精品解析：贵州省黔西南州金成实验学校2024-2025学年高二上学期期末检测数学试题

秘密★启用前 2024—2025学年度第一学期0116期末质量检测试题 高二年级数学 答卷注意事项： 答卷注意事项： 1．学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题． 2．填涂答题卡必须使用2B铅笔填涂． 3．答题时字迹要清楚、工整 4．本卷共19小题，总分为150分． 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设点，，.若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 求直线被圆截得的弦的长为（ ） A. B. C. D. 4. 中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作直指算法统宗，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得　　 A. 78石 B. 76石 C. 75石 D. 74石 5. 已知函数在处有极大值，则c的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. -2 6. 在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短是（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值（ ） A. B. C. D. 8. 19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于函数，下列结论正确的（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若恒成立，则 10. 某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为，求点M的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率之积为”拓展为“斜率之积为常数”之后，进行了如图所示的作图探究： 参考该同学的探究，下列结论正确的有：（ ） A. 时，点M的轨迹为椭圆(不含与x轴的交点) B. 时，点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆(不含与x轴的交点) C. 时，点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(不含与x轴的交点) D. 时，点M的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(不含与x轴的交点) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程可以为___________(写出一个正确答案即可)；此时，你所写的方程对应的双曲线的离心率为___________. 12. 已知函数的导函数为，且满足，则___． 13. 已知数列的前n项和为，若，求______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最大值与最小值. 15. 证明不等式： （1），； （2）． 16. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，底面为棱上一点． （1）求证：无论点在棱的任何位置，都有成立； （2）若为中点，求二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使平面？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由． 18. 已知双曲线C：的左右焦点分别为，，右顶点为，点，，． （1）求双曲线的方程； （2）直线经过点，且与双曲线相交于，两点，若的面积为，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 2024—2025学年度第一学期0116期末质量检测试题 高二年级数学 答卷注意事项： 答卷注意事项： 1．学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题． 2．填涂答题卡必须使用2B铅笔填涂． 3．答题时字迹要清楚、工整 4．本卷共19小题，总分为150分． 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设点，，.若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的相等求解即可. 【详解】设，则， 而，则有， 所以. 故选：B 2. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 3. 求直线被圆截得的弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得线段的长. 【详解】将圆的方程化为标准式，可得， 所以圆心坐标为，半径为， 所以利用点到直线的距离可以求得弦心距为， 所以根据几何法得弦长为． 故选：A. 4. 中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作直指算法统宗，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得　　 A. 78石 B. 76石 C. 75石 D. 74石 【答案】A 【解析】 【分析】由只知道甲比丙多分三十六石，求出公差，再由等差数列的前n项和的，能求出甲应该分得78石，得到答案． 【详解】由题意，今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列， 只知道甲比丙多分三十六石，所以， 所以，解得石． 甲应该分得78石． 故选A． 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和基本量的运算，其中解答中熟记等差数列的性质和前n项和，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 5. 已知函数在处有极大值，则c的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】求导，令求出或2，检验后得到. 【详解】， 且函数在处有极大值， 故，即，解得或2． 当时，，令得，或， 令得，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，不符合题意，应舍去； 当时，，令得或， 令得，， 故在上单调递增，在上单调递减， 满足在处取得极大值，满足要求. 故． 故选：B 6. 在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设，进而根据点到直线的距离并结合二次函数最值求解即可. 【详解】根据题意设， 所以点到直线的距离为：， 当且仅当时等号成立，此时， 所以点到直线的最短距离为. 故选：B. 7. 设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得曲线在处的切线斜率表达式，再由垂直关系计算可得. 【详解】由可得， 所以在点处的切线斜率为， 又因为切线与直线垂直，即可得， 因此． 故选：A 8. 19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得椭圆的蒙日圆方程为，进而得该圆与已知圆相切，再根据圆的位置关系求解即可. 【详解】解：根据题意，椭圆的蒙日圆方程为， 因为圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上， 所以该圆与已知圆相切， 又两圆圆心间距离为， 所以或（无解，舍去），解得 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于函数，下列结论正确的（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得，得到的单调区间，可判定A正确；根据的单调性，结合当时，，当时，，画出的图象，可判定B错误；根据的单调性，得到，结合，可判定C正确；转化为在恒成立，令，求得，得到函数的单调性与，可判定D正确. 【详解】由函数，可得， 令，解得， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，所以A正确； 当时，，当时，， 则函数的图象，如图所示， 所以函数有且仅有一个零点，所以B错误； 由函数的图象，可得， 因为，所以，所以C正确； 若在恒成立，则在恒成立， 令，可得， 当时，；当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以，所以D正确. 故选：ACD. 10. 某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为，求点M的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率之积为”拓展为“斜率之积为常数”之后，进行了如图所示的作图探究： 参考该同学的探究，下列结论正确的有：（ ） A. 时，点M的轨迹为椭圆(不含与x轴的交点) B. 时，点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆(不含与x轴的交点) C. 时，点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(不含与x轴的交点) D. 时，点M的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(不含与x轴的交点) 【答案】BCD 【解析】 【分析】 首先设，由，整理可得（），再根据各个选项中的取值范围，结合椭圆和双曲线的标准方程，进行分析判断即可得解. 【详解】设，， 整理可得（）， 对A，若，点M的轨迹为圆(不含与x轴的交点)，故A错误； 对B，若，由（），则，故B正确； 对C，若，由（），则，故C正确； 对D，，（），，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程可以为___________(写出一个正确答案即可)；此时，你所写的方程对应的双曲线的离心率为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线方程，可写出双曲线的方程，进而求得离心率. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 所以双曲线的方程为，故可取， 此时， 所以离心率 故答案为：， 12. 已知函数的导函数为，且满足，则___． 【答案】 【解析】 【分析】对给定等式两边求导，令，解方程作答. 【详解】依题意，对两边求导得：， 当时，，解得， 所以. 故答案为：－1 13. 已知数列的前n项和为，若，求______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用公式化简即可得出数列为等比数列．即可求出答案． 【详解】当时：， 当时： ， 所以数列为以为首项，2为公比等比数列． 所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）求得，得到，得到切线的斜率为，结合导数的几何意义，即可求解； （2）由（1）知，得出函数的单调性，进而求得函数的最值. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 则，即切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 解：由（1）知， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此为的极小值点，也是最小值点， 又由，其中， 所以在上的最小值为，最大值为. 15. 证明不等式： （1），； （2）． 【答案】（1）证明：设，，则． 令，得． 当时，，从而在内单调递增； 当时，，从而在内单调递减． 所以当时，在区间上取最大值． 所以，所以，，． （2）证明：设，则．令，得． 当时，，函数在区间上单调递增； 当时，，函数在区间上单调递减． 所以当时，取最小值． 所以，所以，． 【解析】 【分析】（1）构造函数，求导，结合函数单调性即可求解， （2）构造函数，求导，结合函数单调性即可求解， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和公式列方程组求解即可. （2）根据错位相减法及等比数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为，则前项和为. 所以，即， 解得，，所以. 因此数列的通项公式为. 【小问2详解】 . ， ， 所以 ， 即， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面为棱上一点． （1）求证：无论点在棱的任何位置，都有成立； （2）若为中点，求二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使平面？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）答案见解析． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明，结合可证明平面，再由平面即可求证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，平面的法向量为，由空间向量的夹角公式计算即可求解； （3）由可得，只需，即可得，由线面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）因为底面底面， 所以． 又， 故平面． 又，平面， 所以无论点在棱的任何位置，都有成立． （2）如图建立空间直角坐标系 设平面的法向量为 则，令，得，所以， 又因为， 所以平面 所以平面的法向量为 ， 经观察二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为 （3）当时，平面AEC． 证明如下：设， 因为，且， 所以，所以 又平面，平面 所以平面． 所以，当时，平面． 18. 已知双曲线C：的左右焦点分别为，，右顶点为，点，，． （1）求双曲线的方程； （2）直线经过点，且与双曲线相交于，两点，若的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由题意可得：，，，解得，，，即可得出双曲线的方程． （2），设直线的方程为，，，联立直线的方程与双曲线的方程化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系可得，利用的面积，解得，即可得出直线的方程． 【小问1详解】 解：由题意可得：，，， 解得，，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 解：由题意可知，直线的斜率不为0， 设：，设，， 联立，消，得， 由，解得，则. 所以， 所以的面积， 由，整理得， 解得，， 所以直线的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $