2.4 圆的方程 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 §2.1 直线的倾斜角与斜率 §2.2 直线的方程 §2.3 直线的交点坐标与距离公式 §2.4 圆的方程 §2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 索引 选择性必修 第一册 1 2.4.1 圆的标准方程 我们知道，圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了。 在平面直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为( a , b )，半径为r，M( x , y )为圆上任意一点，则⊙A可以用集合表示成 根据两点间距离公式 y x r A • • M 两边同时平方 该方程就是圆心为A( a , b )，半径为r的圆的标准方程 索引 §2.4 圆的方程 2 判断一点与圆的位置关系：设在平面直角坐标系中有一点P( x0 , y0 )，有一圆心为A( a , b )，半径为r的圆。 （1）点在圆上： （2）点在圆内： （3）点在圆外： 索引 §2.4 圆的方程 3 例1 已知圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是(　　) A.(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B.(x＋2)2＋(y－3)2＝13 C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52 A 解析　设两端点分别为(a，0)和(0，b)， 则a＋0＝2×2，0＋b＝2×(－3)， 即a＝4，b＝－6， 索引 §2.4 圆的方程 例2 设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为_______________________. (x－1)2＋(y＋1)2＝5 解析　法一　设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， ∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 索引 §2.4 圆的方程 法二　设A(3，0)，B(0，1)，⊙M的半径为r， ∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5， ∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 索引 §2.4 圆的方程 例3 已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为____________________. (x＋3)2＋(y＋1)2＝1 解析　到两直线3x－4y＝0，3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为 3x－4y＋5＝0， 又两平行线间的距离为2， 所以圆M的半径为1， 从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1. 索引 §2.4 圆的方程 2.4.2 圆的一般方程 一般地，圆的标准方程( x - a )2+( y - b )2= r2 将其展开可得 一般我们把它写成 的形式 该方程我们称为圆的一般方程。 反之，我们可以用将圆的一般方程通过配方法的形式转化为圆的标准方程。 索引 §2.4 圆的方程 8 （1）当 时，可以看出该方程是以 为圆心， 为半径的圆； （2）当 时，该方程只是表示点 ； （3）当 时，方程无实数解，不表示任何图形。 索引 §2.4 圆的方程 9 求圆的方程常用的方法：待定系数法 （1）根据题意，选择标准方程或者一般方程； （2）根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； （3）解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程。 索引 §2.4 圆的方程 10 索引 §2.4 圆的方程 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： （1）直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； （2）定义法，根据圆、直线等定义列方程； （3）几何法，利用圆的几何性质列方程； （4）代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式。 索引 §2.4 圆的方程 12 与圆有关的轨迹问题 例4 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程. 解　（1）法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在， 所以kAC·kBC＝－1. 化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0). 索引 §2.4 圆的方程 法二　设AB的中点为D， 由中点坐标公式得D(1，0)， 由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)， 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0). 索引 §2.4 圆的方程 解　（2）设M(x，y)，C(x0，y0)， 因为B(3，0)，M是线段BC的中点， 所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)， 将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1. 因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0). 索引 §2.4 圆的方程 D 所以x2＋(y＋2)2＝2(x2＋y2)， 所以x2＋(y－2)2＝8为点M的轨迹方程. 索引 §2.4 圆的方程 例6.下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的内部的是(　　) A.(0，2) B.(3，3) C.(－2，2) D.(4，2) A 解析　由(0－1)2＋(2＋2)2<25知(0，2)在圆内； 由(3－1)2＋(3＋2)2>25知(3，3)在圆外； 由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2，2)在圆上， 由(4－1)2＋(2＋2)2＝25知(4，2)在圆上. 索引 §2.4 圆的方程 例7.圆C：x2＋y2－2x－3＝0关于直线l：y＝x对称的圆的方程为(　　) A.x2＋y2－2y－3＝0 B.x2＋y2－2y－15＝0 C.x2＋y2＋2y－3＝0 D.x2＋y2＋2y－15＝0 A 解析　由题意，得圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为(1，0)，半径为2. 故其关于直线l：y＝x对称的圆的圆心为(0，1)，半径为2， 故对称圆的方程为x2＋(y－1)2＝4， 即x2＋y2－2y－3＝0. 索引 §2.4 圆的方程 C 解析　设△ABC的外接圆M的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 所以△ABC的外接圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0， 即(x－1)2＋(y－3)2＝5. 索引 §2.4 圆的方程 因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)， 所以圆M不关于直线x＋y＝0对称. 因为(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5， 故点(2，3)在圆M内. 索引 §2.4 圆的方程 例9.设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(　　) A.6 B.25 C.26 D.36 D 解析　(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到(5，－4)的距离的平方， ∵P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点， ∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为圆心(2，0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方， 索引 §2.4 圆的方程 Thank you！ 索引 第二章 直线和圆的方程 22 方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13. ∴直径为＝2，即半径为， 则解得 联立解得所以M(1，－1)， 则kAB＝＝－，AB的中点坐标为， ∴AB的垂直平分线方程为y－＝3，即3x－y－4＝0. 联立解得 几种特殊位置的圆的方程 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0 又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1， 由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2. 由中点坐标公式得x＝，y＝， 所以＝， 例5在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－2)，若动点M满足＝，则点M的轨迹方程是(　　) A.x2＋(y＋2)2＝2 B.x2＋(y－2)2＝2 C.x2＋(y＋2)2＝8 D.x2＋(y－2)2＝8 解析　设M(x，y)，因为＝，A(0，－2)， 例8.已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆M的说法错误的是(　　) A.圆M的圆心坐标为(1，3) B.圆M的半径为 C.圆M关于直线x＋y＝0对称 D.点(2，3)在圆M内 则解得 故圆M的圆心坐标为(1，3)，圆M的半径为， 即[(x－5)2＋(y＋4)2]max＝[＋1]2＝36. $$