第3讲 专项2 定点、定值问题(专题微讲PPT)-【赢在微点·考前顶层设计】2025年高考数学大二轮专题复习

第3讲　圆锥曲线的综合问题 专题五　平面几何 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 专项2　定点、定值问题 专题五　平面几何 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 本题是“极点极线”理论中调和点列的一个性质，用中学的方法解决．一般地动线过定点问题的两大类型及解法： (1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)． (2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 证明 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 证明 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 本部分内容讲解结束 典例　(2023·全国乙卷)已知椭圆C：+＝1()的离心率为，点A(－2,0) 在C上． （1）求C的方程 （1）因为点A(－2,0) 在C上，＝1，得=4.因为椭圆的离心率,所以，又,所以,故椭圆C的方程为+＝1. （2）过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． 由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，设lPQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0，则Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)(16k2＋48k)＝－36×48k>0，故x1＋x2＝－，x1x2＝.直线AP：y＝(x＋2)，令x＝0，解得yM＝，同理得yN＝， 则yM＋yN＝2 ＝2 ＝2 ＝2 ＝2×＝6， 所以MN的中点的纵坐标为＝3，所以MN的中点为定点(0,3)． 类题训练1　(定点问题)已知椭圆C：＋y2＝1，椭圆C的上顶点为A，过点的直线l与椭圆C交于两个不同的点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.证明：以MN为直径的圆过y轴上的定点． 由题意知直线l的斜率存在，可设直线l：y＝kx＋，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得(4k2＋2)x2＋4kx－3＝0，所以x1＋x2＝，x1x2 ＝－.直线AP的方程为y＝x＋1，直线AQ的方程为y＝x＋1，可得M，N，以MN为直径的圆的方程为＋y2＝0，即x2＋y2＋x＋＝0　①.因为＝＝＝＝－6.所以在①中令x＝0得y2＝6.所以MN为直径的圆过y轴上的定点(0，±)． 类题训练2　(定值问题)(2024·郑州市质量检测)如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4(＋1)．一等轴双曲 线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上 异于顶点的任一点，且点P不在椭圆上，直线 PF1和PF2与椭圆的交点分别为A，B和C，D. (1)求椭圆和双曲线的标准方程； (1)设椭圆的半焦距为c，由题意知＝，2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2.又a2＝b2＋c2，所以b＝2.故椭圆 的标准方程为＋＝1.由题意设等轴双曲 线的标准方程为－＝1(m>0)，因为等轴 双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m＝2，因 此双曲线的标准方程为－＝1. (2)设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，证明k1·k2＝1； (2)由(1)得F1(－2,0)，F2(2,0)，设A(x1，y1)， B(x2，y2)，P(x0，y0)，则k1＝，k2＝. 因为点P在双曲线x2－y2＝4上，所以x－y＝4. 因此k1·k2＝·＝＝1，即k1·k2＝1. (3)是否存在常数λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． (3)直线PF1的方程为y＝k1(x＋2)，代入 椭圆方程得(2k＋1)x2＋8kx＋8k－8＝0，显然 2k＋1≠0，Δ>0.由根与系数的关系得x1＋x2 ＝，x1x2＝.所以|AB|＝ ＝ ＝4.同理可得|CD|＝4.则＋＝·，又k1·k2＝1，所以＋＝＝＝.故|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|.因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立． $$