精品解析：湖北省云学名校联盟2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

2024～2025学年度云学名校联盟高二年级期末考试 数学试卷 考试时间：2025年1月16日15:00-17:00 时长：120分钟 试卷满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与直线相互垂直，则实数a的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 0 2. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含 3. 为了推动国家乡村振兴战略，某地积极响应，不断自主创新，培育了某种树苗，其成活率为0.8，现采用随机模拟的方法估计该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率.先由计算机产生1到5之间取整数值的随机数，指定1至4的数字代表成活，5代表不成活，再以每3个随机数为一组代表3次种植的结果.经计算机随机模拟产生如下20组随机数：.据此估计，该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率为（ ） A. 0.45 B. 0.5 C. 0.512 D. 0.55 4. 已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的横坐标为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. 63 B. 32 C. 31 D. 15 6. 在空间直角坐标系中，有，，三点，则点C到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，直线，若直线l被圆C截得的弦长的最大值为a，最小值为b，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，椭圆，双曲线与，与有共同的焦点，，它们在第一象限的交点为P，且，若的离心率，则的离心率（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 柜子里有2双不同的鞋，从中随机地一次性取出2只，记事件A＝“取出的鞋恰好成一双鞋”，事件B＝“取出的鞋都是一只脚的”，事件C＝“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列说法正确的是（ ） A. 该试验的样本空间共有6个样本点 B. 事件A与事件C互为对立事件 C. D. 事件B与事件C相互独立 10. 如图，在四面体中，设，，，下列条件能证明是（ ） A. B. ，， C. ， D ， 11. 若等差数列的前n项和为，首项为，公差为d，设，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则当且仅当时，有最大值 B. 若，则当且仅当时，数列的前n项和有最大值 C. 若，则的取值范围为 D. 若函数对称轴方程为，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前n项和为，满足，，则__________. 13. 如图，两条异面直线m，n所成的角为，在直线m，n上分别取点A，M和B，N，使且.已知，，，则线段的长为__________. 14. 已知双曲线两个焦点分别为，（在上方），A，B都在双曲线C的下支上，是正三角形，点到直线的距离为，则双曲线C的实轴长的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的短轴长为2，且过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 16. 甲、乙两名同学组成“梦队”与AI人工智能进行比赛.每轮比赛均由甲、乙分别与AI挑战一次，已知甲每次挑战成功的概率为，乙每次挑战成功的概率为.在每轮比赛中，甲和乙成功与否互不影响，各轮结果也互不影响.“梦队”在两轮比赛中挑战成功4次的概率为. （1）求P值； （2）求“梦队”在两轮比赛中，挑战成功至少2次的概率. 17. 在四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，M是的中点，底面为矩形，且侧面底面，与平面所成角的正切值为. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知数列的前n项和为，且，，. （1）求和的值，再猜想数列的通项公式，并证明； （2）求数列的前n项和； （3）若数列满足，求数列的前n项和. 19. 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. （1）若圆是直线族的包络曲线，求的取值范围； （2）对于给定的实数，若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围（用表示）和直线族的包络曲线； （3）在（2）的条件下，过曲线上任意两点A，B分别作曲线的切线，，其交点为P.已知点，探究是否总成立？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网列组卷网 2024~2025学年度云学名校联盟高二年级期末考试 数学试卷 考试时间：2025年1月16日15：00-17：00时长：120分钟 试卷满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1,已知直线：x-y-1=0与直线，：x+aw-2=0相互垂直，则实数a的值是() A.1 B.-1 C.2 D.0 【答案】A 【解析】 【分析】根据两条直线垂直的结论即可求解. 【详解】因为直线：x-y-1=0与直线4：x+w-2=0 相互垂直， ×1-1×a=0 a=1 所以 ，解得 故选：A. 2.圆C:x+y2=1与圆C,x-3)+y=4的位置关系是() A.相交 B.内切 C.外切 D.内含 【答案】C 【解析】 【分析】求出两圆圆心距，结合圆与圆的位置关系可得出结论 【详解】圆C:r+y=l的圆心C(0,0),半径为1=1， 圆C2:x-3+y=4的圆心C2(3,0),半径2=2， 两圆的圆心距为lCC=B-0=3,所以CC=+5=3,所以两圆的位置关系为外切. 故选：C 3.为了推动国家乡村振兴战略，某地积极响应，不断自主创新，培育了某种树苗，其成活率为0.8，现采 第1页/共22页 6学科网列组卷网 用随机模拟的方法估计该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率.先由计算机产生1到5之间取整数值的随机 数，指定1至4的数字代表成活，5代表不成活，再以每3个随机数为一组代表3次种植的结果.经计算机 随机模拟产生如下20组随机数： 321,453,142,234,511,454,352,115,243,535,422,134,315,221,451,144,332,254,112,523 据此估计，该 树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率为() A.0.45 B.0.5 C.0.512 D.0.55 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意利用古典概型求解概率即可. 321,453,142,234,511,454,352 【详解】由题意得共有20组随机数，分别为 115,243,535,422,134,315,221,451,144,332,254,112,523 321,142,234,243,422,134,221,144,332,112 恰好3棵都成活的随机数有： 共10个， 10 =0.5 故估计种植3棵恰好3棵都成活的概率为：20 ,故B正确. 故选：B 4.已知AB是过抛物线广=4x的焦点的弦，若AB=8,则AB中点的横坐标为() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的焦点弦长公式，即可求得线段AB的中点的横坐标，得到答案. 【详解】设4，，武），由己知P=2, 由焦半径公式可符P上+号8F上，+号 2 所以AB=AF+BF=x+名+D=2xw+2=8,所以xw=3 故选：B. 第2页/共22页 6学科网列组卷网 5.已知数列a的首项4=1，且满足01=2a,+1,则0，=() A.63 B.32 C.31 D.15 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推公式可证明a,+是等比数列，求得其通项公式可求4. 【详解】由41=2a,+1可得01+1=2(a,+1,且4+1=2 所以a,+1是以2为首项，2为公比的等比数列， 故0，+1=2”，则4，=2°-1=31 故选：C 6.在空间直角坐标系中，有41,0,0)，B(02,0,C12,3)三点，则点C到直线AB的距离为《) 61 1 45 7W5 A.5 B.5 C.5 D.5 【答案】D 【解析】 【分析】先求出AB与AC的坐标，再根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解 【详解】因为41,00)，B(0,2,0),C12,3) 所以AB=(-1,2,0),AC=(0,2,3), AB·AC -1×0+2×2+0×34V5 所以 AB V1+4 5, AC=V4+9=3, AB·AC 所以点C到直线 的距离为 5 5 AB 故选：D. 第3页/共22页 6学科网命组卷网 7.已知☒C:x-+y-2)=10,直线1：(2m+x+m+山y-7m-4=0,若直线1被圆C截得的 弦长的最大值为a,最小值为b,则b=（) A.2V10 B.3V10 c.10W2 D.20V2 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线所过定点，再借助圆的弦长公式求出最长弦与最短弦即可得解. 【详解】圆C:(x-+(y-2)=10的圆心C1,2),半径r=10, 2x+y-7=0 直线1为(2x+y-7)m+(x+y-4=0,由x+y-4=0得1恒过定点D(3,1), 当/过圆心C时，截得弦长最大为直径，即a=2√10 当1LDC时，截得弦长最短，而DC=V3-1)2+1-22=V5,则b=2Wr2-DC=2W5, 所以ab=20W2 故选：D 8.如图，椭圆9：+ c升a>6>0a曲我5a>b>0Cc 焦点E,E,它们在第一象限的交点为P,月an☑PF=】,若C的离心率9三3，则G的 率=() 第4页/共22页 6学科网列组卷网 A.2W2 B.2 C.2V5 D.3 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理与椭圆与双曲线的定义可得 4c2=m2+n2-2 mnco0=2a+2ad-2(a-a)cos6,可求e的值. 【详解】设∠RP5=0,则如0- 5,故c0s0=3 ai-b=c 由题意，椭圆、双曲线半焦距为c,故a+b=c2, m+n=2a m=a+az 在aFPE,中，令PF=m,|PF=n,则m-n=2a,故n=a-a,, 由余弦定理得：FF=PF+PF-2 PFPF CoS∠EP5, 4c-m+n-2mncos0=2a+2a-2(af-ai)cos0 1-c0s0+1+cos8=2 两边同除以2c2并整理得：e2 把c0s0=3 V2 ,9 3代入求得e,=2V2, 故选：A. 【点晴】方法点晴：利用椭圆与双曲线定义结合余弦定理可求得9，的关系式可求解 第5页/共22页 6学科网命组卷网 二、多项选释题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.柜子里有2双不同的鞋，从中随机地一次性取出2只，记事件A=“取出的鞋恰好成一双鞋”，事件B =“取出的鞋都是一只脚的”，事件C=“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列说法 正确的是() A.该试验的样本空间共有6个样本点 B.事件A与事件C互为对立事件 c.P(BUC)=PA D.事件B与事件C相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】通过列举得到对应基本事件，再逐项判断即可. 【详解】记两双鞋子分别为乙，Y,乙2，y,则2={ZX,Z乙，ZY,Z,Y,YX,Z,}, A={ZX,Z,X,B=(Z,Z,X},C={Z,X,Z,X},则n(2)=6,故A正确： A与C互斥但不对立；故B错误： P(BUC)-4-1-2-P( 6 6 ,故C正确： P(BC)=O≠P(B)P(C) 所以事件B与事件C不相互独立，故D错误。 故选：AC 10.如图，在四面体4BCD中，设=a,AC=6,AD=C,下列条件能证明AB⊥CD的是() 第6页/共22页 6学科网命组卷网 A.a.b=a.c B.AB=CD,AC=BD,AD=BC c.AC-BC.AD-BD D.AC.BD=0.AD.BC=0 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意要证AB⊥CD,即证AB.CD=a·c-a·b=0,结合数量积的运算律判断A、C、D, 将四面体放入长方体中，即可判断B. 【详解】因为CD=AD-AC=C-b, 要证AB⊥CD,即证AB.CD=a:c-b)=ac-a-b=0 对A选项：由-b=c,则ic-i-b=0,所以B1CD成立，故A正确 对B选项：将四面体ABCD放入长方体中，使4瓜与C⑦，4C与BD,AD与BC分别为相对面的 对角线长， D 显然B与C0不-定垂，丸图长方休的底面不为正方形时B与CD 不垂直，故B错误。 对c选项：因为4G=BC,AD=BD 即6=a-6和=la-,平方得5=a2-2a-6+2,c2=2-2ac+c2, 即l=2ab和=2ac, 第7页/共22页 6学科网列组卷网 所以a.b=ac,所以ABCD=ac-b=ac-a-b=0 即AB L CD 故C正确。 对D选项：由4C·BD=0得ACAD-ACAB=0,即6C=a6①， 由D:BC=0得D:Ac-AD:AB=0,即b:c=ac@, 由O②得a-b=ic,所以AB.CD=ac-i-6=0,即AB⊥CD,故D正确 故选：ACD 11,若等差数列a的前n项和为S,首项为a,公差为d,设a:>0,a:+a1<0,且k∈N,则下 列说法正确的是() A.若k=6,则当且仅当n=6时， Sn有最大值 s. B.若k=7,则当且仅当n=13时，数列n的前n项和T,有最大值 a2 67 C.若k=8,则a,的取值范围为7'8 D若到+4》 d 2 的对称轴方程为x=x。,则x,的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 S 【分析】根据题意可判断出数列{a,}中各项的符号，即可得A正确，再根据 的表达式可判断B正确， 1d2 利用不等关系计算可得7不4了一5，可知C错误，由等差数列前”项和的函数性质可判断D正确 【详解】对A选项，a>0,a,+4<0,则4，<0，所以当且仅当”=6时，S有最大值，A正确： 第8页/共22页 6学科网列组卷网 对B选项：4>0，a+4,<0,则-+13=13a,>0 2 S=atdu)x14 -7a,+a,小<0.S>0。 S4<0 ，13 0且14 s. 当且仅当n=13时，数列n了的前n项和Tn有最大值，B正确： 对c选项：4=4+7d>0,4,+a,=2a+15d<0,且d<0,4>0, <-2 所以7a15,则a,(7'15,C错误： 对D选项：由已知可得a>0,d<0,且a+(k-刂d>0,2a+2k-1)d<0 d 即D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知等比数列am的前n项和为Sm,满足4=2，a224+022s=0,则S,= 【答案】2 【解析】 【分析】利用给定条件计算出公比，再利用公式法求和即可 【详解】设公比为q,因为42024+a2025=0,所以a2025=-a2024, 故9合=-，得到a的公比g=-1所似5 2[01-10]-2 02024 1-(-1) 故答案为：2 60° 13.如图，两条异面直线m,n所成的角为，在直线m,n上分别取点A,M和B,N, AB上m且 第9页/共22页 6学科网列组卷网 ABLn,已知AM=L,BN=L,MN=V2,则线段AB的长为 m B n 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量运算来求得正确答案 【详解】设AB=x,瓜=MA+AB+BN, 由于两条异面直线m,n所成角为60°， 且AB⊥m且AB1n,则M.AB=0,AB:BN=0,Mi与BN的夹角为60°或120°， 因为M=M+AB+BN', 即V2=1P+AB+1P+2M×BN1cos(MA,BN), 化简得，x2+2c0s(MA,BN〉=0，则M,BN）=120°，所以x2.1=0, 所以=1 (负根舍去)· 故答案为：1 1A已知双曲线C:二上 C:京存=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为R,5(5在E上方)，A,B都在双曲 线C的下支上， △1BF是正三角形，点F到直线15的距离为2√5 则双曲线C的实轴长的取值范围 是 【答案】(0,6) 【解析】 【分析】先由双曲线及正三角形的对称性可得△ABS关于'轴对称，从而推出直线 的斜率，再与渐 第10页/共22页