第28章锐角三角函数 单元测试2024-2025学年人教版数学九年级下册

第28章 单元检测 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 一、选择题（共10小题） 1．（2023秋•管城区期末）在中，，，，下列四个选项，正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•秦都区校级一模）在中，各边都扩大5倍，则锐角的正切函数值　　 A．不变 B．扩大5倍 C．缩小 D．不能确定 3．（2024•义乌市模拟）若是锐角，且，则　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•花山区校级期中）比较，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 5．（2024春•赣榆区校级月考）在中，，若，则的值为　　 A． B． C． D． 6．（2024•招远市模拟）若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是　　 A． B． C． D． 7．（2024•新宁县校级模拟）如图，在中，，，垂足为．如果，，那么的值是　　 A． B． C． D． 8．（2024•湖州一模）如图，小明想利用“，，”这些条件作．他先作出了和，在用圆规作时，发现点出现和两个位置，那么的长是　　 A． B． C． D． 9．（2024•海淀区校级模拟）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱高为．已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为　　 A． B． C． D． 10．（2024•青龙县模拟）如图，点为观测站，一艘巡航船位于观测站的南偏西方向的处，一艘渔船在观测站的南偏东方向处，巡航船和渔船与观测站的距离分别为45海里、60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里小时的速度前去救助，至少需要的时间是　　 A．1.5小时 B．2小时 C．2.5小时 D．4小时 二、填空题（共10小题） 11．（2024•静安区校级模拟）一个锐角的余角的正弦值与这个锐角的 　　相等．（填锐角三角比名称） 12．（2023•安徽模拟）比较大小：　　（填“”、“ ”或“” ． 13．（2024•常州一模）在中，，，则　　． 14．（2023秋•滁州期末）已知锐角满足，则　　． 15．（2023•未央区校级二模）在中，，，则的值为 　　． 16．（2024•张店区二模）如图，某厂房屋顶人字架的跨度，上弦，．小明想用科学计算器求上弦的长，若小明按键的顺序为，则由左到右第三个空白方格中应按键的符号是 　　．（请从，，中选择填写） 17．（2024•盐都区三模）图①是一台笔记本电脑实物图，如图②，当笔记本电脑的张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，当笔记本电脑的张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长约为 　　．的对应点是点，（参考数据：，，，结果精确到 18．（2024•秦都区校级一模）如图，河坝横断面迎水坡的坡度为，坝高，则的长度为 　　． 19．（2024•江岸区校级模拟）如图，某高度为16.5米的建筑物楼顶上有一避雷针，在此建筑物前方处安置了一高度为1.5米的测倾器，测得避雷针顶端的仰角为，避雷针底部的仰角为，避雷针的长度为 　　．（参考数据：，， 20．（2024春•互助县期末）如图，淇淇由地沿北偏东方向骑行至地，然后再沿北偏西方向骑行至地，则，两地之间的距离为 　　． 三、解答题（共10小题） 21．（2024春•淮南月考）已知：如图，在中，． （1）求证：； （2）若，求的值． 22．（2023秋•甘州区校级月考）计算： （1）； （2）； （3）． 23．（2023秋•扶绥县期末）观察下列等式： ①，； ②，； ③，． （1）根据上述规律，计算　 　． （2）计算：． 24．（2023秋•包河区期末）计算：． 25．（2023秋•义乌市期末）求的值． 26．（2023秋•宝丰县期末）如图，在中，，，．求的长及的正切值． 27．（2023秋•济阳区期末）如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． （1）当悬臂与桌面平行时，　　； （2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少？ （3）已知摄像头点到桌面的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：，， 28．（2024•海州区校级一模）2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．本次冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，为头部，假设，，三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离长为，． （1）求此滑雪运动员的小腿的长度； （2）求此运动员的身高．（参考数据：，， 29．（2024•虞城县校级模拟）如图，为了测量国旗台上旗杆的高度，小华在点处利用测角仪测得旗杆底部的仰角为，然后他沿着正对旗杆的方向前进到达点处，此时利用测角仪测得旗杆顶部的仰角为，已知点，，在同一水平直线上，测角仪的高为，于点，旗杆底部到地面的距离为，求旗杆的高度．（结果精确到．，，， 30．（2024•晋安区校级模拟）如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔100海里的处，此时船长接到台风预警信息，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔的北偏东方向上的避风港处． （1）问避风港处距离灯塔有多远？（结果精确到0.1海里） （2）如果轮船的航速是每小时20海里，问轮船能否在台风到来前赶到避风港处？（参 考数据：， 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【分析】先利用勾股定理计算出，然后根据三角函数的定义对各选项进行判断． 【解答】解：如图，，，， ， ，所以选项不符合题意； ，所以选项不符合题意； ，所以选项符合题意； ，所以选项不符合题意． 故选：． 2．【答案】 【分析】在中，各边都扩大5倍，其相应边长的比值不变，因此锐角的正切函数值也不会改变． 【解答】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系， 因此锐角的正切函数值不会随着边长的扩大而变化， 故选：． 3．【答案】 【分析】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），据此可得结论． 【解答】解：是锐角，且， ， 故选：． 4．【分析】根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【解答】解： 又， 故选：． 5．【答案】 【分析】根据三角函数的定义，，因而可以设，则，根据勾股定理可以求得的长，然后利用余弦的定义即可求解． 【解答】解：在中，，， 设，则， 根据勾股定理可以得到：， ． 故选：． 6．【答案】 【分析】按科学计算机的使用方法按键即可． 【解答】解：， 利用科学计算器求的度数，按键顺序为：． 故选：． 7．【答案】 【分析】根据相似三角形的判定和性质可以求得的长，然后即可求得的值． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得， ， 故选：． 8．【答案】 【分析】过点作于点，根据含角的直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质、勾股定理求出，根据线段的和差求解即可． 【解答】解：过点作于点， ，，， ， ，， ， ， 故选：． 9．【答案】 【分析】根据题意和图形，可以用含的式子表示出的长，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， 立柱根部与圭表的冬至线的距离为：， 故选：． 10．【答案】 【分析】连接，根据题意可知，根据勾股定理求出，然后根据巡航船的速度解答即可． 【解答】解：连接， 根据题意可知， 是直角三角形， （海里）， 巡航船的速度为30海里小时， （小时）， 即至少需要2.5小时． 故选：． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】余弦值． 【分析】根据直角三角形的性质得到与互余，再根据正弦呵呵余弦的定义解答即可． 【解答】解：在中，， 则，即与互余， ，， ， 一个锐角的余角的正弦值与这个锐角的余弦值相等， 故答案为：余弦值． 12．【分析】根据，即可求解． 【解答】解：，， ， ． 故答案为． 13． 【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答． 【解答】解：由知，可设，则，． ． 故答案为：． 14．【答案】35． 【分析】根据题意利用正弦余弦等值则角度互余，即可得到本题答案． 【解答】解：， ，即：， 故答案为：35． 15．【答案】． 【分析】根据题意设，，然后利用勾股定理求出，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：在中，，， ， 设，， ， ． 故答案为：． 16．【答案】． 【分析】作于点，根据等腰三角形的性质求出和，根据正弦的定义用将表示出来即可． 【解答】解：作于点． ， 是等腰三角形， ， 是的中线，也是的平分线， ，， ，， ，即， ，即． 故答案为：． 17．【答案】21． 【分析】利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再利用平角定义求出的度数，最后在△中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：， ， 在中，， ， 由题意得： ， ， ， 在△中，． 故答案为：21． 18．【答案】． 【分析】根据坡度的概念求出，根据勾股定理求出． 【解答】解：迎水坡的坡比为， ，即， 解得，， 由勾股定理得，， 故答案为：． 19． 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为， 由题意得：米，米， （米， 在中，， （米， 在中，， （米， （米， 避雷针的长度约为5米， 故答案为：5米． 20．【答案】10． 【分析】根据方向角、平行线的性质求出，再根据勾股定理求出． 【解答】解：由题意可知：，，， ， ， ， ， 故答案为：10． 三、解答题（共10小题） 21．【答案】（1）证明过程见解答； （2）． 【分析】（1）根据正弦、余弦的定义和勾股定理证明即可； （2）将两边同时平方并将左边展开，将（1）的关系式代入计算即可． 【解答】（1）证明：，， ， ， 根据勾股定理，得， ． （2）解：， ，即， ， ， ． 22．【答案】（1）； （2）0； （3）． 【分析】（1）把代入计算即可； （2）先代入特殊角三角函数值，再进行乘方运算，最后进行加减运算即可； （3）先把代入，再逐项计算后再进行加减运算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ． 23．【分析】（1）根据已知的式子可以得到，根据同角的正弦和余弦之间的关系即可求解； （2）利用（1）的结论即可直接求解． 【解答】解：（1）根据已知的式子可以得到， ； （2） ． 24．【答案】． 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【解答】解： ． 25． 【分析】分别把各角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 26．【答案】，． 【分析】先利用直角三角形的边角间关系求出，再利用勾股定理求出，最后利用直角三角形的边角间关系求出的正切值． 【解答】解：在中， ，， ． ． ． 27．【答案】（1）58； （2）悬臂端点到桌面的距离约为． （3）的度数约为． 【分析】（1）过点作直线，根据平行线的性质解答即可． （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，设与交于点，根据题意可得，，，，，，从而求出，进而求出，然后先在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，进行计算即可解答． （3）过点作，垂足为，设与交于点，则，，，，，，求得，再算出，，得出． 【解答】解：（1）过点作直线， ， ， ， ， ． 故答案为：． （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，设与交于点， 则，，，，，， ， ， 在中，， ， ， 悬臂端点到桌面的距离约为． （3）过点作，垂足为，设与交于点， 则，，，，，， 摄像头点到桌面的距离为， ， ， 在中，，， ， ，， 在中，， ， ． 28．【答案】（1）． （2）． 【分析】（1）在中，，，，即可得出． （2）由（1）得，，则，在中，，，解得，，根据运动员的身高为可得出答案． 【解答】解：（1）在中，，， ， 解得， 此滑雪运动员的小腿的长度为． （2）由（1）得，， ， ， ， 在中，，， ， ， ，， 运动员的身高为． 29．【答案】． 【分析】延长交于点，设 ，根据正切的定义用表示出，再根据正切的定义求出，根据题意列方程，解方程得到答案． 【解答】解：如图，延长交于点， 由题意得，，，， 则， 设 ，则， 在中，， ， ， 在中，， 由，得， 解得：， 答：旗杆的高度约为． 30．【答案】（1）处距离灯塔约70.5海里； （2）轮船能在台风到来前赶到避风港处． 【分析】（1）作，根据正弦的定义求出，根据直角三角形的性质求出； （2）根据路程速度时间与7比较即可得到结论． 【解答】解：过点作于， 在中，， （海里）， 在中，， 海里， 答：处距离灯塔约70.7海里； （2）海里， （海里）， 海里，， ， 海里， 轮船的航速是每小时20海里， ， 轮船能在台风到来前赶到避风港处． 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $$