培优微专题 4 概率问题的三大类型(专题微讲PPT)-【赢在微点·考前顶层设计】2025年高考数学大二轮专题复习

培优微专题 赢在微点 数学 大二轮 4　概率问题的三大类型 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 2 类型1　概率递推 例1　(2024·深圳中学高三二检)某不透明箱子中有8个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，3个红球和3个黄球． (1)若把所有小球拿出来按顺序排成一排，求所有不同排列方法的种数； 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 (2)若采取不放回的方式每次从箱子中随机取走一个球，直至取到红球为止，在这过程中记取到的白球数为X，求X的分布列； 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 (3)若一开始先把箱子里的黄球全部取出来，然后按以下规则每次取一个球；若取到红球，则把红球拿走并重新放入一个白球；若取到白球，则把白球拿走并重新放入一个红球．重复这个操作n(n∈N*)次后：记箱子里红球个数为Yn，求Yn的数学期望． (3)设Yn－1的分布列为 解 Yn－1 0 1 2 3 4 5 P p0 p1 p2 p3 p4 p5 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型2　极大似然估计 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 类型3　概率结合函数 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 (2)若n取无穷大，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值． 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 本部分内容讲解结束 (1)8个位置选3个位置放红球共C种选法，剩余5个位置选3个位置放黄球共C种选法．剩余2个位置放白球，因此，共有C·C＝560种排列方式． (2)X的可能取值为0,1,2，X＝0时，相当于8个小球按顺序排成排，红球前面没有白球的概率.2个白球，3个红球和3个黄球排成一排共有C·C种排列方式，红球前面没有白球共有C·C种排列方式，因此P(X＝0)＝＝，同理P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以X的分布列为 X 0 1 2 P 则p0＋p1＋p2＋p3＋p4＋p5＝1且p1＋2p2＋3p3＋4p4＋5p5＝E(Yn－1)，P(Yn＝1)＝P(Yn－1＝0)＋P(Yn－1＝2)·＝p0＋p2，同理P(Yn＝2)＝p1＋p3，P(Yn＝3)＝p2＋p4，P(Yn＝4)＝p3＋p5，P(Yn＝5)＝p4，E(Yn)＝p0＋p1＋p2＋p3＋p4＋p5＝1＋E(Yn－1)．所以E(Yn)－＝，由题意得，E(Y0)＝3，所以E(Yn)－＝n·＝·n，所以E(Yn)＝＋·n. 例2　(2024·杭州市高三二模)在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球n次，红球出现m次．假设每次摸出红球的概率为p，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率p的估计值为＝. (1)若袋中这两种颜色球的个数之比为1∶3，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为Y，则Y～B(3，p)． 注：Pp(Y＝k)表示当每次摸出红球的概率为p时，摸出红球次数为k的概率． (ⅰ)完成下表： k 0 1 2 3 P(Y＝k) P(Y＝k) (ⅱ)在统计理论中，把使得Pp(Y＝k)的取值达到最大时的p，作为p的估计值，记为，请写出的值． (1)因为Y～B(3，p)，所以p的值为或. (ⅰ)表格如下 k 0 1 2 3 P(Y＝k) P(Y＝k) (ⅱ)由题知Pp(Y＝k)＝Cpk(1－p)3－k.当Y＝0或1时，参数p＝的概率最大；当Y＝2或3时，参数p＝的概率最大．所以＝ (2)把(1)中“使得Pp(Y＝k)的取值达到最大时的p作为p的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计． 具体步骤：先对参数θ构建对数似然函数l(θ)，再对其关于参数θ求导，得到似然方程l′(θ)＝0，最后求解参数θ的估计值．已知Y～B(n，p)的参数p的对数似然函数为l(p)＝Xiln p＋(1－Xi)ln(1－p)，其中Xi＝求参数p的估计值，并且说明频率估计概率的合理性． (2)对对数似然函数进行求导，l′(p)＝Xi－(1－Xi)，因此似然方程为Xi－(1－Xi)＝0，解上面的方程，得＝Xi，因此，用最大似然估计的参数与频率估计概率的是一致的，故用频率估计概率是合理的． 例3　(2024·湖北省部分学校联考)有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头．结果，他的学生两手空空走出麦田，因为他不知前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到．假设该学生在麦田中一共会遇到n颗麦穗(假设n颗麦穗的大小均不相同)，最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦穗，现有如下策略：不摘前k(1≤k<n)颗麦穗，自第k＋1颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗．设k＝tn，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为P.(取) (1)若n＝4，k＝2，求P； (1)这4颗麦穗的位置从第1颗到第4颗排序，有A＝24种情况．要摘到那颗最大的麦穗，有以下两种情况： ①最大的麦穗是第3颗，其他的麦穗随意在哪个位置，有A＝6种情况． ②最大的麦穗是最后1颗，第二大的麦穗是第1颗或第2颗，其他的麦穗随意在哪个位置，有2A＝4种情况．故所求概率为＝. (2)记事件A表示最大的麦穗被摘到，事件Bj表示最大的麦穗在麦穗中排在第j颗．因为最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，所以P(Bj)＝.以给定所在位置的序号作为条件，P(A)＝P(A|Bj)P(Bj)＝P(A|Bj)．当1≤j≤k时，最大的麦穗在前k颗麦穗之中，不会被摘到，此时P(A|Bj)＝0.当k＋1≤j≤n时，最大的麦穗被摘到，当且仅当前j－1颗麦 穗中的最大的一颗在前k颗麦穗中时，此时P(A|Bj)＝.由全概率公式知P(A)＝＝＝ln.令函数g(x)＝ln(x>0)，g′(x)＝ln－，令g′(x)＝0，则x＝，当x∈时，g′(x)>0，当x∈时，g′(x)<0，所以g(x)在上单调递增，在上单调递减．所以g(x)max＝g＝.所以当k＝，P(A)＝ln时取得最大值，最大值为，此时t＝，即P的最大值为，此时t的值为. $$