2025年江苏省苏州市中考数学模拟试卷（一）

2025年苏州市中考数学模拟试卷（一） 一、选择题（共8小题，24分） 1．下列各式中结果是负数的是（　　） A． B． C．3×2 D．0×(-4) 2．风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有253000兆瓦，将数据253000用科学记数法表示为（　　） A．25.3×104 B．2.53×104 C．2.53×105 D．0.253×106 3．某初中男子篮球队队员的身高数据是186，175，187，186，184，这组数据的众数是（　　） A.175 B.186 C.184 D.187 4．如图，已知AB是圆O的直径，点C，D在圆O上，且∠ABC＝32°，则∠BDC度数为（　　） A．58° B．52° C．68° D．64° 5．已知A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为（　　） A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b 6．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽（椽，承载屋面用的木构件），这批椽的总价钱为6210文．由于每株椽要另外支付3文运费，于是就少买一株椽，剩下的购买这株椽的钱正好可以支付所购买的椽的全部运费．设这批椽有x株，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 7．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标为A（0，2），B（﹣1，0），将△ABO绕点O按顺时针旋转得到△A1B1O，若AB⊥OB1，则点A1的坐标为（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 二、填空题（共8小题，24分） 9. 因式分解的x2+x= 。 10．分式方程的解是 . 11．在平面直角坐标系中，将点A（1，1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为 　 　． 12.在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是______. 13．如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD＝2：3，则∠BOD＝　 　． 第13题 第14题 第16题 14．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为 . 15.经过点A（-3，0），B（1，2），C（1，-2）的圆的周长为______ 16．如图,在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝3，AD＝AE＝ 1，BC＝4。若∠DMC＝∠CEM，且CD2＝DM·DN，则CD的长为_____. 三、计算题（共11题，82分） 17．计算：． 18．解不等式组． 19．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1． 20．在△ABC中，D是BC的中点，E是AC上一点，连接ED并延长使DF＝DE. （1）证明:AC∥BF; （2）若BC＝8，AB＝5，DB平分∠ABF，求AD的长. 21．某校举行运动会时成立了“志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：A．安全监督岗；B．卫生监督岗；C．文明监督岗；D．检录服务岗，小明和小丽报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监岗． （1）小明被分配到“文明监督岗”的概率为　 　； （2）用列表法或树状图法，求小明和小丽被分配到同一个服务监岗的概率． 22．为了解学生的科技知识情况，某校在七、八年级学生中举行了科技知识竞赛（七、八年级各有300名学生）．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下： 收集数据： 七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77． 八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41． 整理数据： 40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 七年级 0 1 0 11 7 1 八年级 1 0 0 7 a 2 分析数据： 平均数 众数 中位数 七年级 78 75 b 八年级 78 81 80.5 应用数据： （1）由上表填空：a＝　 　，b＝　 　； （2）估计该校七、八两个年级在本次竞赛中成绩在90分以上（含90分）的学生共有多少人？ （3）你认为哪个年级的学生科技知识的总体水平较好，请说明理由． 23．【学科融合】：如图1，有一种反光板，由两面镜子AB，BC组成，入射光线DE经过镜子AB，BC反射后形成反射光线FG．在光线反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4． 【问题初探】：（1）如图1，当两面镜于AB，BC的夹角∠ABC＝90°时，试说明DE∥FG； 【深入探究】（2）如图2，当两面镜子AB，BC的夹角∠ABC＝70°且0°＜∠1＜90°时，光线DE在两面镜子之间经过两次反射后，以光线FG射出，FG与DE相交于H（点H不经过点E），请直接写出光线DE与镜面AB的夹角∠1的取值范围. （3）如图2，在（2）的情况下，入射光线DE与反射光线FG的夹角∠EHF的度数是否改变？如果不变，请求出这个角度;如果改变，请说明理由. 24．如图，点A在反比例函数（x＞0）的图象上，AB⊥x轴，垂足为B，tan∠AOB＝，AB＝2． （1）求k的值； （2）点C在这个反比例函数图象上，且∠BAC＝135°，求OC的长． 25．.如图1，在△APE中，∠PAE＝90°，PO是△APE的角平分线，以O为圆心，OA为半径作圆交AE于点G． （1）求证：直线PE是⊙O的切线； （2）在图2中，设PE与⊙O相切于点H，连结AH，点D是⊙O的劣弧上一点，过点D作⊙O的切线，交PA于点B，交PE于点C，已知△PBC的周长为8，sin∠ ① tan ∠EAH＝_______; ② 求EH的长. 26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为 　 　； （3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点，连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围． 27．【模型初探】如图1，ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且AM＝CN．点E，F分别是BD与AN，CM的交点．求证：OE＝OF； 【初步探究】如图2，ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD， BC上,且AM＝CN。点E、F分别是BD与A、CM的交点。连接BM交AC于点H，连接 HE, HF.若 HE∥AB，求证：点M是AD的中点. 【深入探究】如图3，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD、BC上，且AM＝CN。点E、F分别是BD与AN、CM的交点。连接BM，交AC于点H，连接HE、HF，且MD＝2AM，∠EHF＝60°，求的值. 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答案与解析 1 ．下列各式中结果是负数的是( ) A ． -(-2) B ． - -1 C ．3×2 D ．0×(-4) 【分析】根据相反数的定义，绝对值的性质，有理数的乘方对各选项分析判断后利用排 除法求解. 【解答】解：A、﹣(﹣ 2）＝2，是正数，故本选项错误； B、﹣|﹣ 1| =﹣ 1 ，是负数，故本选项错正确； C、3×2=6，是正数，故本选项错误； D 、0×(-4)=0 ，非负数，故本选项错误. 故选：B . 2．风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有 253000 兆瓦，将数据 253000 用科学记数法表示为( ) A ．25.3 × 104 B ．2.53 × 104 C ．2.53 × 105 D ．0.253×106 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10 ，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同．当原数绝对值≥10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数. 【解答】解：253000 ＝2.53 × 105 . 故选：C. 3 ．某初中男子 篮球队 队员的 身高数据 是 186 ， 175 ， 187 ， 186 ， 1 84， 这组数据 的众数 是( ) A.175 B.186 C.184 D.187 【分析】根据众数定义求解可得. 【解答】解：将数据重新排列为：175 、184 、186 、186 、187 ∴众数为 186 故选：B . 4 ．如图，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 在圆 O 上，且∠ABC＝32°,则∠BDC 度数为 ( ) 1 学科网（北京）股份有限公司 ( 。 。 。 。 )A ．58 B ．52 C ．68 D ．64 【分析】连接 AC，根据题意易得∠ACB ＝90°,则有∠BAC＝58°, 然后根据同弧所对 圆周角相等可进行求解. 【解答】解：连接 AC，如图所示： ∵AB 是圆 O 的直径， ∴∠ACB ＝90°, ∵∠ABC＝32°, ∴∠BAC＝58°, ∴∠BDC=∠BAC＝58°; 故选：A . 5 ．已知 A (﹣2 ，a），B (﹣ 1 ，b），C（3 ，c）都在反比例函数的图象上，则 a ，b ，c 的大小关系用“＜”连接的结果为( ) A ．b＜a＜c B ．c＜b＜a C ．a＜b＜c D ．c＜a＜b 【分析】反比例函数y＝中，因为 4＞0 时，双曲线在第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小．根据这个判定则可. 【解答】解： ∵4＞0，点 A，B 同象限，y 随 x 的增大而减小， ∵﹣2<﹣ 1， ∴0＞a＞b， 2 学科网（北京）股份有限公司 又∵C（3 ，c）在反比例函数y = 的图象上， ∴c＞0， ∴b＜a＜c . 故选：A . 6．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买 椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大 意是：现请人代买一批椽（椽，承载屋面用的木构件），这批椽的总价钱为 6210 文．由 于每株椽要另外支付 3 文运费，于是就少买一株椽，剩下的购买这株椽的钱正好可以支 付所购买的椽的全部运费．设这批椽有x 株，则符合题意的方程是( ) 3 学科网（北京）股份有限公司 A . C . B . D . 【分析】由“少买一株椽，剩下的购买这株椽的钱正好可以支付所购买的椽的全部运费”， 可得出一株椽的价格为 3（x﹣ 1）文，结合单价＝总价÷数量，即可得出关于x 的分式方 程，此题得解. 【解答】解：由题意得一株椽的价格：3（x﹣ 1）文，则： . 故选：A . 7 ．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线 OP 为∠AOB 的平分线的有( ) A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 【分析】根据角平分线的定义即可得到结论. 【解答】解：A：由作图痕迹可知，射线 OP 为∠AOB 的平分线； B：由作图痕迹可知，OC＝OD ，OA ＝OB， 又∵∠AOD=∠BOC， ∴△ADO≌△BCO（SAS）， 同理可得△ACP≌△BDP（AAS），△APO≌△BPO（SSS）， ∴∠AOP=∠BOP， 射线 OP 为∠AOB 的平分线； C：由作图痕迹可知，∠ACP=∠AOB ，CP∥OB， 可得∠CPO=∠POB， 又由图可知 CP ＝OP， ∴∠COP=∠CPO， ∴∠POB=∠COP， 射线 OP 为∠AOB 的平分线； D：由作图痕迹可知，CO ＝OD，△OCD 是等腰三角形， ∴射线 OP 是 CD 的垂直平分线， 也是∠AOB 的平分线. 故选：D . 8 ．如图，在直角坐标系中，点 A ，B 的坐标为 A（0，2），B (﹣ 1 ，0），将△ABO 绕点 O 按顺时针旋转得到△A1B1O，若 AB⊥OB1，则点 A1的坐标为( ) 学科网（北京）股份有限公司 A . ( , C . ( , ) ) B . ( , ) D . ( , ) 【分析】如图，设 AB 交 OB1于 T，过点 A1作 A1R⊥x 轴于 R ．解直角三角形求出 OT， AT，再利用相似三角形的性质求出 OR ，RA1 即可. 【解答】解：如图，设 AB 交 OB1于 T，过点 A1作 A1R⊥x 轴于 R . ∵A（0 ，2），B (﹣ 1 ，0）， ∴OB ＝1，OA ＝2， ( = ) ( = ) ( , )∴AB = 4 ∵•OB•OA＝•AB•OT， ∴OT= = , ∴AT= = = , ∵∠AOR=∠A1OB1 ＝90°, ∴∠AOT=∠A1OR， ∵∠ATO=∠A1RO ＝90°, ∴△ATO∽△A1RO， ∴ = = , ∴ 1 = = , ∴OR＝ ，RA1 = , ∴A1 ( , ), 故选：A . 9 ．因式分解的 x2+x= x（x+1） 。 【分析】根据因式分解的概念，将多项式相加写成多个单项式相乘的形式，依据此对各 个选项进行分析即可求出答案. 【解答】解：A ． x2+x ＝ x（x+1）。 10 ．分式方程 的解是 x=3 . 【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答. 【解答】解：， x ＝3（x﹣2）， 解得：x ＝3， 检验：当x ＝3 时，x（x﹣2）≠0， ∴x ＝3 是原方程的根. 11 ．在平面直角坐标系中，将点A（1 ，1）向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长 度得到点 B，则点 B 的坐标为 （3，4） . 【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加计算即可. 5 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：将点A（1，1）向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到点 B， 则点 B 的坐标为（1+2 ，1+3），即（3 ，4）. 故答案为：（3 ，4）. 12.在质数2 ，3 ，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是__ 1 . 3 ___ 13 ．如图，直线AB 、CD 相交于点 O ，OA 平分∠EOC，∠EOC：∠EOD ＝2：3，则∠BOD ( 。 )= 36 . 【分析】根据对顶角、邻补角、角平分线的定义解决此题. 【解答】解：∵∠EOC：∠EOD ＝2 ：3，∠EOC+∠EOD ＝180°, ∴∠EOC= . ∵OA平分∠EOC， ∴∠AOC＝ ＝36 ° . ∴∠BOD=∠AOC＝36 ° . 故答案为：36 ° . 14 ．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 P，Q 都在 x 轴上，平行于x 轴的 直线与两条抛物线相交于 A ，B ，C，D 四点，若 AB ＝10 ，BC＝5，CD ＝6，则 PQ 的长 度为 【分析】分别作出两条抛物线的对称轴 PM，QC，交 AD 于点 M，C，得四边形 PMCQ 是矩形，利用抛物线的对称性计算即可. 【解答】解：分别作出两条抛物线的对称轴 PM，QC，交 AD 于点 M，C， ∴四边形 PMCQ 是矩形， ∴MC＝PQ， ∵AB ＝10，BC＝5 ，CD ＝6， 6 学科网（北京）股份有限公司 7 学科网（北京）股份有限公司 ∴ , , ∴MN＝AD﹣AM﹣CD＝（AB+BC+CD）﹣AM﹣CD = , ∴PQ ＝8， 故答案为：8 15 ．5π 16．如图,在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB ＝3，AD ＝AE ＝ 1，BC ＝4。若∠DMC = ∠CEM ，且 CD2 ＝DM ·DN ，则 CD 的长为 . 【分析】首先将条件转化成线段和角度关系，由 CD2＝DM•DN，很容易找到△DCN∽△ DMC，再根据这个相似结论证出△BEM∽△BPC，多组相似转化，再利用勾股定理建立 方程，求出未知数. 【解答】解：延长 BA ，CD 交于点 P， ∵AD＝AE ＝1， ∴AB ＝3AE ＝3， ∵AD∥BC，BC＝4， ∴ ( = ),即 = , ∴AP ＝1＝AD＝AE， ∵BE＝AP﹣AE＝2 ，PE＝AE+AP ＝2， ∴E 为 BP 中点， ∵CD2＝DM•DN， ∴△DCN∽△DMC， ∴∠DCN=∠DMC=∠CEM， ∴EM∥CD， ∴M 也为 BC 中点， ∴CM＝BM＝2， ∵BP＝BC＝4， ∴∠P=∠DCM， ∵∠ECP=∠DMC， ∴△ECP∽△DMC， ∴ = , 设 DP ＝a，则 CD ＝3a ，CP ＝4a， ∴ = ,解得 a = , ∴CD = . 17 ．计算： . 【分析】利用零指数幂，绝对值的性质，算术平方根的定义计算即可. 【解答】解：原式＝1+5﹣2 ＝6﹣2 ＝4. 18 ．解不等式组 . 【分析】分别求出每一个不等式的解集，从而确定不等式组的解集. 【解答】解：， 解不等式①得：x＜1， 解不等式②得：x≥﹣2.5， 故不等式组的解集为﹣2.5≤x＜1 . 19 ．先化简，再求值：（1﹣)÷ ,其中 x = ﹣ 1 . 8 学科网（北京）股份有限公司 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得. ( • )【解答】解：原式= =﹣ • =﹣ , 当 x=区-1 时， 原式= = . 20 . 21．某校举行运动会时成立了“志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：A．安全监督岗； B ．卫生监督岗；C．文明监督岗；D ．检录服务岗，小明和小丽报名参加了志愿者服务 工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监岗. （1）小明被分配到“文明监督岗”的概率为 ； （2）用列表法或树状图法，求小明和小丽被分配到同一个服务监岗的概率. 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到小明和小丽被分配到同一个服务监岗的结果， 再利用概率公式求解即可. 【解答】解：（1）∵设立了四个“服务监督岗”，而“文明监督岗”是其中之一， 9 学科网（北京）股份有限公司 ∴小明被分配到“文明监督岗”的概率为 . 故答案为：； （2）根据题意列表如下： A B C D A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） B （A ，B） （B ，B） （C，B） （D ，B） C （A ，C） （B ，C） （C，③) （D ，C） ④ （A ，D） （B ，D） （C，D） （D ，④) 共有 16 种等可能的结果，其中小明和小丽被分配到同一个服务监岗的结果数为 4， ( . )所以小明和小丽被分配到同一个服务监岗的概率是 = 22．为了解学生的科技知识情况，某校在七、八年级学生中举行了科技知识竞赛（七、八年 级各有 300 名学生）．现从两个年级各随机抽取 20 名学生的竞赛成绩（百分制）进行分 析，过程如下： 收集数据： 七年级：79 ，85 ，73 ，80 ，75 ，76 ，87 ，70 ，75 ，94 ，75 ，79 ，81 ，71 ，75 ，80 ，86， 59 ，83 ，77. 八年级：92 ，74 ，87 ，82 ，72 ，81 ，94 ，83 ，77 ，83 ，80 ，81 ，71 ，81 ，72 ，77 ，82， 80 ，70 ，41. 整理数据： 40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 七年级 0 1 0 11 7 1 八年级 1 0 0 7 a 2 分析数据： 平均数 众数 中位数 七年级 78 75 b 八年级 78 81 80.5 应用数据： 10 学科网（北京）股份有限公司 （1）由上表填空：a ＝ 10 ，b ＝ 78 ； （2）估计该校七、八两个年级在本次竞赛中成绩在 90 分以上（含 90 分）的学生共有多 少人？ （3）你认为哪个年级的学生科技知识的总体水平较好，请说明理由. 【分析】（1）根据题意可得 a、中位数的意义可得 b； （2）求出 90 分以上的所占得百分比即可； （3）根据中位数、众数的比较得出结论. 【解答】解：（1）由题意可得 a ＝10， 将七年级学生成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为（77+79）÷2 ＝78， 因此中位数是 78，即 b ＝78， 故答案为：10 ，78； （2）（300+300）× =45（人）， 答：该校七、八年级学生在本次竞赛中成绩在 90 分以上的共有 45 人； （3）八年级学生的总体水平较好， 因为七、八年级的平均数相等，而八年级的众数和中位数大于七年级的众数和中位数， 所以八年级得分高的人数较多，即八年级学生的总体水平较好. 23 ．【学科融合】：如图 1，有一种反光板，由两面镜子 AB，BC 组成，入射光线 DE 经过镜 子 AB ，BC 反射后形成反射光线 FG ．在光线反射时，∠1=∠2，∠3=∠4 . 【问题初探】：（1）如图 1，当两面镜于 AB ，BC 的夹角∠ABC＝90°时，试说明 DE∥ FG； 【深入探究】（2）如图2，当两面镜子AB ，BC的夹角∠ABC ＝70°且0°<∠1＜90°时，光 线DE在两面镜子之间经过两次反射后，以光线FG射出，FG与DE相交于H（点H不经过点E）， 请直接写出光线DE与镜面AB的夹角∠1的取值范围. （3）如图2，在（2）的情况下，入射光线DE与反射光线FG的夹角∠EHF的度数是否 改变？如果不变，请求出这个角度;如果改变，请说明理由. 11 学科网（北京）股份有限公司 【解答】（1）证明：“上ABC＝90。， :上2+上3 ＝180 。 -上ABC＝90。， “上1＝上2，上3＝上4， :上1+上4 ＝90。， :上DEF+上EFG ＝180 。 -上1 -上2+180 。 -上3 -上4 ＝180。， :DEⅡFG . （2）（3） 12 学科网（北京）股份有限公司 ( , )24．如图，点 A 在反比例函数（x＞0）的图象上，AB⊥x 轴，垂足为 B，tan ∠AOB = AB ＝2 . （1）求 k 的值； （2）点 C 在这个反比例函数图象上，且∠BAC＝135°,求 OC 的长. 13 学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）根据锐角三角函数求出 OB，进而求出点 A 坐标，最后用待定系数法即可求 出 k； （2）延长 CA 交 x 轴于 D，求出点 D 坐标，进而求出直线AC 的解析式，最后联立双曲 线解析式求解，求出点 C 的坐标，即可求出 OC. 【解答】解：（1）∵AB⊥x 轴， ∴∠OBA ＝90°, 14 学科网（北京）股份有限公司 在 Rt△OBA 中，AB ＝2 ，tan ∠AOB = = , ∴OB ＝4， ∴A（4 ，2）， ∵点 A 在反比例函数y = 的图象上， ∴k ＝4×2 ＝8； （2）如图，延长 CA 交x 轴于 D， ∵∠BAC＝135°, ∴∠BAD ＝180°﹣∠BAC＝45°, ∵AB⊥x 轴， ∴∠ABD ＝90°, ∴∠ADB ＝90°﹣∠BAD ＝45°, ∴BD＝AB ＝2， ∴OD ＝6， ∴D（6 ，0）， 设直线 AC 的解析式为y ＝ax+b， ∵点 A（4 ，2），D（6 ，0）在直线AC 上， 15 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ,∴ , ∴直线 AC 的解析式为y =﹣ x+6① , 由（1）知，k ＝8， ∴反比例函数的解析式为y = ② , 联立①②解得，或， ∴C（2 ，4）， ∴OC＝ ＝2， 即 OC 的长为 2 . 25 ．如图 1，在△APE 中，∠PAE ＝90°, PO 是△APE 的角平分线，以 O 为圆心，OA 为半 径作圆交 AE 于点 G . （1）求证：直线 PE 是。O 的切线； （2）在图2中，设PE与。O相切于点H，连结AH，点D是。O的劣弧上一点，过点D 作。O的切线，交PA于点B，交PE于点C，已知△PBC的周长为8 ，sin∠ ① tan ∠EAH ＝ ; ② 求EH的长. 【分析】（1）作 OH⊥PE，由 PO 是∠APE 的角平分线，得到∠APO=∠EPO，判断出△ PAO≌△PHO，得到 OH＝OA，用“圆心到直线的距离等于半径”来得出直线 PE 是。O 的切线； （2）略 【解答】证明：（1）如图 1， 作 OH⊥PE， ∴∠OHP ＝90°, ∵∠PAE ＝90， ∴∠OHP=∠OAP， ∵PO 是∠APE 的角平分线， ∴∠APO=∠EPO， 在△PAO 和△PHO 中 , ∴△PAO≌△PHO， ∴OH＝OA， ∵OA 是。O 的半径， ∴OH 是。O 的半径， ∵OH⊥PE， ∴直线 PE 是。O 的切线. （2） 16 学科网（北京）股份有限公司 26 ．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax2+bx+c 的图象经过点 A (﹣ 1，0），B（0， ﹣), C（2 ，0），其对称轴与x 轴交于点 D （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）若 P 为y 轴上的一个动点，连接 PD，则PB+PD 的最小值为 ； （3）M（x ，t）为抛物线对称轴上一动点，连接 MA ，MB，若∠AMB 不小于 60°,求 t 的取值范围. 17 学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题. （2）如图 1 中，连接 AB，作 DH⊥AB 于 H，交 OB 于 P，此时PB+PD 最小．最小值 就是线段DH，求出 DH 即可. （3）②作 AB 的中垂线与y 轴交于点 E，连接 EA，则∠AEB ＝120°, 以 E 为圆心，EB 为半径作圆，与抛物线对称轴交于点 F、G ．则∠AFB=∠AGB ＝60°,从而线段 FG 上 的点满足题意，求出 F、G 的坐标即可解决问题. ( , )【解答】解：（1）由题意解得 ( , )∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣ , ∵y＝x2﹣x﹣ = （x﹣) 2﹣ ∴顶点坐标( ,﹣ ) . （2）如图 1 中，连接 AB，作 DH⊥AB 于 H，交 OB 于 P， 此时PB+PD 最小. 理由：∵OA ＝1 ，OB = , ∴tan ∠ABO = = , ∴∠ABO ＝30°, ∴PH＝PB， ∴PB+PD＝PH+PD＝DH， 18 学科网（北京）股份有限公司 ∴此时PB+PD 最短（垂线段最短）. 在 Rt△ADH中，∵∠AHD ＝90°, AD = ,∠HAD ＝60°, ∴sin60°= , ∴DH= , ∴PB+PD 的最小值为 . 故答案为 . （3）如图，Rt△AOB 中，∵tan ∠ABO = = , ∴∠ABO ＝30°, 作 AB 的中垂线与y 轴交于点 E，连接 EA，则∠AEB ＝120°, 以 E 为圆心，EB 为半径作圆，与抛物线对称轴交于点 F、G . 则∠AFB=∠AGB ＝60°,从而线段 FG 上的点满足题意， ∵EB = = , ∴OE ＝OB﹣EB = , ∵F（ ，t），EF2＝EB2， ∴( ) 2+（t+）2＝（ ）2 ， 解得 t＝或， 故 F（ ，），G ( , ), ∴t 的取值范围≤t ≤ 19 学科网（北京）股份有限公司 27 ．【模型初探】如图 1 ， □ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 M，N 分别在边 AD， BC 上，且 AM＝CN．点 E ，F 分别是 BD 与AN，CM 的交点．求证：OE＝OF； 【初步探究】如图2 ， □ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M ，N分别在边AD ， BC上,且AM ＝CN 。点E、F分别是BD与A、CM的交点。连接BM交AC于点H ，连接 HE, HF. 若 HE∥AB ，求证：点M是AD的中点. 【深入探究】如图3，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD、 BC上，且AM ＝CN。点E、F分别是BD与AN、CM的交点。连接BM，交AC于点H，连接HE、 HF ，且MD ＝2AM ，∠EHF ＝60 。，求 的值. 【解答】（1）证明： ∵。ABCD， ∴AD∥BC，OA ＝OC， ∴AM∥CN， ∵AM＝CN， ∴四边形 AMCN 是平行四边形， ∴AN∥CM， ∴∠OAE=∠OCF， 在△AOE 与△COF 中， 20 学科网（北京）股份有限公司 , ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE ＝OF； （2） （3）解：∵ □ABCD 为菱形， ∴AC⊥BD， ∵OE ＝OF，∠EHF＝60 ° , ∴∠EHO=∠FHO ＝30°, ∴ , ∵AM∥BC，MD ＝2AM， ∴ = ,即 HC＝3AH， ∴OA+OH＝3（OA﹣OH）， ∴OA ＝2OH， ∵BN∥AD ，MD ＝2AM，AM＝CN， ∴,即 3BE ＝2ED， ∴3（OB﹣OE）＝2（OB+OE）， 21 学科网（北京）股份有限公司 ∴OB ＝5OE， 22 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ∴ 的值是 . , $$