10.4 三元一次方程组同步练习2024-2025学年苏科版（2024）七年级数学下册

10.4 三元一次方程组 一、单选题 1．下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．用加减法解方程组较为简便的方法是（   ） A．先消x B．先消y C．先消z D．都一样 3．三元一次方程组 的 的值为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 4．关于的方程组的解是，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 6．在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方．如图方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则的值是（    ） y 3 2 x A．1 B．17 C． D． 7．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 8．关于x的三次三项式（其中a，b，c，d均为常数），关于x的二次三项式（e，f均为非零常数），下列说法有几个正确（   ） ①当的结果为关于x的三次三项式时，则； ②若二次三项式能分解成，则； ③当多项式A与B的乘积中不含项时，则； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．已知方程组，则 ． 10．已知，则代数式的值为 ． 11．王老师购进159个糖果，奖励期末考试最优异的三个小组，期末考试第一名的小组每人获得13颗糖，第二名的小组每人获得12颗糖，第三名的小组每人获得11颗糖，则这三个小组学生的总人数为 ．（每个组人数大于1人） 12．相传洛书是一个三阶幻方，就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在如图的幻方中也有类似的规律，则的值为 ． 13．某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需 元 14．方程的正整数解的组数为 ． 15．已知，则的值为 ． 16．已知，，为三个非负实数，且满足，若，则的最大值为 ． 三、解答题 17．解下列方程组： (1) (2) 18．已知，当时，；当时，；当时，．求、、的值． 19．一个三位数各位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数字大3，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的数比原数大495．求原三位数． 20．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义．根据三元一次方程组必须满足“三元”和“一次”两个要素来求解． 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，但含未知数的项的最高次数是3，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； B、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； C、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； D、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，本选项符合题意； 故选：D． 2．B 【分析】本题考查解三元一次方程组．观察方程组，第一个方程不含有未知数y，因此将第二和第三个方程联立，首先消去y，进而选择即可． 【详解】解：， ∵方程①只有两个未知数x和z组成，而方程②③中y前面的系数是倍数关系， ∴方程②③消去y较容易， 故选：B． 3．B 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，先将三个式子相加，求出，再用可得答案． 【详解】解：， 由，得， 即， 由，得． 故选：B． 4．A 【分析】本题考查了三元一次方程组的解，代数式求值，把代入方程求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握三元一次方程组解的定义是解题的关键． 【详解】解：把 代入得，， ∴， ∴， 故选：． 5．C 【分析】本题主要考查了三元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键． 设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中，且均为整数， 根据题意得，， 整理得，， ①当时，， ∴ ∵且均为整数， ∴当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； ②当时，， ∴ ∵，且均为整数， ∴当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，此次共有6种采购方案， 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了三阶幻方，涉及方程，移项等知识，弄清题意，找准数量关系是解题的关键．根据题意可得关于x、y的等式，继而进行求解即可得答案． 【详解】解：设2与x中间的数为z，由题意得： ， ∴． 故选：C． 7．D 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键． 根据矩阵定义列方程组求解即可． 【详解】解：由题意得：， ①×2+②得：， ∵为定值， ∴． 故选：D． 8．B 【分析】①计算的值，再根据题意列方程求解；②计算的值，根据题意列方程求，的值，再计算；③先求的值，再根据题意列方程求解；④根据③所求列方程组求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵的结果为关于x的三次三项式，，均为非零常数， ， ，故①正确； ， ，， ，故②正确； ， ∵多项式A与B的乘积中不含项， ∴， ，故③错误； ④ ， ， 解得：， ，故④错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多项式乘法，解三元一次方程组，因式分解，整式的加减计算，正确理解题意列出对应的方程和方程组是解题的关键． 9．8 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键． 将三个方程相加计算即可． 【详解】解：， 由①+②+③可得，解得， 故答案为：8． 10． 【分析】本题考查了三元一次方程组，代数式求值，非负数的性质：绝对值；偶次方；解决本题的关键是当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 先根据非负数的性质列出方程组，求出x、y、z的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得，解得， 故． 故答案为：． 11．13 【分析】本题主要考查了方程的应用，分类讨论思想， 先设第一名得小组有x人，第二名的小组有y人，第三名的小组有z人，可得，再根据已知得，然后从讨论，进而得出答案． 【详解】解：设期末考试第一名得小组有x人，第二名的小组有y人，第三名的小组有z人，则， 即， ∴． ∵为正整数，， ∴． 当时，， 即． ∵，且均为整数， ∴或或， ∴； 当时，， 即． ∵，且均为整数， ∴不符合题意，舍去． 随着的值的减小，的值不断增大，不符合题意． 故答案为：13． 12．3 【分析】本题主要考查了三元一次方程的应用，根据每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，可列出关于的三元一次方程，变形后，即可求出的值，找准等量关系，正确列出三元一次方程是解题的关键． 【详解】根据题意得：， ∴， 故答案为：3． 13．30 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意可得方程组，利用加减消元法可得，据此可得答案． 【详解】解：设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元， 由题意得， 得：， ∴， ∴购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需30元， 故答案为：30． 14．2 【分析】本题主要考查了三元一次不定方程，根据来简化方程是本题解题的关键． 根据均为正整数，而且，所以可以将原方程转化为三元一次方程组，然后根据是奇数，求解的值即可． 【详解】解：∵都是正整数， ∴原方程可转化为：或， ∵为奇数， ∴或， ∴共有两组正整数解． 故答案为：2． 15．2023 【分析】本题考查解二元一次方程组的拓展，把代入原方程组，化简后，利用加减消元法求解． 【详解】解：把代入原方程组，得： ， 化简，得， ，得． 故答案为：2023． 16．130 【分析】本题考查三元一次方程组，通过解方程组得到与的关系是解题的关键．将方程组两个方程相加，得到，整体替换可得，再由的取值范围即可求解． 【详解】解：， 解得：， ①②，得， ，，为三个非负实数， ，， ， ， 当时，的最大值为130， 故答案为：130． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键； （1）利用加减消元法即可解答； （2）方程①是用未知数x表示y的式子，将①代入②可得关于x、z二元一次方程组，利用加减消元法解方程组，再将x的值代入①可得y的值． 【详解】（1）解：，得④ ，得 ，得 ，得 原方程组的解为； （2）把①代入②，得．④ 由④和③组成方程组 解得 把代入①，得， 原方程组的解为 18．，， 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，有加减消元法和代入消元法两种，本题通过建立关于��，��，c的三元一次方程组，求得��、��、��的值． 【详解】解：根据题意，得 把③分别代入①和②，得，解得 ，，． 19．原来的三位数为287． 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用， 先设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z，再根据等量关系列出方程组，求出解即可. 【详解】解：设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z， 由题意，得， 解得， 答：原来的三位数为287． 20．（1）6；（2）450元． 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 学科网（北京）股份有限公司 $$