2025年北师大版数学中考复习专题训练---一元二次方程的应用

2025年北师大版数学中考复习专题训练---一元二次方程的应用 一、选择题 1．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10 C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10 2．某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为平方米的菜地，则菜地垂直于墙的一边的长为（　　） A．10米 B．14米 C．15米 D．10米或15米 3．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门，若花圃的面积刚好为，则此时花圃段的长为（　　）m． A．4或 B． C．4 D．10 4．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划安排21场比赛，则邀请的参赛队数是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 5．我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（　　） A． B． C． D． 6．古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程，即为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为，它又等于，据此可得．上述求解过程中所用的数学思想方法是（　　） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．函数方程思想 D．转化思想 7．某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是90元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元， 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 8．设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是 ，则 的值为（　　） A．2 B．0 C．-2 D．-1 二、填空题 9．某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的方程为　 　． 10．如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推，如果n层六边形点阵的总点数为331，则n等于　 　. 11．如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，设道路的宽为x米，则　 　． 12．如图所示的图形的面积为 24 ， 根据图中的条件可求得 的值为　 　 13．如图， 矩形中， 为对角线， 点E在上， ，若 ，则线段的长为　 　． 三、解答题 14．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，现商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加　　件，每件商品盈利　　元（用含x的代数式表示）； （2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 15．如图，在中，． （1）点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，的面积为？ （2）如果点P，Q分别从A，B同时出发，点P在边上沿A→B→A的路线以的速度移动，点Q在边上沿B→C→B的路线以的速度移动，且其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接，求经过几秒钟后，的面积为？ 16．网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中）． （1）直接写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围． （2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到3100元，则销售单价x应定为多少元？ （3）设每天销售该特产的利润为W元，若，求：销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 17．根据以下素材，探索完成任务． 如何改造硬纸板制作无盖纸盒？ 背景 学校手工社团小组想把一张长，宽的矩形硬纸板，制作成一个高，容积的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于（纸板的厚度忽略不计）． 方案 初始方案：将矩形硬纸板竖着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形． 改进方案：将矩形硬纸板竖着裁剪，横着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形． 问题解决 任务1 判断方案 请通过计算判断初始方案是否可行？ 任务2 改进方案 改进方案中，当时，求x的值． 任务3 探究方案 当裁剪后能制作成符合要求的纸盒时，求出y与x的等量关系，并写出y的取值范围． 18．随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2017年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2019年底，全市的汽车拥有量已达216万辆． （1）求2017年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率； （2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2021年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2020年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆． 19．综合与实践 观察与思考： 规律发现：请用含的式子填空： （1）第个图案中小圆圈的个数为____________； （2）第1个图案中小星星的个数可表示为，第2个图案中的小星星的个数可表示为，第3个图案中小星星的个数可表示为，，第个图案中小星星的个数可表示为_____________； 规律应用： （3）结合图案中小星星的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的偶数之和等于第个图案中小圆圈的个数的4倍． 20． 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体底面尺寸如图2所示． 素材2 下图是利用闲置纸板箱拆解出的以下两种纸板：长方形纸板①和长方形纸板②，其中两种纸板的宽度均为． 长方形纸板① 长方形纸板② 小琴将分别利用长方形纸板①和长方形纸板②进行制作无盖和有盖的储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②的制作方式 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． （1）【任务一：熟悉材料】若要求按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够刚好放入图2储物区域，则裁去小正方形的边长为　 　，长方形纸板宽a的值为　 　． （2）利用任务1计算所得的数据a，进行进一步探究． ①【初步应用】按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． ②【储物收纳】按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为，如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断下列玩具①机械狗；②玩具车能否分别完全放入该储物盒并合上盖子．（不考虑倾斜放入） 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】 x（x﹣1）=2×5 10．【答案】11 11．【答案】1 12．【答案】4 13．【答案】 14．【答案】（1）解：∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元． （2）解：根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， ∵商场要尽快减少库存， ∴． 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元． 15．【答案】（1）2秒或4秒 （2）2秒或8秒 16．【答案】（1）；（2）销售单价x应定为15元；（3）当时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元． 17．【答案】任务1：初始方案是不可行；任务2：x的值为4；任务3：； 18．【答案】（1）该市汽车拥有量的年平均增长率为20%． （2）该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆． 19．【答案】（1）；（2）；（3）． 20．【答案】（1）5cm；50cm （2）解：①设裁去小正方形边长为， 解得：（舍去）， ∴储物盒的容积； ②设裁去小长方形长为，宽为， ， 则， ∵， ∴ 解得：（舍去）， ∴， 则 即裁去小长方形长为，宽为， ∴制作储物盒长为，高为，宽为 ①∵， ∴机械狗能完全放入； ②∵， ∴玩具车不能完全放入． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$