第27章 相似 单元测试2024-2025学年人教版数学九年级下册

第27章 单元检测 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 一、选择题（共10小题） 1．（2023秋•衡阳期末）若，则等于　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•蚌埠期末）下列各组线段中是成比例线段的是　　 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．（2023秋•亭湖区校级期末）已知线段，，如果线段是线段、的比例中项，那么　　 A． B．3 C．4.5 D．5 4．（2024春•栖霞市期末）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•安阳期末）下面几对图形中，相似的是　　 A． B． C． D． 6．（2024春•巨野县期末）下列两个图形一定相似的是　　 A．任意两个等边三角形 B．任意两个直角三角形 C．任意两个等腰三角形 D．两个等腰梯形 7．（2023秋•滑县期末）已知△，相似比是，则与△的面积比是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•碑林区校级期末）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是　　 A． B． C． D． 9．（2024•罗湖区校级模拟）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是　　 A． B． C． D． 10．（2024春•三台县期末）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点．已知点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到、、、、、，若点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 二、填空题（共10小题） 11．（2024•朝阳区校级开学）若，则的值为 　　． 12．（2024•铜官区开学）如图中，点表示的数是　　．线段与线段的最简整数比是　　． 13．（2024春•高新区校级月考）如图，小正方形的边长都为1，则图形中的阴影三角形相似的序号为 　　． 14．（2024春•肇源县月考）把一个长，宽的长方形按放大，放大后的长方形的面积是 　　． 15．（2024•武威一模）已知两个相似多边形的周长比为，它们的面积和为100，则较小多边形的面积是 　　． 16．（2023秋•六安期末）如图，在中，连接，点是上一点，，连接交于点，若，则四边形的面积是 　　． 17．（2024•二道区校级模拟）如图，小树在路灯的照射下形成树影．若树高米，树影米，树与路灯的水平距离米，则路灯的高度为 　　米． 18．（2023•金水区校级开学）如图所示，在正方形网格中，图①经过　　变换可以得到图②；图③是由图②绕点　　（填“”“ ”或“” 顺时针旋转　　度得到的． 19．（2024•越秀区二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为．点、、在轴上，若正方形的边长为6，则点坐标为 　　． 20．（2024•绥化模拟）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿着向点匀速运动，同时点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过 　　秒后，与相似． 三、解答题（共10小题） 21．（2024春•临淄区期末）已知，，，为四个不为0的数． （1）如果，求与的值； （2）如果，求证； （3）如果，求证． 22．（2024春•海淀区校级期中）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中就应用了黄金分割数．设，，求下面的值： （1）直接写出和的值：　　，　　； （2）求的值． 23．（2024•虹口区三模）已知：如图，在平行四边形中，、分别是边，上的点，且，、分别交与点和点，，．求： （1）的值； （2）线段的长． 24．（2023秋•庐阳区校级期末）如图，，，，，，求、的长． 25．（2024•鼓楼区校级模拟）如图，在中，点，分别是边，上的点，．求证：． 26．（2024•珠晖区一模）如图，在△中，为边上一点，． （1）求证：△△； （2）若，，求的长． 27．（2024•温州模拟）如图，在的方格纸中，已知格点与格点，请按要求画与相似的格点三角形（顶点均在格点上），要求图1与图2所画的三角形不全等． （1）在图1中画，使点，均落在的边上． （2）在图2中画，使点在的内部（不包括边上，且与组成一幅轴对称的图形． 28．（2024•甘谷县三模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图1中，先在上画点，使得，再在上画点，使得； （2）先将线段绕点逆时针旋转得到线段，画出线段，再在上画一点，使的值最小． 29．（2024•淮北校级二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点线段和格点（格点为网格线的交点）． （1）以点为位似中心，利用网格将线段放大2倍得到线段，画出线段； （2）以线段为边画格点平行四边形． 30．（2024春•淮南月考）如图，以某点为位似中心，将进行位似变换得到，记与对应边的比为，求位似中心的坐标和的值． 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【分析】直接利用已知得出，进而代入原式求出答案． 【解答】解：， ， 则． 故选：． 2．【答案】 【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论． 【解答】解：， 选项不成比例； ， 选项成比例； ， 选项不成比例； ， 选项不成比例 故选：． 3．【答案】 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项，注意线段不能为负． 【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 则， 解得（线段是正数，负值舍去）， 所以． 故选：． 4．【答案】 【分析】根据黄金分割的定义得到，然后把的长度代入可求出的长，即可求出的长度． 【解答】解：为的黄金分割点， ， 的长度为， ， ． 故选：． 5．【答案】 【分析】根据形状相同对应角相等、对应边成比例的图形为相似图形，对各组图形逐一进行分析，即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：选项为相似图形， 故选：． 6．【答案】 【分析】根据图形相似的判定判断，如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形相似，依次判定从而得出答案． 【解答】解：、任意两个等边三角形一定相似，故本选项正确， 、任意两个直角三角形不一定相似，故本选项错误， 、任意两个等腰三角形不一定相似，故本选项错误， 、两个等腰梯形不一定相似，故本选项错误， 故选：． 7．【答案】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得答案． 【解答】解：△，相似比是， 与△的面积比是， 故选：． 8．【答案】 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【解答】解：， ， ， 选项、根据两角对应相等判定， 选项根据两边成比例夹角相等判定， 选项中不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：． 9．【答案】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【解答】解：、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； 、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； 、阴影三角形中，的两边分别为，，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意． 故选：． 10．【答案】 【分析】根据前几个点坐标的变化得到变化规律，进而求解即可． 【解答】解：由题意得：，，，，，， 由此发现，每四个点坐标一循环， 点的坐标和坐标相同，为 故选：． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】． 【分析】根据等式的基本性质，在等式两边同时除以，即可求解， 【解答】解：当时，无意义， 当时，在等式两边同时除以得：， 故答案为：． 12．【答案】，． 【分析】根据图形求得，，于是得到线段与线段的最简整数比． 【解答】解：由图象得点表示的数是， ，， 线段与线段的最简整数比是， 故答案为：，． 13． 【分析】设各小正方形的边长为1，根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出图中的阴影三角形与已知三角形相似的选项． 【解答】解：①三边分别为：，2，，②三边分别为：1，，，③三边分别为：，，3，④三边分别为：1，，，⑤三边分别为：2，，， ， 图形中的阴影三角形相似的序号为①②． 故答案为：①②． 14．【答案】． 【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算． 【解答】解：长方形的长为、宽为， 长方形的面积， 长方形按放大， 放大后的长方形的面积是， 故答案为：． 15．【答案】20． 【分析】根据相似多边形的性质可得，两个相似多边形的面积比为，从而设设较小多边形的面积为，则较大多边形的面积为，然后根据它们的面积和为100， 列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：两个相似多边形的周长比为， 两个相似多边形的面积比为， 设较小多边形的面积为，则较大多边形的面积为， 它们的面积和为100， ， ， 较小多边形的面积是20， 故答案为：20． 16．【答案】11． 【分析】先根据平行四边形的性质得，，由得，证明得，进而得到，的面积，即可得的面积，再根据平行四边形的性质即可得解． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：11． 17．【答案】． 【分析】找出相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 18．【分析】根据平移和旋转的性质即可得结论． 【解答】解：在正方形网格中，图①经过平移变换可以得到图②； 图③是由图②绕点（填“”“ ”或“” 顺时针旋转90度得到的． 故答案为：平移，，90． 19． 【分析】先利用位似的性质得到，然后利用比例性质求出和即可得到点坐标． 【解答】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为． ， 而， ， ，， ． 故答案为 20．【答案】或． 【分析】分两种情况分别计算，①设经过秒后，得，②设经过秒后，得，代入用表示的线段计算即可． 【解答】解：①设经过秒后， ， ， 解得； ②设经过秒后， ， ， 解得， 经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 三、解答题（共10小题） 21．【答案】（1），； （2）见解析； （3）见解析． 【分析】（1）先根据已知条件得到，，再把代入中进行求解即可； （2）设，则，，再分别计算出和的值即可证明结论； （3）求出，进而可得． 【解答】（1）解：， ，， ； （2）证明：设，则，， ，， ； （3）证明：， ， ， ． 22．【答案】（1）； （2）1． 【分析】（1）根据，的值，求出和即可． （2）利用整体思想即可解决问题． 【解答】解：（1）因为，， 所以， ． 故答案为：． （2）由题知， ． 23．【分析】（1）根据，则，再利用平行四边形的性质即可得出的值； （2）利用，则，进而得出，求出即可． 【解答】解：（1）， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形，， ； （2）， ， ， ， ， ， ． 24．【分析】由平行线分线段成比例解答即可． 【解答】解：， ， ，，， ，解得， ， ， ，解得． 25．【答案】见解析． 【分析】由两个角相等可判定其相似，而题中而公共角，所以再求解一对应角相等即可，根据已知条件，即求解． 【解答】证明：，， ， 又为公共角， ． 26． 【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案． （2）根据相似三角形的性质即可求出的长度． 【解答】解：（1），， △△； （2）△△， ， ，， ． 27．【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）利用相似图形的定义确定对应点的位置即可； （2）利用相似图形的定义和轴对称图形的定义确定对应点的位置即可． 【解答】解：（1）如图，是所求作的图形； （2）如图，是所求作的图形． 28．【答案】（1）作图见解析过程； （2）作图见解析过程． 【分析】（1）利用矩形对角线互相平分的性质作出点，满足，再利用作出，使得，在上利用相同的方法（矩形对角线互相平分的性质），得到，即，连接，交于点，得到，即满足； （2）利用作出，再结合轴对称作和关于对称，连接，与的交点即为点． 【解答】解：（1）点，点如图所示，且满足； （2）线段，点，如图所示，且满足的值最小． 29．【答案】（1）作图见解析过程； （2）作图见解析过程（答案不唯一）． 【分析】（1）根据位似图形的性质画图即可； （2）根据平行四边形的定义，结合网格图即可作答． 【解答】解：（1）如图1，即为所求； （2）如图2，平行四边形即为所求（答案不唯一）． 30．【答案】，． 【分析】连接、，由位似图形的性质得为位似中心，结合题意计算即可得到答案． 【解答】解：连接、，并延长交点为， 则为位似中心，由图形知点的坐标为， ，即． 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $$