○- 1--○+ +○+ +○+ ++○3+ -○- +○+ ++○1+- 六、脱式计算（能简便用简便） -（+） -- -（- +- ++ 1-- +（-） -+ -（-） +++ 5--- +++ ++ -（-） -+- -（+） -- -（+） 七、解方程。 X+= x-= x-=1 +x= -x= -x= +x= x+ = x-(-)=1 x-=2- x-（+）=1 八、找规律计算。 （1）已知+=1-=，++=1-=，+++=1-=， 根据上面三组算式的规律，计算下题。 +++++++ （2）先计算，在观察，看看你能发现上面规律。 1-= -= -= -= 根据上面三组算式的规律，计算下题。 ++++ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年五年级下册数学计算大通关 第六单元：分数的加法和减法（基础篇） 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、计算常用知识点：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、计算专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 3、计算题综合突破：针对常考题进行汇编突破。 目录 常用知识点 1 专题突破 4 【突破点一】同分母分数的加减法 4 【突破点二】异分母分数的加减法 5 【突破点三】分数加减混合运算 6 【突破点四】分数加法简便计算 10 【突破点五】分数减法简便计算 12 【突破点六】分数加减混合简便计算 13 【突破点七】分数加减与方程 13 【突破点八】拓展：分数的拆分与计算 14 综合突破 16 1.分数加减法意义 分数加减法的意义和整数加减法的意义相同。 （1）分数加法的意义：把几个数合并成一个数的运算； （2）分数减法的意义：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。 2.同分母分数加减法计算法则 分母不变，把分子相加减，结果要化为最简分数。 3.异分母分数加减法计算法则 先通分，把异分母化成同分母分数，然后再运用同分母分数加减法方法进行计算。 4.分数加减法混合运算 分数加减法混合运算同整数加减法混合运算顺序一样，有括号先算括号里面的，没有括号从左往右算，注意最后结果要写成最简分数形式。 5.分数加法运算律 整数加法的运算律再分数加法中同样适用。 （1）加法交换律：交换两个加数的位置，和不变。 用字母表示加法交换律：a+b=b+a （2）加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，也可以先把后两个数相加，结果不变。 用字母表示加法结合律：（a+b）+c= a+(b+c) 6.分数减法简便计算 1.减法的性质：连续减去两个数，等于减去这两个数的和；或也可以先减去第二个数，再减去第一个数，结果不变。 2.去括号时，括号外面是减号，括号里面的符号要变号。 （1）减法性质1：连续减去两个数，等于减去这两个数的和 用字母表示：a-b-c=a-(b+c) （2）减法性质2：也可以先减去第二个数，再减去第一个数。 用字母表示：a-b-c=a-c-b 7.分数加减与解方程（有两种计算方法） （1）运用等式性质解方程：以等式的性质为基础，应用在分数加减法中，方法不变。 等式性质1：方程左右两边同时加或减去同一个数，左右两边仍然相等； 等式性质2：方程左右两边同时乘或除以一个不为0的数，左右两边仍然相等。 （2）运用数量关系解方程 ①一个加数=和-另一个加数； ②被减数=减数=差； ③减数=被减数-差 8.分数拆分法（也称裂项法） 可以把一个分数拆成两个分数相减或相加的形式： ①=– （分母是连续的两个自然数的积,分子是它们的差） 例如：===– ②=+ （分母是连续的两个自然数的积,分子是它们的和） 例如：===+ 总之，分数加减法最终结果一般是最简分数或整数、小数。不是最简分数的一定要化成最简分数。 【专题突破一】同分母分数的加减法 1.同分母分数相加 2.同分母分数相减 3.含带分数的分数相加减 【专题突破二】异分母分数的加减法 1.异分母分数相加 2.异分母分数相减 3.含带分数的分数相加减 【专题突破三】分数加减混合计算 1.同分母相加减 2.异分母相加减 3.含括号加减计算 【专题突破四】分数加法简便计算 1.加法交换律 2.加法结合律 3.加法交换律和结合律 4.凑整法计算 【专题突破五】分数减法简便计算 1.减法性质1 2.减法性质2 【专题突破六】分数加减混合简便计算 1.加法运算律与减法性质合用 【专题突破七】分数加减与方程 1.加法方程 2.减法方程 3.加减混合方程 【专题突破八】分数的拆分与计算 1.拆减法计算 2.拆加法计算 3.把一个分数拆成多个基本分数单位相加。 【综合突破】 【专题突破一】同分母分数的加减法 【方法点拨】 1.分数加法的意义。 分数加法和整数加法的意义相同，都是把两个数合成一个数的运算。 2.分数减法的意义。 分数减法和整数减法的意义相同，都是已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。 3.同分母分数加、减法计算。 分母不变，把分子相加、减。 注意：分数加减法的结果要约分成最简分数。 1.同分母分数相加 【计算法则】同分母分数相加，分母不变，把分子相加减 直接写得数： += += += += += 1+= += += 【解析】同分母分数相加，分母不变，把分子相加， 答案：，4，，，，2，，。 2.同分母分数相减 直接写得数： －＝         －＝           －＝            －＝ 1－＝            －＝            -＝           2-＝ 【解析】同分母分数相减，分母不变，把分子相减 答案：0，，，，，1，，。 3.含带分数的分数相加减 1+2= 7-6= 1+8= 4+5= 7+8= 17-13= 3-= 9-8= 【解析】把整数部分和分数分别相加减，在把结果化为假分数或带分数，遇到分数部分不够减的时候，就从整数部分退1再相减。 答案：4,1,10,10,16，4，1，1。 【专题突破二】异分母分数的加减法 【方法点拨】 1.异分母分数相加、减，先通分，然后按照同分母分数加、减法的计算方法进行计算。 2.在计算时，有时会出现分数和小数的混合运算，如果分数能转化为有限小数，可以把分数转化为小数计算；如果分数不能转化为有限小数，就把小数转化为分数计算。 注意：分数加减法的结果要约分成最简分数。 1.异分母分数相加 += += += += += += += += 【解析】异分数相加，要先通分，化为同分母的分数，再运用同分母加法方法计算。（一般用分母的最小公倍数作同分母） 【答案】，，，，，，，。 2.异分母分数相减 -= -= -= -= -= -= -= -= 【解析】先化同分母，再相加减 【答案】，，，，，，，。 3.含带分数的分数相加减 1+= 2-= 8+7= 1-1= +3= 2-= 9+10= 2-1= 【解析】先把分数部分化为同分母的分数，再根据同分母的分数加减法进行运算。 【答案】1，2，15，，3，2，20，。 【详解】略 【专题突破三】分数加减混合计算 【方法点拨】 分数加减法混合运算同整数加减法混合运算顺序一样，有括号先算括号里面的，没有括号从左往右算，注意最后结果要写成最简分数形式。 1.同分母相加减（脱式计算） （1）++= （2）+-= （3）-+= （4）++= （5）+-+= （6）-+-= （7）--+= （8） ++-= 【解析】同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减，最后结果化为最简分数或整数。 【答案】，0，，，，，1，。 【详解】 （1）++ = =； （2）+- = =0; （3）-+ = = = （4）++ = = （5）+-+ = = （6） -+- =0+- = =- （7）--+ = =1 （8）++- = = 2.异分母相加减（脱式计算） ++= +-= -+= +-= +-+= -+-= --+= ++-= 【解析】异分母分数混合运算，先通分再计算。 【答案】，，，，1，，，。 【详解】 （1）++ =++ = （2）+- =+- = = （3）-+ =-+ = （4）+- =+- = （5）+-+ =+（-+ =1 （6）-+- = -+- = = （7）--+ =+-- =1-（+） =1- = ++- =-++ =++ =+ = 3.含括号加减混合计算（脱式计算） （1）1+（-1 （2）  （3） （4）1     （5）    （6）   【解析】先通分再计算，有括号先算括号里面的，再算括号外面的；或去掉括号再计算，去括号时，要注意括号前面如果是减号，括号的符号要变号，即加号变减号，减号变加号。 【答案】 【解析】异分母分数混合运算，先通分再计算。 【答案】，，，，，，，。 （1）1+（-1 （2）  （3） =1+-1 = = =4-1 = =-- =2 = =2-=1 （4）1    （5）   （6） =1- =- =+- = = = 【专题突破四】分数加法简便计算 【方法点拨】 1.整数加法的运算定律在分数加法中依然适用； 2.交换律：a+b=b+a； 3.结合律：a+b+c=a+（b+c）。 1.加法交换律（简便计算） 【答案】1 ， ，1 【详解】 = = = =1+ = =1+ =1 = =1 2.加法结合律（简便计算） = =（） =（） =1 =1 =1 =1 =1 =1 3.加法交换律和结合律（简便计算） = = = =（）+（） ==（）（） =1+1 =1+1 =1+1 =2 =2 =2 4.凑整法计算（简便计算） 【思维点拨】当一个数接近整十，整百，整千……，可以把这个数看作是整数，如果看大了几就减去几，看小了几就加上几。 999+99+9+ =999+99+9+ =（1000-）+（100-）+（10-）+（1-） =（1000+100+10+1）-（+++） =1111- =1110 9999+999+99+9+ =9999+999+99+9++++ =（9999+）+（999+）+（99+）+（9+） =10000+1000+100+10 =11110 【专题突破五】分数减法简便计算 【方法点拨】 1.减法的性质：连续减去两个数，等于减去这两个数的和；或也可以先减去第二个数，再减去第一个数，结果不变。 2.去括号时，括号外面是减号，括号里面的符号要变号。 （1）减法性质1：连续减去两个数，等于减去这两个数的和 用字母表示：a-b-c=a-(b+c) （2）减法性质2：也可以先减去第二个数，再减去第一个数。 用字母表示：a-b-c=a-c-b 1.减法性质1（脱式计算） 1-- 3--- -（- =1-- =3--- = -（- =1-（+） =3-（++） =-+ =1-1 =3-1 =1+ =0 =2 =1 2.减法性质2（脱式计算） -- 1--- -- =-- =1--- = -- =1- =1-- =2- = =0 =1 【专题突破六】分数加减混合简便计算 1.加法运算律与减法性质合用（脱式计算） -+- -+- （-）-（-） =--+ = +- =--+ =（++ =（+）-（） =--+ =+ =1- =（-）-（-） =0+ = =- = = = 【专题突破七】分数加减与方程 【方法点拨】 分数加减与解方程（有两种计算方法） （1）运用等式性质解方程：以等式的性质为基础，应用在分数加减法中，方法不变。 等式性质1：方程左右两边同时加或减去同一个数，左右两边仍然相等； 等式性质2：方程左右两边同时乘或除以一个不为0的数，左右两边仍然相等。 （2）运用数量关系解方程 ①一个加数=和-另一个加数； ②被减数=减数=差； ③减数=被减数-差 1.加法方程 x+= +x= +x+= 解：x+-=- 解：+x-=- 解：+x=- X= X= +x=1 X=1- X= 2.减法方程 x-= -x= x-（-）= 解：x=+ 解：x=- 解：x-= X=1 x= x=+ X= 3.加减混合方程 +x-= -（x+）= x-+= 解：+x=1 解：-x-= 解：x+=+ X=1- -x=+ x+=1 X= -x=1 x=1- X=-1 x= X= 【专题突破八】分数的拆分与计算 【方法点拨】 可以把一个分数拆成两个分数相减或相加的形式： ①=– （分母是连续的两个自然数的积,分子是它们的差） 例如：===– ②=+ （分母是连续的两个自然数的积,分子是它们的和） 例如：===+ 1.拆减法计算 例如==-，==-，==-…… 则==-，==-； 计算：（1）+++++ （2）- --- - 解：（1）+++++ =+++++ =1++-+-+-+-+- =1- = （2）- --- - =-（++++） =-（-+-+-+-+-） =-（-） = 2.拆加法计算 例如==+，==+，==+…… 则==+，==+； 计算： -+-+ - 解： -+-+ - = （1+）-（+）+（+）-（+）+（+）-（+） =1+--++--++-- =1- = 3.把一个分数拆成多个分数单位相加。 例如：==-，所以=+；因为==-，所以=+. 拆分数（1）=+ （2）=+++ 解：（1）因为=- 所以=+ （2）因为=+ =+ 所以=+++ 一、直接写得数 += += += +4= -= -= -= 1-= ++= ++= ++ = 1++= --= --= --= --= 【答案】 ，1，，4，，，，， ，，1，1，，，，。 二、直接写得数 += += += += -= -= -= -= 【答案】 ，，，，，，，。 三、填空。 += （ ） -=（ ） +=（ ） （ ）-= +（ ）= -= ++（ ）=1 2--（ ）=1 （ ）++=2 【答案】 ，，，1，，，，，。 四、列式并计算。 【答案】 （1）1--= （2）-= 五、在○里填上“＞”“＜”或“=”。 -○- -○- 1--○+ +○+ +○+ ++○3+ -○- +○+ ++○1+- 【解析】左右两边先计算，再比较大小 【答案】＞、＜、＜、＝、＝、＜、＜、＜、＞。 六、脱式计算（能简便用简便） -（+） -- -（- 解：=- =-（+） = -+ = =-1 =+- = =0 +- ++ 1-- =-+ =++ =- =0+ =1+ = = =1 +（-） -+ -（-） =+（-） = -+ = -（-） =+ = =- = = = +++ = = =+++ =（） =（）+（） =（+）+（+） =1+1 =2+ =1+1 =2 =2 =2 5--- +++ ++ =5-（++） =+++ =+（+） =5-1 =（+）+（+） =+1 =4 =+ =1 = -（-） -+- =-+ = +-- = =0+ =（+）-（+） =（）-（） = =1- =1+ = =1 -（+） -- -（+） =-- = -（+） =- = - =-1 = = = = 七、解方程。 X+= x-= x-=1 +x= 解：x=- 解：x=+ 解：x=+1 解：x=- X= x= x=1 x= -x= -x= +x= x+= 解：x=- 解：x=- 解：x=- 解：x=- X= x= x= x= x-(-)=1 x-=2- x-（+）=1 解：x- =1 解：x-= 解：x-=1 X=1+ x=+ x=1+ X=1 x= x=2 八、找规律计算。 （1）已知+=1-=，++=1-=，+++=1-= 根据上面三组算式的规律，计算下题。 +++++++ =1- = （2）先计算，在观察，看看你能发现上面规律。 1-= -= -= -= 根据上面三组算式的规律，计算下题。 ++++ =1-+-+-+- =1- = 1 学科网（北京）股份有限公司 $$