精品解析：湖北省云学名校联盟2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

2024～2025学年度云学名校联盟高二年级期末考试 数学试卷 考试时间：2025年1月16日15:00-17:00 时长：120分钟 试卷满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与直线相互垂直，则实数a的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据两条直线垂直的结论即可求解. 【详解】因为直线与直线相互垂直， 所以，解得. 故选：A. 2. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含 【答案】C 【解析】 【分析】求出两圆圆心距，结合圆与圆的位置关系可得出结论. 【详解】圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 两圆的圆心距为，所以，所以两圆的位置关系为外切. 故选：C. 3. 为了推动国家乡村振兴战略，某地积极响应，不断自主创新，培育了某种树苗，其成活率为0.8，现采用随机模拟的方法估计该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率.先由计算机产生1到5之间取整数值的随机数，指定1至4的数字代表成活，5代表不成活，再以每3个随机数为一组代表3次种植的结果.经计算机随机模拟产生如下20组随机数：.据此估计，该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率为（ ） A. 0.45 B. 0.5 C. 0.512 D. 0.55 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意利用古典概型求解概率即可. 【详解】由题意得共有20组随机数，分别为， ， 恰好3棵都成活的随机数有：共10个， 故估计种植3棵恰好3棵都成活的概率为：，故B正确. 故选：B 4. 已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的横坐标为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的焦点弦长公式，即可求得线段的中点的横坐标，得到答案. 【详解】设，由已知， 由焦半径公式可得 所以，所以. 故选：B. 5. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. 63 B. 32 C. 31 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推公式可证明是等比数列，求得其通项公式可求. 【详解】由可得，且， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 故，则. 故选：C 6. 在空间直角坐标系中，有，，三点，则点C到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出与的坐标，再根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解． 【详解】因为，，， 所以，， 所以，， 所以点C到直线的距离为. 故选：D. 7. 已知圆，直线，若直线l被圆C截得的弦长的最大值为a，最小值为b，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线所过定点，再借助圆的弦长公式求出最长弦与最短弦即可得解. 【详解】圆的圆心，半径， 直线l为，由得l恒过定点， 当l过圆心C时，截得弦长最大为直径，即， 当时，截得弦长最短，而，则， 所以. 故选：D 8. 如图，椭圆，双曲线与，与有共同的焦点，，它们在第一象限的交点为P，且，若的离心率，则的离心率（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理与椭圆与双曲线的定义可得，可求的值. 【详解】设，则，故. 由题意，椭圆、双曲线半焦距为c，故， 在中，令，，则，故， 由余弦定理得：， 即， 两边同除以并整理得：， 把，代入求得， 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用椭圆与双曲线定义结合余弦定理可求得的关系式可求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 柜子里有2双不同的鞋，从中随机地一次性取出2只，记事件A＝“取出的鞋恰好成一双鞋”，事件B＝“取出的鞋都是一只脚的”，事件C＝“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列说法正确的是（ ） A. 该试验的样本空间共有6个样本点 B. 事件A与事件C互为对立事件 C. D. 事件B与事件C相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】通过列举得到对应基本事件，再逐项判断即可. 【详解】记两双鞋子分别为，，，，则， ，，，则，故A正确； A与C互斥但不对立；故B错误； ，故C正确； ， 所以事件B与事件C不相互独立，故D错误. 故选：AC. 10. 如图，在四面体中，设，，，下列条件能证明的是（ ） A. B. ，， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意要证，即证，结合数量积的运算律判断A、C、D，将四面体放入长方体中，即可判断B. 【详解】因为， 要证，即证. 对A选项：由，则，所以成立，故A正确. 对B选项：将四面体放入长方体中，使与，与，与分别为相对面的对角线长， 显然与不一定垂直，如图长方体的底面不为正方形时与不垂直，故B错误. 对C选项：因为，， 即和，平方得，， 即和， 所以，所以， 即，故C正确. 对D选项：由得，即①， 由得，即②， 由①②得，所以，即，故D正确. 故选：ACD 11. 若等差数列的前n项和为，首项为，公差为d，设，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则当且仅当时，有最大值 B. 若，则当且仅当时，数列的前n项和有最大值 C. 若，则的取值范围为 D. 若函数的对称轴方程为，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意可判断出数列中各项的符号，即可得A正确，再根据的表达式可判断B正确，利用不等关系计算可得，可知C错误，由等差数列前n项和的函数性质可判断D正确. 【详解】对A选项，，，则，所以当且仅当时，有最大值，A正确； 对B选项：，，则，，且， 当且仅当时，数列的前n项和有最大值，B正确； 对C选项：，，且，， 所以，则，C错误； 对D选项：由已知可得，，且，， 所以，而，故，即D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前n项和为，满足，，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用给定条件计算出公比，再利用公式法求和即可. 【详解】设公比为，因为，所以， 故，得到的公比，所以. 故答案为：2 13. 如图，两条异面直线m，n所成的角为，在直线m，n上分别取点A，M和B，N，使且.已知，，，则线段的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量运算来求得正确答案. 【详解】设，， 由于两条异面直线所成角为， 且且，则与的夹角为或， 因为， 即， 化简得，，则，所以， 所以（负根舍去）. 故答案为： 14. 已知双曲线的两个焦点分别为，（在上方），A，B都在双曲线C的下支上，是正三角形，点到直线的距离为，则双曲线C的实轴长的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由双曲线及正三角形的对称性可得关于轴对称，从而推出直线的斜率，再与渐近线斜率进行比较建立关于的不等式关系，再由点到直线的距离可求出的值，再结合进行转换即可求出的取值范围，进而求出实轴长取值范围. 【详解】假设点A在y轴左侧，由双曲线及正三角形的对称性可得关于y轴对称， 所以直线的倾斜角为，斜率为，直线与双曲线C的下支有交点， 所以，得. 因为，所以点到直线的距离为， 所以， 所以，所以，即C的实轴长的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：求实轴长取值范围关键是找到关于的方程和建立关于的不等式关系，进而求得范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的短轴长为2，且过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知易求得，将代入椭圆方程可求得，可求椭圆C的方程； （2）求得直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可求得，，进而利用弦长公式求得弦长，利用点到直线的距离公式求得三角形边上的高，可求面积. 【小问1详解】 由椭圆的简单几何性质，可知，得， 将点代入，得， 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由已知可得椭圆的右焦点为，直线l的方程为， 联立椭圆方程，得，， 设，，所以，， 则， 点到直线的距离， 故. 16. 甲、乙两名同学组成“梦队”与AI人工智能进行比赛.每轮比赛均由甲、乙分别与AI挑战一次，已知甲每次挑战成功的概率为，乙每次挑战成功的概率为.在每轮比赛中，甲和乙成功与否互不影响，各轮结果也互不影响.“梦队”在两轮比赛中挑战成功4次的概率为. （1）求P的值； （2）求“梦队”在两轮比赛中，挑战成功至少2次的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用分步乘法计数原理求解即可. （2）利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解即可. 【小问1详解】 设，，分别表示甲两轮挑战成功的次数分别为0，1，2的事件， ，，分别表示乙两轮挑战成功的次数分别为0，1，2的事件， 则，， ，，，. 设“梦队”在两轮比赛中挑战成功4次为事件， 则，解得（舍去负根）. 【小问2详解】 由（1）知，，， 设“梦队”在两轮比赛中挑战成功至少2次为事件D， 则. 17. 在四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，M是的中点，底面为矩形，且侧面底面，与平面所成角的正切值为. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为底面为矩形，则， 又因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 而平面，所以， 又侧面为正三角形，M是的中点，所以， 又，，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，从而得，然后由线面垂直的判定定理证明线面垂直；（2）取中点O，连接，证明平面，以O为原点，过O平行于的直线为x轴，，为y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由二面角的空间向量法求得余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点O，连接，则， 又因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 以O为原点，过O平行于的直线为x轴，，为y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 则，， 平面的一个法向量是， 因为与平面所成角的正切值为，所以其正弦值为， 所以，解得， ，. 设平面的一个法向量是， 则，取，则，， 所以为平面的一个法向量， ，，，， 设平面的一个法向量是， 则，取，则，， 所以为平面的一个法向量， ， 设平面与平面所成夹角为，则， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为. 18. 已知数列的前n项和为，且，，. （1）求和的值，再猜想数列的通项公式，并证明； （2）求数列的前n项和； （3）若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】（1） ， 令得，令得， 猜想数列的通项公式为，证明如下： 由，移项得， 即，故数列为等差数列， 又，，故公差， 因此，数列的通项公式为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出数列中项的值，再利用等差中项判断数列类型，求解通项公式即可. （2）对给定数列分类讨论，去掉绝对值后利用等差数列求和公式求解即可. （3）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 当时，，故. 当时，，故 ， 综上所述，. 【小问3详解】 由题意得， 故（1）, 两边乘以2得：（2）， （1）－（2）得 所以. 19. 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. （1）若圆是直线族的包络曲线，求的取值范围； （2）对于给定的实数，若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围（用表示）和直线族的包络曲线； （3）在（2）的条件下，过曲线上任意两点A，B分别作曲线的切线，，其交点为P.已知点，探究是否总成立？请说明理由. 【答案】（1） （2）， （3）成立，理由如下： 已知，设，， 则，，，. 由（2）知在点处的切线方程为. 同理在点处的切线方程为， 联立可得，所以. 因此 ，同理. 所以， ，即，可得， 所以成立. 【解析】 【分析】（1）圆心到直线的距离为，所以.，根据设，，其中为参数，则得到答案. （2）易知方程无解，根据判别式可得，证明可得直线族的包络曲线为； （3）求出两点处曲线的切线的方程，解得，根据平面向量夹角的表达式即可得，即； 【小问1详解】 有已知得圆心到直线的距离为，所以. 设，，其中为参数，则 【小问2详解】 点不在直线族的任意一条直线上，所以无论m取何值时，无解. 即. 若该方程无解，则，即. 所以对于给定的实数，的取值范围为， 直线族的包络曲线为. 证明如下：在上任取一点， 设在A点处的切线方程为， 与联立得， 由相切得，即，则，（此处已经学过导数的可以直接用导数） 故在A处的切线方程为， 即.在直线族中， 令，则，即与完全等价， 所以直线族中的每一条直线都是抛物线的切线，抛物线的每一条切线都是该直线族中的某条直线， 所以该曲线上的每一点处的切线都是直线族的直线.直线族的包络曲线为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：利用向量夹角的坐标表示是探究第3问的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度云学名校联盟高二年级期末考试 数学试卷 考试时间：2025年1月16日15:00-17:00 时长：120分钟 试卷满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与直线相互垂直，则实数a的值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 0 2. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含 3. 为了推动国家乡村振兴战略，某地积极响应，不断自主创新，培育了某种树苗，其成活率为0.8，现采用随机模拟的方法估计该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率.先由计算机产生1到5之间取整数值的随机数，指定1至4的数字代表成活，5代表不成活，再以每3个随机数为一组代表3次种植的结果.经计算机随机模拟产生如下20组随机数：.据此估计，该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率为（ ） A. 0.45 B. 0.5 C. 0.512 D. 0.55 4. 已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的横坐标为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. 63 B. 32 C. 31 D. 15 6. 在空间直角坐标系中，有，，三点，则点C到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，直线，若直线l被圆C截得的弦长的最大值为a，最小值为b，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，椭圆，双曲线与，与有共同的焦点，，它们在第一象限的交点为P，且，若的离心率，则的离心率（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 柜子里有2双不同的鞋，从中随机地一次性取出2只，记事件A＝“取出的鞋恰好成一双鞋”，事件B＝“取出的鞋都是一只脚的”，事件C＝“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列说法正确的是（ ） A. 该试验的样本空间共有6个样本点 B. 事件A与事件C互为对立事件 C. D. 事件B与事件C相互独立 10. 如图，在四面体中，设，，，下列条件能证明的是（ ） A. B. ，， C. ， D. ， 11. 若等差数列的前n项和为，首项为，公差为d，设，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则当且仅当时，有最大值 B. 若，则当且仅当时，数列的前n项和有最大值 C. 若，则的取值范围为 D. 若函数的对称轴方程为，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前n项和为，满足，，则__________. 13. 如图，两条异面直线m，n所成的角为，在直线m，n上分别取点A，M和B，N，使且.已知，，，则线段的长为__________. 14. 已知双曲线的两个焦点分别为，（在上方），A，B都在双曲线C的下支上，是正三角形，点到直线的距离为，则双曲线C的实轴长的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的短轴长为2，且过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 16. 甲、乙两名同学组成“梦队”与AI人工智能进行比赛.每轮比赛均由甲、乙分别与AI挑战一次，已知甲每次挑战成功的概率为，乙每次挑战成功的概率为.在每轮比赛中，甲和乙成功与否互不影响，各轮结果也互不影响.“梦队”在两轮比赛中挑战成功4次的概率为. （1）求P的值； （2）求“梦队”在两轮比赛中，挑战成功至少2次的概率. 17. 在四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，M是的中点，底面为矩形，且侧面底面，与平面所成角的正切值为. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知数列的前n项和为，且，，. （1）求和的值，再猜想数列的通项公式，并证明； （2）求数列的前n项和； （3）若数列满足，求数列的前n项和. 19. 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. （1）若圆是直线族的包络曲线，求的取值范围； （2）对于给定的实数，若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围（用表示）和直线族的包络曲线； （3）在（2）的条件下，过曲线上任意两点A，B分别作曲线的切线，，其交点为P.已知点，探究是否总成立？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $