精品解析：黑龙江省大庆市实验中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

大庆实验中学实验一部2023级高二上学期期末考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点与直线的位置关系即可求解. 【详解】因为是直线和的公共点， 所以，且， 所以两点和都在同一条直线上， 故直线方程是. 故选：A. 2. 六氟化硫，化学式为，常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体）.如图所示，在正八面体中，是的重心，记，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算求解即可. 【详解】易知，设中点为， 则， 所以， 故选：D. 3. 已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于任意的都有，可知：数列单调递减，可得，再分类讨论即可得出. 【详解】因为对于任意都有， 所以数列单调递减，可得， 当时，若，单调递减， 而时，单调递减，只需，解得， 当时，若，单调递增，不符合题意， 综上: 实数的取值范围为, 故选：C 4. 已知函数，则（ ）． A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意先求出，所以，对原函数求导，求解出即可. 【详解】由题意得，且， 从而. 故选：A. 5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据结合等差数列性质可得，进而可得，，即可得结果. 【详解】设等差数列的公差为d， 因为，即， 又因为，可得，即， 则，即， 所以. 故选：B. 6. Taylor定理是微分学的重要定理，是英国著名数学家布鲁克・泰勒于1712年在一封信中首次提出，其核心思想是用函数在某个点的导数值作为系数构建一个多项式来近似表达函数，设函数的导函数为的导函数为，则函数可用Taylor定理近似表达为，若函数可用Taylor定理近似表达为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用复合函数求导规则计算，后代值计算即可. 【详解】易得，由题知，故， 所以，故． 故选：D. 7. 若圆为双曲线的“伴随圆”，过的左焦点与右支上一点，作直线交“伴随圆”于，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在焦点三角形中构造中位线，利用已知条件中的线段的比例关系设出，再利用勾股定理即可得到的关系式，就可求得离心率. 【详解】设双曲线的右焦点为，连接， 过作于，则， 因为，，所以， 因为，所以，即为线段的中点， 因为为的中点，所以， 所以，， 设， 则，，， 所以， 在中，由勾股定理可得， 即，解得， 所以，， 在中，由勾股定理得， 即，解得，所以. 故选：C. 8. 设等差数列的前项和为，公差为，且满足，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 使得成立的最小自然数是 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用条件得出数列正负项的分界，结合等差数列的性质，求和公式可得答案. 【详解】因为，，所以且. 对于A，，A正确； 对于B，，, 所以使得成立的最小自然数是，B正确； 对于C，因为，， 所以，因为，所以，即，C正确； 对于D，由B可知，所以， 假设成立，则,即， 整理得，而，矛盾，所以不成立，D不正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数的定义域为，导函数为，且满足，，则下列结论一定成立的是（ ） A. 方程有唯一实数根 B. 在区间上单调递增 C. D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据题中条件得到，利用导数得到单调性和最值可判断AB，设，利用导数证不等式，可判断C，，利用基本不等式可得可判断D. 【详解】设，则， 故（为常数），故， 又，故，得， 故，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，故A错误，B正确. 设，， 当时，，当时，， 故，故C正确， 当时，，故D错误， 故选：BC 10. 已知圆，直线与交于两点，点为弦的中点，，则（ ） A. 弦有最小值为 B. 有最小值为 C. 面积的最大值为 D. 的最大值为9 【答案】BCD 【解析】 【分析】易得直线过定点，根据点为弦的中点时，最小，即可判断A；根据点为弦的中点，可得，进而可得出点的轨迹是以为直径的圆，即可判断B；要使面积取得最大值，只要点到直线的距离最大即可，进而可判断C；设，联立，利用韦达定理求出，进而可求出的坐标，再根据数量积的坐标公式结合基本不等式即可判断D. 【详解】圆的圆心，半径， 直线过定点， 因为，所以点在圆内， 所以直线与圆一定相交， 当点为弦的中点时，有最小值， 此时直线的斜率不存在，而直线的斜率一定存在， 所以，故A错误； 因为点为弦的中点，所以，即， 所以点的轨迹是以为直径的圆(去除），圆心为，半径为， 所以轨迹方程为， 因为，所以点在圆外， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，， 要使面积取得最大值，只要点到直线的距离最大即可， 直线的方程为，即， 圆心到直线距离， 所以点到直线的距离最大值为， 所以面积的最大值为，故C正确； 对于D，设， 联立，得， 则，故， 所以点的坐标为， 则， 当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，取等号， 综上所述的最大值为9，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法： （1）直接法：根据题设条件直接列出方程； （2）定义法：根据圆的定义写出方程； （3）几何法：利用圆的性质列方程； （4）代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 11. 已知数列的前项和为，（，且），若，，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列中的最小项为12 C. 数列的前项和为 D. 若，恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据递推关系式以及与的关系求得的通项公式，可判断；对B，列出的关系式，结合对勾函数的性质即可判断；对C，利用分组求和、并项求和的方法即可求出判断；对D，判断的单调性，进而可得的最大值即可判断. 【详解】对A，依题意， ， ，. 也满足上式， ，，数列为等差数列，故A正确； 对B，， 当时递增，当时递减， 当时，， 当时，，最小值为．故B错误； 对C，而， .故C正确； 对D，考查数列，因为 ， 故随的增大而减小，即当时取最大值， 为，故， 故若，恒成立，则，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知在区间有变号零点，结合变号零点与给定区间的关系求解即可. 【详解】由题意知， 因为在区间上不单调，即在区间有变号零点，又，所以，，， 所以在区间内， 所以，解得，即m的取值范围是. 故答案为：. 13. 如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C相切于点，过点P且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】由椭圆的光学性质得到直线平分，可得，然后算出答案即可. 【详解】因为直线与椭圆C相切于点，所以，解得， 由椭圆C的方程为，所以,, 由椭圆的定义可知：， 由椭圆的光学性质得到直线平分，可得. 故答案为：. 14. 唐代诗人罗隐在《咏蜂》 中写道：不论平地与山尖，无限风光尽被占．采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜？蜜蜂是最令人敬佩的建筑专家，蜂巢的结构十分的精密，其中的蜂房均为正六棱柱状．如图是蜂房的一部分，一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂从出发爬到号蜂房的方法数，则下列说法正确的是_____.（写出所有正确说法的序号） ① ② ③ ④ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据递推关系可得，即可代入验证①，③，④，结合，相减即可判断②错误. 【详解】依题意可知，该蜜蜂爬到1号蜂房的方法数为，2号蜂房的方法数为， 3号蜂房的方法数为，4号蜂房的方法数为，5号蜂房的方法数为，…， 号蜂房的方法数为. 依次对赋值，可得，， ，故①正确； 因，则，两式相减可得：， 故有，故②错误； 因，故③正确； ，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列递推公式的性质运用，属于难题. 关键在于根据特值代入，归纳得到，进而变形计算，或赋值代入即可解决问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）当时，求过点且与函数图象相切的直线方程； （2）当时，讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）设函数在点的切线过点，可得切线方程为，可得，求解可得切线方程； （2）求导得，分，，三种情况讨论可得单调区间. 【小问1详解】 当时，，求导可得， 设函数在点的切线过点，所以， 又， 所以， 又因为切线过点，所以， 所以，解得， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 由， 可得， 当时，由，可得或， 所以函数在和上单调递增， 由，可得，所以函数在上单调递减， 当时，由，可得，所以函数在上单调递增， 当时，由，可得或，所以函数在和上单调递增， 由，可得，所以函数在上单调递减， 综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增， 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 16. 已知数列为公差不为的等差数列，其前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设数列是以为首项，为公比的等比数列，若数列和的公共项为，记从小到大构成数列，求的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式结合条件求出，然后代入等差数列的通项公式即可； （2）令，得，然后分类讨论求和即可得； （3）首先根据题意得到，再利用分组求和求解即可 【小问1详解】 设首项为，公差为d，因， 则 解得或（舍）. 则； 【小问2详解】 由时，令， 当时，， 则此时； 当时，， 则 综上， 【小问3详解】 由题意得，， 因为，所以，即， 因此， 所以. 17. 已知数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，是否存在正整数，（），使得成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，， 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义求解； （2）由等比中项的定义列式，结合，且，求解. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 整理得，， 是以为首项，为公比的等比数列. . 【小问2详解】 由题意得，， 若成等比数列，则， 即，可得， 所以，解得， 又，且，所以，此时． 故存在，，使得成等比数列． 18. 已知是首项为的等差数列，其前项和为，，为等比数列，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意求出、的值，根据等差数列和等比数列的通项公式即可求得数列和的通项公式； （2）求得，然后对分偶数和奇数两种情况讨论，结合等差数列的求和公式可求得的表达式； （3）求出数列的通项公式，分析数列的单调性，可求出数列最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，因为，，解得， 所以，. 设的公比为，因为，， 解得，所以，. 【小问2详解】 因为， 当为偶数时， ． 当奇数时，． 所以， 【小问3详解】 因为，． 令， 则， 当时，，即， 当时，，即， 所以，数列的最大项为， 因为恒成立，所以，，即实数的取值范围为． 19. 已知动圆过点，且与直线相切于点，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点作曲线的两条切线分别与曲线相切于点，与轴分别交于两点.记，，的面积分别为、、． （i）证明：四边形为平行四边形； （ii）证明：成等比数列. 【答案】（1） （2）（i）设，，因为，所以， ∴直线的方程为：，即，令，得到， 同理可得直线的方程为：，令，得到， ∴，，联立， 消解得， 所以， 又，∴， 所以四边形为平行四边形； （ii）由（ⅰ）知直线的方程为， 又，所以，即， 同理可知直线的方程为，又因为在直线，上， 设，则有， 所以直线的方程为：，故直线过点， ∵四边形为平行四边形，∴，， ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴ ， 即， 故成等比数列． 【解析】 【分析】（1）设出圆心，利用条件建立方程，再化简即可得出结果； （2）（ⅰ）设出两条切线方程，从而求出的坐标，再利用向量的加法法则即可得出证明； （ⅱ）利用（ⅰ）中条件，找出边角间的关系，再利用面积公式即可求出结果. 【小问1详解】 设圆心，由题意得：， 化简整理得：，所以曲线的方程为：． 小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 【点睛】关键点点睛：（2）中的第（ⅰ）问，关键在于利用向量来证明，从而将问题转化成求出点的坐标，将几何问题代数化；第（ⅱ）问的关键在于求出直线恒过定点，再利用几何关系，求出相似比. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆实验中学实验一部2023级高二上学期期末考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 六氟化硫，化学式为，常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体）.如图所示，在正八面体中，是的重心，记，，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ）． A. 2 B. 1 C. 0 D. 5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 6. Taylor定理是微分学的重要定理，是英国著名数学家布鲁克・泰勒于1712年在一封信中首次提出，其核心思想是用函数在某个点的导数值作为系数构建一个多项式来近似表达函数，设函数的导函数为的导函数为，则函数可用Taylor定理近似表达为，若函数可用Taylor定理近似表达为，则（ ） A. B. C. D. 7. 若圆为双曲线的“伴随圆”，过的左焦点与右支上一点，作直线交“伴随圆”于，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设等差数列的前项和为，公差为，且满足，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 使得成立的最小自然数是 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数的定义域为，导函数为，且满足，，则下列结论一定成立的是（ ） A. 方程有唯一实数根 B. 在区间上单调递增 C. D. 若，则 10. 已知圆，直线与交于两点，点为弦的中点，，则（ ） A. 弦有最小值为 B. 有最小值为 C. 面积的最大值为 D. 的最大值为9 11. 已知数列的前项和为，（，且），若，，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列中的最小项为12 C. 数列的前项和为 D. 若，恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是______________. 13. 如图所示，由圆锥曲线的光学性质知道：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射（即经椭圆在该点处的切线反射）后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C相切于点，过点P且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则_______________． 14. 唐代诗人罗隐在《咏蜂》 中写道：不论平地与山尖，无限风光尽被占．采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜？蜜蜂是最令人敬佩的建筑专家，蜂巢的结构十分的精密，其中的蜂房均为正六棱柱状．如图是蜂房的一部分，一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂从出发爬到号蜂房的方法数，则下列说法正确的是_____.（写出所有正确说法的序号） ① ② ③ ④ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）当时，求过点且与函数图象相切的直线方程； （2）当时，讨论函数的单调性. 16. 已知数列为公差不为的等差数列，其前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设数列是以为首项，为公比的等比数列，若数列和的公共项为，记从小到大构成数列，求的前项和. 17. 已知数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，是否存在正整数，（），使得成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知是首项为的等差数列，其前项和为，，为等比数列，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知动圆过点，且与直线相切于点，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点作曲线的两条切线分别与曲线相切于点，与轴分别交于两点.记，，的面积分别为、、． （i）证明：四边形为平行四边形； （ii）证明：成等比数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $