第3讲 专项3 最值、范围问题(专题微讲PPT)-【赢在微点·考前顶层设计】2025年高考数学大二轮专题复习

第3讲　圆锥曲线的综合问题 专题五　平面几何 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 专项3　最值、范围问题 专题五　平面几何 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 本题第(2)问，可设直线MN：x＝my＋n，联立方程，然后根据向量的数量积为零，找到m，n的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值． 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 本部分内容讲解结束 典例　(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4. (1)求p； (1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由可得y2－4py＋2p＝0，所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p，所以|AB|＝＝|yA－yB|＝×＝4，即2p2－p－6＝0，因为p>0，解得p＝2. (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值． (2)因为F(1,0)，显然直线MN的斜率不可能为零，设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由可得y2－4my－4n＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，Δ＝16m2＋16n>0⇒m2＋n>0，因为·＝0，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0， 即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0，将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入，得4m2＝n2－6n＋1，4(m2＋n)＝(n－1)2>0，所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋2或n≤3－2.设点F到直线MN的距离为d，所以d＝，|MN|＝＝|y1－y2|＝＝＝2|n－1|，所以△MFN的面积S＝×|MN|×d＝×2·|n－1|×＝(n－1)2，而n≥3＋2或n≤3－2，所以，当n＝3－2时，△MFN的面积Smin＝(2－2)2＝12－8. 类题训练1　(最值问题)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为8. (1)求椭圆C的方程； (1)设椭圆C的焦距为2c，则其离心率e＝＝，所以＝＝，即1－＝，得a＝2b，则c＝b.又椭圆C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为8，所以4×bc＝8，即bc＝4.综上，得a2＝16，b2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)若直线l：x－my－1＝0(m≠0)与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N，求△MNQ面积的最大值．   (2)易得M(1,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则N(x1，－y1)，由得关于y的二次方程(m2＋4)y2＋2my－15＝0，Δ>0，则y1＋y2＝－， y1y2＝－.S△PQN＝×|2y1|×|x2－x1|，S△PMN＝×|2y1|×|1－x1|，易知x2－x1与1－x1同号，所以S△MNQ＝S△PQN－S△PMN＝|y1|×(|x2－x1|－|1－x1|)＝|y1|×|(x2－x1)－(1－x1)|＝|y1|×|x2－1|＝|y1|×|my2|＝|my1y2|＝＝≤＝，当且仅当|m|＝，即m＝±2时等号成立．所以△MNQ面积的最大值为. 类题训练2　(范围问题)(2024·天津高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，椭圆的离心率e＝，左顶点为A，下顶点为B，O为坐标原点，C是线段OB的中点，其中S△ABC＝. (1)求椭圆方程； (1)因为e＝＝，所以a＝2c，b＝＝c，由题知A(－a,0)，B(0，－b)，C，所以S△ABC＝·|BC|·|OA|＝··a＝··2c＝，得c＝，所以a＝2，b＝3.故椭圆的方程为＋＝1. (2)过点的动直线与椭圆有两个交点P，Q，在y轴上是否存在点T使得·≤0？若存在，求出点T纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(0，t)．当直线PQ的斜率不存在时，不妨设P(0,3)，Q(0，－3)，则·＝(0,3－t)·(0，－3－t)＝t2－9≤0，解得－3≤t≤3.当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y＝kx－，由 可得(3＋4k2)x2－12kx－27＝0，所以Δ＝144k2＋4×27(3＋4k2)>0，x1＋x2＝，x1x2＝－.因为·＝(x1，y1－t)·(x2，y2－t)＝x1x2＋(y1－t)(y2－t)＝x1x2＋·＝(1＋k2)x1x2－ k(x1＋x2)＋2＝－－＋2＝＝ ≤0，所以4k2t2－36k2＋3t2＋9t－≤0对k∈R恒 成立，则有解得－3≤t≤.综上可得，－3≤t≤，即点T的纵坐标的取值范围是. $$