第1讲 函数的图象与性质(专题微讲PPT)-【赢在微点·考前顶层设计】2025年高考数学大二轮专题复习

专题分层设计 第一篇 赢在微点 考前顶层设计 数学 专题专 函数、导数与不等式 第1讲　函数的图象与性质 专题六　函数、导数与不等式 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 备考领航/明方向 赢在微点 数学 大二轮 第一部分 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 本题考查函数的定义域与奇偶性，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，考查化归转化思想和函数方程思想．试题源于教材人A必修第一册P159复习参考题4拓广探索第12题． 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 本题以分段函数的单调性为素材，考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力．解题既要注意两段单调递增函数的性质又要注意两段定义域端点处函数值的大小关系． 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 二、考情感悟 1．函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用． 2．此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题． 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考向突破/抓重点 赢在微点 数学 大二轮 第二部分 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考向一 函数及其表示…………………………自主练习 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1．求函数定义域的策略 (1)给出式的函数的定义域是使式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可． (2)抽象函数：根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解． 2．分段函数的解题策略 对于分段函数求值或解不等式问题，一定要根据变量的取值条件进行分段讨论．利用函数性质转化时，首先判断已知分段函数的性 质，利用性质将所求问题简单化． 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考向二 函数的图象 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1．确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象． 2．函数图象的应用主要体现为数形结合，借助函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题． 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考向三 函数的性质 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时，应特别注意函数的定义域． 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 周期性与奇偶性的综合应用 周期性与奇偶性相结合的问题多为求函数值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值对应的自变量转化到已知式的区间内求解． 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 真题体验/练能力 赢在微点 数学 大二轮 第三部分 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 1 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 本部分内容讲解结束 [高考感悟] 一、考题考法 考题1　(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 解法一：因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，所以(1＋a)ln＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0，当a＝0时，f(x)＝xln，(2x－1)·(2x＋1)>0，解得x>或x<－，则其定义域为，关于原点对称．f(－x)＝(－x)ln＝(－x)·ln＝(－x)ln－1＝xln＝f(x)，故此时f(x)为偶函数．故选B. 解法二：由于f(x)的定义域为E＝，由题意得∀x∈E，f(－x)＝f(x)，即(－x＋a)ln＝(x＋a)ln，所以(－x＋a)ln＝(x＋a)ln.因为ln＋ln＝ln 1＝0，所以－x＋a＝－(x＋a)，即2a＝0，所以a＝0.故选B. 考题2　(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1,0] C．[－1,1] D．[0，＋∞) 因为函数f(x)在R上单调递增，且当x<0时，f(x)＝－x2－2ax－a，所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f(x)＝ex＋ln(x＋1)，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增．若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.综上，实数a的取值范围是[－1,0]．故选B. 1．已知函数y＝f(x)的定义域为[0,4]，则函数y＝＋(x－2)0的定义域是(　　) A．(1,5] B．(1,2)∪(2,5) C．(1,2)∪(2,3] D．(1,3] 因为函数y＝f(x)的定义域为[0,4]，又函数y＝＋(x－2)0有意义，则有解得1<x<2或2<x≤3，所以函数y＝＋(x－2)0的定义域是(1,2)∪(2,3]．故选C． 2．设函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的值为(　　) A．±2或±4 B．±2或－4 C．2或4 D．2或－4 当a>0时，f(a)＝a2＝4，解得a＝2(舍去－2)；当a≤0时，f(a)＝－a＝4，解得a＝－4.综上，a＝2或a＝－4.故选D. 3．存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有(　　) A．f(|x|)＝x3 B．f(sin x)＝x2 C．f(x2＋2x)＝|x| D．f(|x|)＝x2＋1 当x＝1时，f(|1|)＝f(1)＝1；当x＝－1时，f(|－1|)＝f(1)＝1≠－1，不符合函数定义，A错误；令x＝0，则f(sin x)＝f(0)＝0，令x＝π，则f(sin π)＝f(0)＝0≠π2，不符合函数定义，B错误；令x＝0，则f(0)＝0，令x＝－2，则f((－2)2＋2×(－2))＝f(0)＝0≠2，不符合函数定义，C错误；f(|x|)＝x2＋1＝|x|2＋1，x∈R，则|x|≥0，则存在x≥0时，f(x)＝x2＋1，符合函数定义，即存在函数f(x)＝x2＋1(x≥0)满足：对任意x∈R都有f(|x|)＝x2＋1，D正确，故选D. 4．设a>0且a≠1，若函数f(x)＝的值域是[5，＋∞)，则a的取值范围是 . (1，] 由于函数f(x)＝(a>0且a≠1)的值域是[5，＋∞)，故当x≤2时，满足f(x)＝7－x≥5.若a>1，f(x)＝3＋logax在它的定义域上为增函数，当x>2时，由f(x)＝3＋logax≥5，得logax≥2，所以loga2≥2，所以1<a≤.若0<a<1，f(x)＝3＋logax在它的定义域上为减函数，f(x)＝3＋logax<3＋loga2<3，不满足f(x)的值域是[5，＋∞)．综上可得1<a≤. 例1　(1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8,2.8]的图象大致为(　　) (排除法)由题知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，C；f(1)＝－1＋sin 1>－1＋sin＝－1＋－>0，排除D.故选B. (2)设函数f(x)＝若x1<x2<x3，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x2f(x2)的取值范围是(　　) A．　　 B.　　 C．　　 D. 根据函数f(x)＝作出图象，如图所示．因为x1<x2<x3，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，所以x2∈(0,1)，令g(x)＝xf(x)，所以g(x2)＝x2f(x2)＝x2(－x2＋1)＝－x＋x2＝－2＋， 因为x2∈(0,1)，所以g(x2)∈.故选D. 训练1　(2024·宁波十校联考)函数f(x)＝ln |x|cos的图象可能为(　　) 因为函数f(x)＝ln|x|cos＝－ln|x|sin 2x，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝－ln|－x|sin(－2x)＝ln|x|sin 2x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除选项B，D；当x∈(0,1)时，ln|x|<0，sin 2x>0，所以f(x)＝－ln|x|sin 2x>0，故排除选项C．故选A． 角度1：单调性与奇偶性 例2　(1)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2,0) C．(0,2] D．[2，＋∞) 函数y＝2x在R上是增函数，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则函数y＝x(x－a)＝2－在区间(0,1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．故选D. (2)(2024·重庆市调研)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>0时，f(x)<0.则关于x的不等式f(x2)＋f(2x)≥0的解集为(　　) A．[－2,0] B．[0,2] C．(－∞，－2]∪[0，＋∞) D．(－∞，0]∪[2，＋∞) 解法一：由题意得f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)，即f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2)，不妨令x1>x2，则x1－x2>0，所以f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在R上单调递减．在f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)中，令x1＝x2＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.令x1＝x，x2＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，所以f(x)＋f(－x)＝0，故f(x)是奇函数．由f(x2)＋f(2x)≥0，得f(x2)≥－f(2x)，即f(x2)≥f(－2x)，所以x2≤－2x，解得－2≤x≤0，即x∈[－2，0]．故选A． 解法二：因为f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以可令f(x)＝kx，又当x>0时，f(x)<0，所以k<0，所以f(x2)＋f(2x)≥0可转化为kx2＋2kx≥0，即x2＋2x≤0，解得－2≤x≤0，即x∈[－2,0]．故选A． 训练2　已知函数f(x)＝e|x|－cos x，则f，f(0)，f的大小关系为(　　) A．f(0)<f<f B．f(0)<f<f C．f<f<f(0) D．f<f(0)<f 因为f(x)＝e|x|－cos x，所以f(－x)＝e|－x|－cos(－x)＝e|x|－cos x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以f＝f.当x>0时，f(x)＝ex－cos x，则f′(x)＝ex＋sin x，所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝ex＋sin x>0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(0)<f<f，即f(0)<f<f.故选B. 角度2：奇偶性、周期性与对称性 例3　(多选题)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x＋4)＋f(－x)＝2，f(2x＋1)为偶函数，若g(x)＝－f(2－x)，则下面一定成立的是(　　) A．f(0)＝1 B．g(3)＝0 C．f(2 023)＝f(3)＝1 D．g(2 024)＝g(0)＝－1 由f(x＋4)＋f(－x)＝2，得函数f(x)关于(2,1)中心对称，且f(2)＝1.又因为f(2x＋1)为偶函数，所以f(－2x＋1)＝f(2x＋1)，令2x等价于x，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，可知函数y＝f(x)关于直线x＝1对称，再令x＋1替换x，所以f(－x)＝f(x＋2)．由f(x＋4)＋f(－x)＝2知，f(x＋4)＋f(x＋2)＝2，f(x＋2)＋f(x)＝2，所以f(x＋4)＝f(x)，即T＝4是函数y＝f(x)的周期．由f(－x＋1)＝f(x＋1)，令x＝1，则f(0)＝f(2)＝1，故A正确；因为f(2 023)＝f(3)，由已知条件无法求出f(3)＝1，故C不正确；由g(x)＝－f(2－x)，得g(3)＝－f(2－3)＝－f(－1)＝－f(3)，故B不正确；由g(x)＝－f(2－x)，得y＝f(x)与y＝g(x)关于(1,0)中心对称，所以T＝4是函数y＝g(x)的周期，g(2 024)＝g(0)＝－f(2)＝－1，故D正确． 训练3　(多选题)(2024·郑州二模)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，f(1)＝1，f(2x＋1)为偶函数，则(　　) A．f(0)＝0 B．f(x)为偶函数 C．f(2＋x)＝－f(2－x) D.f(k)＝0 令x＝y＝0，得f2(0)＝f2(0)－f2(0)＝0，所以f(0)＝0，所以选项A正确．(另解：令x＝y＝，得f(1)f(0)＝f2－f2＝0，因为f(1)＝1≠0，所以f(0)＝0)令x＝0，得f(y)f(－y)＝f2(0)－f2(y)，因为f(0)＝0，所以f(y)·f(－y)＝－f2(y)，即f(y)[f(y)＋f(－y)]＝0，因为f(y)不恒为0，所以f(y)＋f(－y)＝0，即f(x)＋f(－x)＝0，所以函数f(x)是奇函数，所以选项B错误．因为函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点对称．因为函数f(2x＋1)是偶函数，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，所以f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，即f(2＋x)＝－f(2－x)成立，所 以选项C正确，且函数f(x)是以4为周期的周期函数．因为f(0)＝0，f(1)＝1，并且函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2)＝0，又因为函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，所以f(3)＝－f(1)＝－1，因为函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(4)＝f(0)＝0，即f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1＋0＋(－1)＋0＝0，再由周期性得，f(k)＝0，所以选项D正确．综上，故选ACD. 1．(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　　) A．f(x)＝－x B．f(x)＝x C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ 解法一：(特解)取x1＝－1，x2＝0，对于A项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以A项不符合题意；对于B项有f(x1)＝，f(x2)＝1，所以B项不符合题意；对于C项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以C项不符合题意．故选D. 解法二：(优解)如图，在坐标系中分别画出A、B、C、D四个选项中函数的大致图象，即可快速直观判断D项符合题意．故选D. 2．(2023·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f(x)＝－ln x B．f(x)＝ C．f(x)＝－ D．f(x)＝3|x－1| 对A，因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，所以A不符合要求；对B，因为f(x)＝＝x在(0，＋∞)上单调递减，所以B不符合要求；对C，因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以C符合要求；对D，当0<x<1时，y＝3|x－1|＝31－x在(0,1)上单调递减，所以D不符合题意．故选C． 3．(2023·天津高考)函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．对于A，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)＝是奇函数，所以排除A；对于B，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝－＝－ f(x)，所以函数f(x)＝是奇函数，所以 排除B；对于C，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)＝是偶函数，又x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)>0恒成立，不符合题意，所以排除C；分析知，选项D符合题意，故选D. 4．(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1,1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点．则a＝(　　) A．－1 B． C．1 D．2 由题意知f(x)＝g(x)，则a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax，即cos x＝a(x2＋1)－1.令h(x)＝cos x－a(x2＋1)＋1.易知h(x)为偶函数，由题意知h(x)在(－1，1)上有唯一零点，所以h(0)＝0，即cos 0－a(0＋1)＋1＝0，得a＝2，故选D. 因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1. 5．(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝__.   $$