第4讲 统计、成对数据的统计分析(专题微讲PPT)-【赢在微点·考前顶层设计】2025年高考数学大二轮专题复习

专题分层设计 第一篇 赢在微点 考前顶层设计 数学 专题四 概率与统计 第4讲　统计、成对数据的统计分析 专题四　概率与统计 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 备考领航/明方向 赢在微点 数学 大二轮 第一部分 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 5 亩产量 [900， 950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) [1 050， 1 100) [1 100， 1 150) [1 150， 1 200] 频数 6 12 18 30 24 10 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 根据表中数据，下列结论中正确的是(　　) A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 本题以人教A版必修第二册9.2.3总体集中趋势的估计为载体，参照P206例5命制．高考题与教材中的题目虽然题型不同，但本质相同，解题的关键是掌握数据分析．数据分析要求能够理解数据分析在大数据时代的重要性；能够理解数据蕴含着信息，可以通过对信息的加工，得到数据所提供的知识和规律，并用概率或统计的语言予以表达． 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 二、考情感悟 高考对本讲内容的考查往往以实际问题为背景，考查随机抽样与用样本估计总体、经验回归方程的求解与运用、独立性检验问题，常与概率综合考查． 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 2．独立性检验的方法 (1)提出零假设为H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释． (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较． (3)根据检验规则得出推断结论． (4)在X和Y不独立的情况下．根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律． 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考向突破/抓重点 赢在微点 数学 大二轮 第二部分 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考向一 用样本估计总体 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 因为频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，所以10×0.005＋10×0.03＋10a＋10×0.015＝1，解得a＝0.05.因为前两个小矩形的面积和为10×0.005＋10×0.03 ＝0.35，前三个小矩形的面积和为10× 0.005＋10×0.03＋10×0.05＝0.85， 这组样本数据的75%分位数为x, 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 75%＝0.75,0.35<0.75<0.85，所以x∈(80,90)，由百分位数的定义可 得，0.35＋0.05(x－80)＝0.75，解得x＝88，故这组样本数据的75%分位数为88.众数是最高的小矩形的底边中点的横坐 标，故众数y＝85.故选D. 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 (2)为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小 时，方差为1，抽取高中生1 200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为(　　) A．0.96 B．0.94 C．0.79 D．0.75 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 训练1　(1)(2024·兰州诊断考试)某校为了提高学生的安全意识，组织高一年级全体学生进行安全知识竞赛答题活动，随机抽取8人的得分作为样本．分数从低到高依次为84,85,87,87,90，a，b,99，若这组数据的第75百分位数为94，则利用样本估计此次竞赛的平均分为(　　) A．85 B．86 C．90 D．95 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考向二 回归分析 例2　某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树 木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均值 根部横截 面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 a b c 0.07 0.06 材积量yi 0.25 0.41 0.22 0.54 0.53 0.34 0.35 0.39 0.43 0.44 0.39 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 (1)由a，b，c为等差数列，得2b＝a＋c，由表格得该树木根部横截面积的平均值为0.06，可得a＋b＋c＝0.06×10－(0.04＋0.06＋0.04＋0.08＋0.08＋0.05＋0.07)＝0.18，故3b＝0.18，解得b＝0.06. 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 (2)若选取前6个样本号对应数据，判断这种树木的根部横截面积与材积量是否具有很强的线性相关性，并求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的经验回归方程(若0.25≤|r|≤0.75，则认为两个变量的线性相关性一般；若|r|>0.75，则认为两个变量的线性相关性很强)； 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 广告费 支出x 1 2 4 6 11 13 19 销售量y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考向三 独立性检验 例3　(2024·长沙市适应考试)某厂为了考察设备更新后的产品优质率，质检部门根据有放回简单随机抽样得到的样本测试数据，制作了如下列联表：       (1)依据小概率值α＝0.050的独立性检验，分析设备更新后能否提高产品优质率；   优质品 非优质品 更新前 24 16 更新后 48 12 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 训练3　(2024·上海高考)为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29 000名学生中随机抽取580人，得到日均体育锻炼时长(单位：小时)与学业成绩的数据如表所示：       (1)该地区29 000名学生中日均体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？ 学业 成绩 日均体育锻炼时长/小时 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5] 优秀 5 44 42 3 1 不优秀 134 147 137 40 27 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼时长(精确到0.1小时)． 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 (3)对数据重新组合，得到2×2列联表 解 学业成绩 日均体育锻炼时长/小时 [1,2) 其他 合计 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 真题体验/练能力 赢在微点 数学 大二轮 第三部分 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 1．(2024·天津高考)下列图中，线性相关系数最大的是(　　) 选项A中的散点有明显的从左下角到右上角沿直线分布的趋势，且散点集中在一条直线的附近，故选项A中的线性相关系数最大，故选A． 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 2．(多选题)(2023·新课标Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　) A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差   考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 3．(多选题)(2021·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1,2，…，n)，c为非零常数，则(　　) A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解析 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 4．(2024·全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：   优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 (1)填写如下列联表： 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？   优级品 非优级品 甲车间     乙车间     考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 (1)填写如下列联表： 则完整的2×2列联表如下： 解   优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30   优级品 非优级品 总计 甲车间 26 24 50 乙车间 70 30 100 总计 96 54 150 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 解 考前顶层设计 数学 第 ‹#› 页 微在字里 赢在行间 本部分内容讲解结束 [高考感悟] 一、考题考法 考题　(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表：     对于A，因为前3组的频率之和0.06＋0.12＋0.18＝0.36<0.5，前4组的频率之和0.36＋0.30＝0.66>0.5，所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为[1 050,1 100)，故A不正确；对于B,100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例为×100%＝66%，故B不正确；对于C，因为1 200－900＝300,1 150－950＝200，所以100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间，故C正确；对于D,100块稻田亩产量的平均值为×(925×6＋975×12＋1 025×18＋1 075×30＋1 125×24＋1 175×10)＝ 1 067(kg)，故D不正确．综上所述，故选C． [主干提炼] 一、统计 1．统计中的四个数字特征 (1)众数：样本数据中，出现次数最多的那个数据． (2)中位数：样本数据中，将数据按大小顺序排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数． (3)平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)． (4)方差与标准差． s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]， s＝. 2．直方图的两个结论 (1)小长方形的面积＝组距×＝频率． (2)各小长方形的面积之和等于1. 3．百分位数 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 二、成对数据的统计分析 1．回归分析 (1)样本相关系数：，主要用于成对样本数据的显著性检验，以衡量它们之间的线性相关程度．当r>0时，表示两个变量正相关；当r<0时，表示两个变量负相关．|r|越接近1，表明成对样本数据的线性相关程度越强；|r|越接近0，表明成对样本数据的线性相关程度越弱． (2)经验回归方程 ＝x＋，其中，，(，)称为样本点的中心． (3)决定系数：，R2越大，说明残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，说明残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．在线性回归模型中，R2表示解释变量对于响应变量变化的贡献率．R2越接近1，表示拟合的效果越好． 例1　(1)(2024·重庆市调研抽测)2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱．某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生的成绩，制成频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的 75%分位数为x，众数为y，则(　　) A．x＝88，y＝90 B．x＝83，y＝90 C．x＝83，y＝85 D．x＝88，y＝85 初中生人数m＝800，每天睡眠时间的平均数＝9，方差s＝1；高中生人数n＝1 200，每天睡眠时间的平均数＝8，方差s＝0.5.总的样本平均数a＝＝8.4.总的样本方差s2＝＝0.94.故选B. (1)频率分布直方图中常见问题及解题策略：①已知频率分布直方图中的部分数据求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与总体的关系，利用频率和等于1就可以求出其他数据；②已知频率分布直方图，求某个范围内的数据．可利用图形与该范围结合求解． (2)方差的计算一般根据方差的定义求解，按比例分配的分层随机抽样的方差计算，按公式s2＝{m[s＋(－)2]＋n[s＋(－)2]}计算较简单． 因为8×75%＝6，所以这组数据的第75百分位数为＝94，得a＋b＝188，所以这组数据的平均数为＝90，故选C． (2)(2024·东北四市联合体)为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生35人，女生25人．根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为s，s，该班成绩的方差为s2，则下列结论中一定正确的是(　　) A．s2＝ B．s2≥ C．s2＝ D．s2≥ 设该班的男生组成绩的平均值为，女生组成绩的平均值为，该班成绩的平均值为.因为男生组成绩和女生组成绩的方差分别为s，s，该班成绩的方差为s2，且男生有35人，女生有25人，所以s2＝≥＝，故选D. 其中a，b，c为等差数列，并计算得：xiyi＝0.146，≈0.044，≈0.303. (1)求b的值； (2)由已知得＝×(0.04＋0.06＋0.04＋0.08＋0.08＋0.05)≈0.058， ＝×(0.25＋0.41＋0.22＋0.54＋0.53＋0.34)≈0.382，样本相关系数r＝ ≈0.98>0.75，故这种树木的根部横截面积与材积量具有很强的线性相关性．所以≈6.75，＝－≈－0.009 5，所以该林区这种树木的根部横截面积与材积量的经验回归方程为＝6.75x－0.009 5. (3)根据经验回归方程估计a，c的值(精确到0.01)． 附：样本相关系数， 经验回归方程＝x＋中，.＝－. (3)由表格数据可得，根部横截面积为a，c时对应的材积量分别为0.35,0.43，代入经验回归方程分别得0.35＝6.75a－0.009 5，0.43＝6.75c－0.009 5，解得a≈0.05，c≈0.07. 求经验回归方程的解题模型 第一步：确认数据是否全部知道，如果全部已知可以直接利用公式求解，如果数据未全部已知，要特别注意题目所给的参考公式和数据， ＝－. 第二步：分别计算平均数，；计算xi与yi的积，求xiyi； 计算x；计算过程需要认真耐心对待，力求百分百正确． 训练2　某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出xi(万元)与年度销售量yi(万台)的数据，如表所示： 其中xiyi＝279.4，x＝708. (1)若用回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的经验回归方程； (1)由题意可得：＝＝8，＝＝4.2，所以＝＝＝0.17，＝－＝4.2－0.17×8＝2.84，y关于x的经验回归方程＝0.17x＋2.84. (2)若用y＝c＋d模型拟合得到的回归方程为＝1.63＋0.99，经计算回归模型及该模型的R2分别为0.75和0.88，请根据R2的数值选择更好的回归模型拟合y与x的关系，进而计算出年度广告费x为何值时，利润＝200y－x的预报值最大？ 参考公式： ＝－. (2)因为0.75<0.88，R2越大拟合效果越好，选用回归方程＝1.63＋0.99更好，＝200(1.63＋0.99)－x＝－x＋198＋326＝－(－99)2＋10 127，当＝99，即x＝9 801时，利润的预报值最大． (1)零假设为H0：设备更新与产品的优质率独立，即设备更新后不能提高产品优质率． 由题中列联表可得χ2＝≈4.762>3.841，依据小概率值α＝0.050的独立性检验，我们可以推断H0不成立，因此可以认为设备更新后能提高产品优质率． (2)如果以这次测试中设备更新后的优质品频率作为更新后产品的优质率．质检部门再次从设备更新后的生产线中抽出5件产品进行核查，核查方案为：若这5件产品中至少有3件是优质品，则认为设备更新成功，提高了优质率；否则认为设备更新失败． ①求经核查认定设备更新失败的概率p； ②根据p的大小解释核查方案是否合理． 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. (2)根据题意，设备更新后产品的优质率为0.8.可以认为从更新后的生产线中抽出的5件产品是否为优质品是相互独立的． ①设X表示这5件产品中优质品的件数，则X～B(5,0.8)，可得p＝P(X≤2)＝C×0.25＋C×0.8×0.24＋C×0.82×0.23＝0.057 92. ②实际上设备更新后提高了优质率．当这5件产品中的优质品件数不超过2时，认为更新失败，此时作出了错误的判断，由于作出错误判断的概率很小，则核查方案是合理的． 独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据列2×2列联表． (2)根据公式χ2＝，计算χ2的值． (3)查表比较χ2与临界值的大小关系，作统计判断．χ2越大，对应假设事件H0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H0不成立的概率越大． (1)抽取的样本中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数为42＋3＋1＋137＋40＋27＝250.设该地区29 000名学生中有x人的日均体育锻炼时长不小于1小时，则＝，解得x＝12 500.故该地区29 000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数约为12 500. (2)依题意得，该地区初中学生日均体育锻炼时长为(0.25×139＋0.75×191＋1.25×179＋1.75×43＋2.25×28)÷580＝540÷580≈0.9. 所以该地区初中学生日均体育锻炼时长约为0.9小时． (3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d，P(χ2≥3.841)≈0.05. 零假设H0：学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关．确定显著性水平α＝0.05，P(χ2≥3.841)≈0.05，χ2＝≈3.976>3.841，H0不成立，所以有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关． 取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为＝，故A，C均不正确；根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确．综上，选BD. 对于A，新、旧样本数据的样本平均数的差为c，且c≠0，故A错误；对于B，新、旧样本数据的样本中位数的差为c，且c≠0，故B错误；对于C，易知两组样本数据的样本标准差相同，故C正确；对于D，设旧样本数据中的最大数据为a，最小数据为b，则旧样本数据的样本极差为a－b，新样本数据的样本极差为(a＋c)－(b＋c)＝a－b，所以两组样本数据的样本极差相同，故D正确．故选CD. χ2＝＝4.687 5.因为χ2＝4.687 5>3.841，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；因为χ2＝4.687 5<6.635，所以没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异． (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果>p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(≈12.247) 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. P(χ2≥k) 0.050　0.010 　0.001 k 3.841　6.635　10.828 (2)由题意可知＝＝0.64，又p＋1.65＝0.5＋1.65×≈0.5＋1.65×≈0.57，所以>p＋1.65，所以能认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了． $$