解直角三角形的实际应用（4）其它类型—2024-2025学年浙教版数学九年级下册知识点训练

解直角三角形的实际应用（4）其它类型—2024-2025学年浙教版数学九年级下册知识点训练 阅卷人 一、基础夯实 得分 1．图1是一种落地晾衣架，晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，和分别是两根不同长度的支撑杆，其中两支脚，展开角，晾衣臂，则支樟杆的端点离地面的高度为（　　） A． B． C． D． 2．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=，∠ADC=，则竹竿AB与AD的长度之比为 A． B． C． D． 3．如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为a，则两梯脚之间的距离BC为（　　） A．4cos a B．4sin a C．4tan a D． 4．桔槔俗称“吊杆”、“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，．当点位于最高点时，．此时，点到地面的距离为（　　） 图1 图2 A．米 B．5米 C．米 D．米 5．如图钓鱼竿长8m，露在水面上的鱼线长，钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿逆时针转动15°到的位置，此时露在水面上的鱼线长度是（　　） A．3m B． C．4m D． 6．已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架AC＝80cm，BC＝60cm，AB，DO均与地面平行，支架AC与BC之间的夹角∠ACB＝90°． （1）求两轮轮轴A，B之间的距离； （2）若OF的长度为60cm，∠FOD＝120°，求点F到AB所在直线的距离．（结果精确到0.1）（参考数据：≈1.414，≈1.732） 7． 如图1是某住户窗户上方安装的遮阳篷，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．其中是垂直于墙面的遮阳篷，表示窗户，表示直角遮阳篷．如图2，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角．（参考数据：） （1）如图3，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长． （2）如图2，要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到） 阅卷人 二、能力提升 得分 8．如图1是装满液体的高脚杯示意图，测量发现点到地面的距离为，若用去一部分液体后，液面下降的高度恰好等于此时的液面EF，则（　　） A．9 B．8 C．6. D．5 9．如图，图①是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图②是其示意图．支撑杆垂直于地面，活动杆固定在支撑杆上的点A处．若，厘米，厘米，则活动杆端点离地面的高度为（　　） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 10．如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄滚轮连杆AB，，，连杆AB与底座BC的夹角为60°，则该椭圆机的机身高度（点D到地面的距离）为（　　） A． B． C． D． 11．贴春联是中国传统习俗，晓红老家有个圆形拱门，每年都会贴上长长的春联，看上去非常喜庆晓红用圆弧近似模拟拱门，经测量发现，的拱高和其所对的弦都是，所对的圆心角是，弦与春联的底端平齐，点正好是春联外侧最高点，则春联的外侧长度大约是　 　参考数据，结果按四舍五入法精确到 12．新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源，综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车。如图1是某新能源汽车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示(单位：cm)，且AC=BD，AF//BE，sin∠BAF=0.8，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B'，D'，E'的位置，气簧活塞杆CD随之伸长CD'.已知直线BE⊥B'E'，CD'=CD.则CD=　 　cm 13．如图 1 是一款重型订书机，其结构示意图如图 2 所示.其主体部分为矩形 EFGH，由支撑杆 CD 垂直固定于底座 AB 上，且可以绕点 D 旋转.压杆 MN 与伸缩片 PG 连接，点 M 在HG 上，MN 可绕点 M 旋转，PG⊥HG ，DF＝8 cm，GF=2cm，不使用时，EFAB，G 是 PF 中点，且点 D 在 NM 的延长线上，则 MG=　 　 cm，使用时如图3，按压 MN 使得 MNAB，此时点 F 落在 AB 上，若 CD＝2 cm，则压杆 MN 到底座 AB 的距离为 　 　 cm 14．如图是一种手机三脚架，它通过改变锁扣C在主轴AB上的位置调节三脚架的高度，其它支架长度固定不变，已知支脚DE=AB．底座CD⊥AB，BG⊥AB，且CD=BG，F是DE上的固定点，且EF：DF=2：3． （1）当点B，G，E三点在同一直线上（如图1所示）时，测得tan∠BED=2；设BC=5a，则FG=　 　(用含a的代数式表示)； （2）在(1)的条件下，若将点C向下移动24cm，则点B，G，F三点在同一直线上（如图2），此时点A离地面的高度是　 　cm． 15．如图1是一种建筑行业用的小型吊机实物图，图2、图3是吊机的示意图，支架AB=150cm，吊杆 AM=200cm，∠ACB＝90°，∠BAC＝37°. （1）如图 2，若AM⊥AB，求点 M到直线 BC的距离； （2）如图3，当液压杆 DE 伸长时，此时点 M 比(1)中的点 M到直线BC 的距离升高了21cm， 求∠MAB的度数.（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin45°≈0.7） 16．小南用一把可调节大小的活动扳手拧一枚正六边形螺丝帽（如图1），其横截面示意图如图2所示．已知活动扳手的钳口，正六边形螺丝帽的两个顶点分别在上，mm，． （1）连接，求； （2）在图2的基础上，调节活动扳手钳口大小，使得与直线重合，与直线重合（如图3），请问和之间的距离减少了多少？（结果精确到1mm，参考数据：） 阅卷人 三、拓展创新 得分 17．根据以下素材，探索完成任务． 项目背景：太阳能是绿色能源，为了更好的推广太阳能，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究． 素 材 一 将电池板的侧面摆放情况抽象成如图所示的数学示意图，其中第一排电池板位置固定，第二排位置待确定，每块电池板与坡面夹角固定不变，，所在的直线垂直于水平线，坡面，，，， 参考数据： ，， 素 材 二 上午太阳光线与水平线的夹角范围为，为阴影长，为了使得太阳能电池板有充足的阳光照射，点H要落在阴影外面． 问题解决 任 务 一 计算角度 当等于时，______． 任 务 二 探究影长 求在斜坡上的阴影的取值范围（精确到）． 任 务 三 方案选择（选择其中的一种方案进行研究） 方案一：若在该斜坡上安装3排的电池板，每一排之间的间距相同，在充分利用斜坡的情况下，电池板之间的最大间距为多少（精确到）． 方案二：若在该斜坡上安装2排电池板，电池板与坡面夹角保持不变，那么原来长的电池板最大可以定制多长（精确到）． 18．学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象如图，我们把称为折射率其中代表入射角，代表折射角． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块，但不在细管所在直线上，图是实验的示意图，四边形为矩形，点，，在同一直线上，测得，． （1）求入射角的度数． （2）若，求光线从空气射入水中的折射率参考数据：，， 19．城市雕塑“摇橹人”位于吉林市吉林大街南端的江城广场，雕塑人物以几乎倾斜倒地的姿势，用尽全身力气来摆动船橹，代表着吉林人民在湍流江水之中奋力拼搏的精神.某校数学活动小组要测量“摇橹人”的高度，张明同学带领小组成员进行此项实践活动，活动步棸记录如下： 【步骤一】设计测量方案：小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量. 【步骤二】准备测量工具：皮尺和自制测高仪.其中测高仪（如图②）为正方形木板，在顶点处用细线挂一个铅锤. 【步骤三】实地测量并记录数据：如图③，令测高仪上的顶点，与“摇橹人”最高点在同一条直线上.通过测量得到，，，. 【步骤四】计算“摇橹人”高度.（结果精确到0.1m）（参考数据：，，） 现在，请你结合图③和相关数据完成【步骤四】. 20．一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A'B'C'D'装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE＝α，如图所示）． 探究：如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②． （1）解决问题：CQ与BE的位置关系是　 　，BQ的长是　 　dm，α＝　 　°（注：sin49°＝cos41°，tan37°） （2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液＝底面积SBCQ×高AB） （3）在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．图3或图4是其正面示意图，若液面与棱C'C或CB交于点P、点Q始终在棱BB'上，设PC＝x，BQ＝y，分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】（1）解：∵支架AC与BC之间的夹角（∠ACB）为90°， ∴AB＝＝＝100（cm）， 即两轮轮轴A，B之间的距离为100cm； （2）解：过C点作CH⊥AB于H，过F点作FG⊥DO延长线与G，则扶手F到AB所在直线的距离为FG+CH， ∵OF的长度为60cm，∠FOD＝120°，∴∠FOG＝180°﹣120°＝60°， ∵∠G＝90°，∴∠F＝30°，∴OG＝OF＝30， ∴FG＝30， 由（1）知AB＝100，AC＝80，BC＝60， ∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CH， 即×100×CH＝×60×80，解得CH＝48， ∴FG+CH＝48+30≈48+30×1.732≈100.0cm， 即扶手F到AB所在直线的距离为100.0cm． 7．【答案】（1）解：如图3，在中， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为； （2）解：如图2，在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴遮阳篷的长为． 8．【答案】C 9．【答案】B 10．【答案】D 11．【答案】1.9 12．【答案】45 13．【答案】4； 14．【答案】（1） （2）（19+19） 15．【答案】（1）如图2中，过点 M 作 MF⊥BC，垂足为 F，过点A 作 AG⊥MF，垂足为 G. ∵∠ACB=90°，∴四边形ACFG是矩形. ∴AC=GF，∠CAG=90°. 在Rt△ACB中，AC=AB·cos∠BAC≈150×0.8=120(cm)， ∴AC=GF≈120 cm. ∵AM⊥AB， ∴∠MAB=90°. ∴∠MAG=∠BAC=37°. 在Rt△AMG中，MG=AM·sin37°≈200×0.6=120(cm)， ∴MF=MG+GF≈240 cm. （2）如图3 中，过点 M作MP⊥BC，垂足为 P，过点 A 作AN⊥MP，垂足为 N. ∵∠ACB=90°， ∴四边形ACPN是矩形. ∴AC=NP，∠CAN=90°. ∴∠BAN=∠CAN-∠CAB=90°-37°=53°. 在 Rt△ACB中，AC=AB·cos∠CAB≈150×0.8=120(cm)， ∴AC=NP≈120 cm. 由题意，得 MP=240+21=261(cm). ∴MN=MP-NP≈261-120=141(cm). 在Rt△MAN中， =∠MAN+∠BAN≈53°+45°=98°. ∴∠MAB的度数约为98°. 16．【答案】（1）解：螺丝帽是正六边形 每个内角为 ； （2）解：如图2，过点E作EJ⊥CD于点J，如图3，连接EI，过点L作LK⊥EI于K， 由（1）知， mm，螺丝帽是正六边形 为等边三角形 mm mm mm 如图3，螺丝帽是正六边形 ，EL=LI=10mm， ∵ mm mm 和之间的距离减少了mm． 17．【答案】任务一：； 任务二：作于点，延长交于点， ①当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ②当时， 同理可得：， ∴； 任务三：方案二：如图，设新电池板的长度， 过点作水平线的垂线，交于点，则 ∵在任意时刻均不能落在内， ∴最大，即当时，最大， 同任务二可得：， ∵电池板与坡度保持不变，， ， ∴，即， 解得， 由题意得：， 解得， 答：原来长的电池板最大可以定制约为 18．【答案】（1）解：如图：过点作，垂足为， ∵ 四边形为矩形， ∴∠GBF=∠BFD=90°. ∴四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， 入射角的度数为； （2）解： ，， ， 在中，， ， ， 由得：， ， 折射率， 光线从空气射入水中的折射率约为． 19．【答案】解：根据题意可知： 在中，， ， ， . 答：“摇橹人”的高度约为16.5m. 20．【答案】（1）CQ∥BE；3；37° （2）解：V液＝×3×4×4＝24（dm3）； （3）解：当容器向左旋转时，0°≤α≤37°， ∵液体体积不变， ∴（x+y）×4×4＝24， ∴y＝﹣x+3． 当容器向右旋转时，37°＜α≤53°， ∵液体体积不变， ∴×y×（4﹣x）×4＝24， ∴y＝； 当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点B'重合时，如图5， ∵BB'＝4，且PB•BB'×4＝24， ∴PB＝3， ∴tan∠PB'B＝， ∴∠PB'B＝37°． ∴α＝∠B'PB＝53°． 此时37°≤α≤53°； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$