2025年北师大版数学中考复习专题训练---一元二次方程根与系数的关系

2025年北师大版数学中考复习专题训练---一元二次方程根与系数的关系 一、选择题 1．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．若，且，则（　　） A． B． C． D． 3．已知关于x的一元二次方程 的两个根分别是 ， ，且满足 ，则m的值是（　　） A．0 B． C．0或 D． 或0 4．若、是方程的两个根，则（　　） A． B． C． D． 5．已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（　　） A． B．1 C．或1 D．或3 6．已知a、b是一元二次方程的根，则代数式的值是（　　） A．3 B．1 C． D． 7．在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（　　） A． B． C． D． 8．关于x的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；② ；③ ．其中正确结论的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 9．关于的方程的两个实数根，满足，则的取值范围是　 　 10．已知，，且，设，则的最小值为　 　． 11．已知 ， 且 ， 则 　 　. 12．已知实数，满足，，且，且的值为　 　． 13．若，且一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是　 　；若，是一元二次方程的两个实数根且满足，则　 　． 三、计算题 14．设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）； （2）． 15．关于的一元二次方程． （1）若方程总有两个实数根，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，若两个实数根，满足，求的值． 四、解答题 16．已知关于x的方程． （1）若方程总有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根，满足，求m的值． 五、实践探究题 17．【综合与实践】 【问题情境】对于关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），求方程的根的实质是找到一个x的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的x的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与a，b，c之间具有一定的关系． 【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论： （1）当时，则一元二次方程必有一根是1． （2）当时，则一元二次方程必有一根是－1． 请判断两个结论的真假，并说明原因． （3）【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决： 方程的较大的根为p，方程的较小的根为q，求的值． 18．阅读材料： 材料1：如图，是由四个长为，宽为的长方形拼摆而成的正方形，其中，则根据图形可以得到等式． 材料2：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料3：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根． 根据上述材料解决以下问题： （1）材料理解：一元二次方程两个根为，则______，_____． （2）应用探究：一元二次方程两个根为，则_______． （3）思维拓展：已知实数分别满足，，其中且，求的值． 六、阅读理解题 19．类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料： 设的两个根为和，那么比较系数，可得，． 类比推广，回答问题：设的三个根为，，，那么 （___________）（___________）． 比较系数，可以得到一元三次方程的根与系数的关系： ___________，___________，___________． 20．阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程的解为_______________________； （2）间接应用： 已知实数a，b满足：，且，求的值； （3）拓展应用： 已知实数x，y满足：，且，求的值． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】D 9．【答案】 10．【答案】6 11．【答案】 12．【答案】 13．【答案】且；或 14．【答案】（1） （2） 15．【答案】（1）解：∵a=1，b=-2(m+1)，c=m2+2 ∵方程总有两个实数根 （2）解：由韦达定理可得： ∵ ∴ ∴ 解得或 由（1）知： ∴． 16．【答案】（1）m＞0 （2） 17．【答案】（1）结论正确 理由如下： 令代入得，符合题意． （2）解：结论正确 理由如下： 令代入得：即符合题意． （3）解：∵20232－2022×2024－1＝20232－（2023－1）×（2023＋1）－1 ＝20232－（20232－1）－1 ＝0 是方程的根． 设方程的另外一个根是，则 又 是方程的一个根， 设方程的另外一个根为 则 18．【答案】（1）2， （2） （3）解：把，两边同时除以得：，则实数s和可看作方程的根， ∴，， ∴． 19．【答案】，，，，，r 20．【答案】（1），，， （2）或 （3）15 1 学科网（北京）股份有限公司 $$