精品解析：湖北省省直辖县级行政单位2024—2025学年八年级上学期1月期末数学试题

潜江市2024—2025学年度上学期期末质量检测 八年级数学试题 （本卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷第1页装订线内和答题卡上，并在答题卡的规定位置贴好条形码，核准姓名和准考证号． 2．选择题的答案选出后，必须使用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案必须使用0.5mm黑色墨水签字笔填写在答题卡对应的区域内，写在试卷上无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．） 1. 体育是通过肢体运动，不断挑战自我、强身健体、培养自信心和团队意识的活动．下列体育活动的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，4，9 C. 5，6，10 D. 6，7，13 3. “墙角数枝梅，凌寒独自开、遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石《梅花》．梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（ ） A. -4 B. C. 4 D. 5 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若分式有意义，则x的取值应该该满足（　　） A. x＝ B. x＝ C. x≠ D. x≠ 6. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角，在边OA、OB上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，就可以知道射线OC是的角平分线．依据的数学基本事实是（ ） A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等， B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． C. 两角分别相等且其中一组等角对边相等的两个三角形全等． D. 三边分别相等的两个三角形全等． 7. 如图，在中，，是高，若，则的长为（ ） A 16 B. 12 C. 10 D. 8 8. 若的展开式中不含的一次项，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的高，平分交于点E，过点B作，垂足为点F，并交于点G．若，则下列结论中：①；②；③；④．所有正确结论的序号是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共18分．请直接将答案填写在答题卡中，不写过程） 11. 因式分解：x2+x=_____． 12. 生活中处处有数学，起重机的底座、输电线路的支架都是采用三角形结构，这里所运用的数学原理是_____． 13. 若，则___________． 14. 正五边形和正方形位置如图所示，连接，则的度数为______． 15. 如图，是的边上的中线，若，，则的取值范围为________． 16. 小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为52，则阴影部分的面积是__________． 三、解答题（本题8个小题，满分72分．） 17. 在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上，建立如图所示平面直角坐标系，已知点A的坐标为． （1）画出与关于y轴对称的； （2）在x轴上确定点Q的位置使得与之和最小，并直接写出点Q的坐标______． 18. 先化简：，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 19. 如图，在中，平分，． （1）试判断与位置关系，并说明理由． （2）若，且，求的度数． 20. 有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题． 例：若，试比较的大小． 解：设， 则． ∵， ∴． 请利用上面的方法解答下列问题： 若，试比较的大小． 21. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”如：，，，因此4，12，20都是“神秘数”． （1）请说明28是否为“神秘数”； （2）下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由． ①嘉嘉发现：两个连续偶数和（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数 ②洪淇发现：2024是“神秘数” 22. 随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时． （1）求人工每人每小时分拣多少件； （2）若该快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，求至少需要安排多少台这样分拣机． 23. 如图1，已知，、两点同时从点出发，点沿射线运动，点沿射线运动．点为三条内角平分线交点，连接、． （1）如图2，当，求的大小． （2）在点、的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由： （3）如图3，连接并延长，与的角平分线交于点，与交于点．在中，如果有一个角是另一个角的倍，直接写出的度数． 24. 在平面直角坐标系中，点，，满足，连接． （1）直接写出的面积为_______． （2）如图，点在线段上（不与，重合）移动，，且，求的度数． （3）已知，点是轴上一动点（点在点的左边且不与点重合），在轴正半轴上取一点，连接，，，使，试探究线段，，之间的数量关系，并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潜江市2024—2025学年度上学期期末质量检测 八年级数学试题 （本卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷第1页装订线内和答题卡上，并在答题卡的规定位置贴好条形码，核准姓名和准考证号． 2．选择题的答案选出后，必须使用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案必须使用0.5mm黑色墨水签字笔填写在答题卡对应的区域内，写在试卷上无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．） 1. 体育是通过肢体运动，不断挑战自我、强身健体、培养自信心和团队意识的活动．下列体育活动的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，进行判定即可，轴对称图形的关键是找到对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选A． 2. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，4，9 C. 5，6，10 D. 6，7，13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，比较两条较短线段的长度之和与较长线段的长度的大小关系，即可得出结果． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选C． 3. “墙角数枝梅，凌寒独自开、遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的《梅花》．梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（ ） A. -4 B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意； B. ，该选项正确，符合题意； C. ，该选项错误，不符合题意； D. ，该选项错误，不符合题意． 故选：B． 5. 若分式有意义，则x的取值应该该满足（　　） A. x＝ B. x＝ C. x≠ D. x≠ 【答案】C 【解析】 【分析】由题意根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：分式有意义，则2x﹣3≠0， 解得，x≠． 故选：C． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件即分母不等于零是解题的关键． 6. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角，在边OA、OB上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，就可以知道射线OC是的角平分线．依据的数学基本事实是（ ） A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等， B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． C. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等． D. 三边分别相等的两个三角形全等． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，由三边相等得，再根据全等三角形对应角相等得出，即可判断． 【详解】解：由图可知，，又，为公共边， ， ， 射线OC是的角平分线． 因此依据的数学基本事实是：三边分别相等的两个三角形全等． 故选D． 7. 如图，在中，，是高，若，则的长为（ ） A. 16 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查含30度的直角三角形，勾股定理，根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵是高， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 8. 若的展开式中不含的一次项，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，多项式不含某项问题，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 本题先根据多项式乘多项式的运算法则求出展开式，再根据展开式中不含的一次项，该项的系数为0，然后即可求解； 【详解】解：先将展开，根据多项式乘法法则： ， ∵展开式中不含的一次项，即的一次项的系数为， ∴， 解得， 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，过点作，则：，根据轴，得到，，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵轴，， ∴， 过点作，则轴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，即：； 故选C． 10. 如图，是的高，平分交于点E，过点B作，垂足为点F，并交于点G．若，则下列结论中：①；②；③；④．所有正确结论的序号是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，余角定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． ①利用等腰直角三角形的判定和性质进行求解即可； ②根据等角的余角相等得出，利用证明即可； ③利用角平分线性质得出相等角，利用①②的结论得出相等角，然后利用等角对等边即可； ④延长交于点，证明，得出，然后利用三角形边和角的关系即可得出结论． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴； 故①正确，符合题意； ②∵，是的高， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 故②正确，符合题意； ③∵平分， ∴， 由②得， ∴， 由①得， ∴， 即， ∴， 由②得， ∴， ∵， ∴， ∴； 故③正确，符合题意； ④如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为钝角， ∴在中，， ∴； 故④正确，符合题意； 综上，正确选项为①②③④； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分．请直接将答案填写在答题卡中，不写过程） 11. 因式分解：x2+x=_____． 【答案】 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x即可． 【详解】解： 12. 生活中处处有数学，起重机的底座、输电线路的支架都是采用三角形结构，这里所运用的数学原理是_____． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用，三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形具有稳定性． 【详解】解：起重机的底座，输电线路支架都是采用三角形结构，这里所运用的数学原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 13. 若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，分式的化简等知识点，设，则，然后整体代入即可得解，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵， 设，则， ∴ ， 故答案为：． 14. 正五边形和正方形位置如图所示，连接，则的度数为______． 【答案】##9度 【解析】 【分析】首先根据正多边形的性质求出，，然后利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正多边形的性质，多边形内角和，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 15. 如图，是的边上的中线，若，，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了倍长中线，全等三角形的判定和性质，三角形三边数量关系，掌握构造三角形全等，三角形三边数量关系是解题的关键． 如图所示，延长至点，使得，则，可证，得到，在中，运用三角形三边数量关系即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至点，使得，则， ∵是的边上的中线， ∴，且， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 故答案为： ． 16. 小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为52，则阴影部分的面积是__________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，设，得到，将图形补成边长为的大正方形，利用分割法结合完全平方公式的变形式，进行求解即可． 【详解】解：设，由题意，得：， ∴， ∴， 如图，将图形补成边长为的大正方形， 则：阴影部分的面积为： ； 故答案为：24． 三、解答题（本题8个小题，满分72分．） 17. 在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上，建立如图所示平面直角坐标系，已知点A的坐标为． （1）画出与关于y轴对称的； （2）在x轴上确定点Q的位置使得与之和最小，并直接写出点Q的坐标______． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了作图-轴对称变换，作图时要先找到图形的关键点，再找对称点的对应点位置，再连接即可． （1）分别找出、、关于轴的对应点位置，再连接即可； （2）作出点关于轴的对应点，再连接、，与轴的交点即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 如图所示，点即为所求，点的坐标为， 故答案为：． 18. 先化简：，再从，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 【详解】解： ， ， ， 当时，． 19. 如图，在中，平分，． （1）试判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，且，求的度数． 【答案】（1）与平行，理由见解答 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、平行线的性质和判定，掌握平行线的性质、判定及三角形的内角和定理是解决本题的关键． （1）先说明，再说明，利用平行线的判定得结论； （2）利用平行线的性质求出，利用邻补角求出即可． 【小问1详解】 解：与平行． 理由：平分， ， 则， ， ， ． 【小问2详解】 解：． ， ， ， ， ， ． 20. 有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题． 例：若，试比较的大小． 解：设， 则． ∵， ∴． 请利用上面的方法解答下列问题： 若，试比较的大小． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，设，用含的代数式表示出，比较大小即可． 【详解】解：设，则 ， ， ∴． 21. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数平方差，那么称这个正整数为“神秘数”如：，，，因此4，12，20都是“神秘数”． （1）请说明28是否为“神秘数”； （2）下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由． ①嘉嘉发现：两个连续偶数和（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数 ②洪淇发现：2024是“神秘数” 【答案】（1）是，见解析 （2）①见解析，②见解析 【解析】 【分析】（1）判断28是否可以用两个连续偶数的平方差表示即可； （2）化简，判断化简后的式子是否为4的倍数即可；令，判断k是否是整数即可． 【小问1详解】 解：假设28是“神秘数”，则， 解得，， ， 因此假设成立， 28是“神秘数”； 小问2详解】 解：①嘉嘉的发现是真的，理由如下： ， 两个连续偶数和（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数， ②洪淇的发现是假的，理由如下： 假设2024是“神秘数”，则， 解得， k不是整数， 假设不成立， 2024不是“神秘数”． 【点睛】本题考查平方差公式的应用，解题的关键是读懂题意，理解“神秘数”的定义． 22. 随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时． （1）求人工每人每小时分拣多少件； （2）若该快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，求至少需要安排多少台这样的分拣机． 【答案】（1）人工每人每小时分拣60件 （2）至少需要安排5台这样的分拣机 【解析】 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出分式方程和一元一次不等式，是解题的关键： （1）设人工每人每小时分拣x件，根据由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时，列出方程进行求解即可； （2）设需要安排y台分拣机，根据题意，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设人工每人每小时分拣x件，则每台机器每小时分拣20x件， 根据题意得，，解得， 检验：当时，， ∴是方程的解，且符合题意， 答：人工每人每小时分拣60件． 【小问2详解】 解：设需要安排y台分拣机， 由题意，得：，解得， ∵y为正整数， ∴y的最小值为5， 答：至少需要安排5台这样的分拣机． 23. 如图1，已知，、两点同时从点出发，点沿射线运动，点沿射线运动．点为三条内角平分线交点，连接、． （1）如图2，当，求的大小． （2）在点、的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由： （3）如图3，连接并延长，与的角平分线交于点，与交于点．在中，如果有一个角是另一个角的倍，直接写出的度数． 【答案】（1） （2）不变， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，则，；再根据，，求出的角度，最后根据，即可； （2）根据题意，则，，再根据三角形的内角和，，即可； （3）设，根据题意，表示出的三个内角，分类讨论，即可． 【小问1详解】 ∵点为三条内角平分线交点 ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 不变，理由如下： ∵点为三条内角平分线交点， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵点为三条内角平分线交点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在中有一个角是另一个角的倍， ∴， ∴， 解得：， ∴； ， ∴， 解得：， ∴； ， ∴， 解得：， ∴； ， ∴， 解得：（舍去）； ∴在中有一个角是另一个角的倍时，为或． 【点睛】本题考查三角形的内角和与外角的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质． 24. 在平面直角坐标系中，点，，满足，连接． （1）直接写出的面积为_______． （2）如图，点在线段上（不与，重合）移动，，且，求的度数． （3）已知，点是轴上一动点（点在点的左边且不与点重合），在轴正半轴上取一点，连接，，，使，试探究线段，，之间的数量关系，并给出证明． 【答案】（1）； （2）； （3）或，证明见解析． 【解析】 【分析】根据可知、，从而可知，根据三角形的面积公式求出结果即可； 延长至，使得，连接，根据点、的坐标可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，根据可证，从而可证，根据可证，再根据全等三角形对应角相等可得； 根据点、、的坐标可知四边形是正方形，当在，之间时，过点作，交轴于点，连接，，根据可证，从而可证，根据可证，根据全等三角形对应边相等可证；当在左侧时，由可证，根据全等三角形对应边相等可证，从而可证，根据全等三角形对应边相等可证． 【小问1详解】 解：， ，， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ， 的面积为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 理由如下： 如图所示，延长至，使得，连接， ，， 为等腰直角三角形， ， 又， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， 又， ， ； 小问3详解】 解：或， 理由如下， ，， ， 如图所示，当在，之间时，过点作，交轴于点，连接，， ，，， ，轴，轴，，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ，， ， ， 在和中 ， ， 即； 如图所示，当在左侧时， 由可证， ， 同理可证， ， . 综上所述，线段，，之间的数量关系是或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、坐标与图形、分类讨论的思想．解决本题的关键是构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等找边之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $