第3讲 专项1 求值、证明问题(专题微讲PPT)-【赢在微点·考前顶层设计】2025年高考数学大二轮专题复习

第3讲　圆锥曲线的综合问题 专题五　平面几何 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 命|题|分|析 几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．解答题的热点题型有：1.直线与圆锥曲线的位置关系.2.圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解.3.轨迹方程及探索性问题的求解． 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 专项1　求值、证明问题 专题五　平面几何 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 求值问题一般涉及圆锥的定义、几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系．合理利用直线与圆锥曲线方程联立得到的一元二次方程的根与系数的关系，结合图象的几何特征，列出关系式进而求值．本题利用A，C，D三点共线，结合一元二次方程根与系数的关系即可求t的值． 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 本部分内容讲解结束 典例　(2024·北京高考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点(0，t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C(0,1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D. (1)求椭圆E的方程及离心率； (1)由题意可知b＝，c＝，所以a＝＝2，故椭圆E的方程为＋＝1，离心率e＝＝. (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋t(k≠0)，联立得得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－4＝0.所以Δ＝(4kt)2－4(1＋2k2)(2t2－4)>0，即4k2－t2＋2>0，由根与系数的关系得 　①.由椭圆的对称性可得D(－x2，y2)，因为A，C，D三点共线，所以kAC＝kCD，所以＝，即x1y2＋x2y1－(x1＋x2)＝0.由y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，得x1(kx2＋t)＋x2(kx1＋t)－(x1＋x2)＝0，整理得2kx1x2＋(t－1)(x1＋x2)＝0　②，所以2k·＋(t－1)·＝0，解得t＝2. 类题训练1　(求值问题)双曲线最早由门奈赫莫斯发现，后来阿波罗尼斯进行了总结和完善．在他的著作中，双曲线也被称作“超曲线”．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实半轴长为2，左、右顶点分别为A1，A2，经过点B(4,0)的直线l与C的右支分别交于M，N两点，其中点M在x轴上方，若l⊥x轴时，|MN|＝2. (1)设直线MA1，NA2的斜率分别为k1，k2，求的值； (1)由题意得解得所以双曲线C的方程为－＝1. 设MN的方程为x＝my＋4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，A1(－2,0)，A2(2,0)，联立可得(m2－2)y2＋8my＋12＝0，m2≠2，Δ＝64m2－4(m2－2)×12＝16m2＋96>0，y1＋y2＝－，y1y2＝，因为k1＝， k2＝，所以＝·＝＝＝＝＝－. (2)若∠BA2N＝2∠BA1M，求△A1MN的面积． (2)设∠BA1M＝θ，所以∠BA2N＝2θ，由＝－3，可得＝3，所以＝3，解得tan θ＝.所以A1M的方程为x＝y－2，联立可得y2－4y＝0，解得y1＝4，同理联立解得y2＝－，所以S△A1MN＝×6×|y1－y2|＝3×＝. 类题训练2　(证明问题)(2024·全国甲卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，点M在C上，且MF⊥x轴． (1)求C的方程； (1)设F′为C的左焦点，连接MF′，则|MF|＝，|FF′|＝2，在Rt△MFF′中，|MF′|＝＝＝，由椭圆的定义知2a＝|MF′|＋|MF|＝4,2c＝|FF′|＝2，所以a＝2，c＝1，又a2＝b2＋c2，所以b＝，所以椭圆C的方程＋＝1. (2)过点P(4,0)的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴． (2)证明：分析知直线AB的斜率存在．易知当直线AB的斜率为0时，AQ⊥y轴．当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝ty＋4(t≠0)，A(x1，y1)B(x2，y2)，Q(1，n)，联立方程得消去x得(3t2＋4)y2＋24ty＋36＝0，Δ>0，则y1＋y2＝，y1y2＝.因为N为线段FP的中点， F(1,0)，所以N.由N，Q，B三点共线，得kBN＝kNQ，即＝，得－y2＝n，得n＝，所以n－y1＝－y1＝－y1＝＝＝0，所以n＝y1，所以AQ⊥y轴． $$