精品解析：山西省太谷中学校2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题

太谷中学2024级高一开学考试 数学试题 考试时间：90分钟满分：120分 一､选择题：（每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求.） 1. 已知关于的方程的一个根是1，则它的另一个根是（ ） A. B. 3 C. D. 2 2. 如图，是的内切圆，则点是的（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点 3. 函数中，当时，则值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 京剧脸谱，剪纸等图案蕴含着简洁美，对称美，下列选取的图片中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列四个函数：（1）；（2）；（3）；（4），其中图象是中心对称图形，且对称中心是原点的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 7. 已知周长为1，连结三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，等边的周长为，是边上的中线，是延长线上一点，且，则的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 10. 如图，已知是斜边的中点，过作于，连结交于；过作于，连结交于；过作于，如此继续，可以依次得到点，分别记的面积为.则（ ） A. B. C. D. 二､填空题（每小题4分，共20分） 11. 化简__________.的平方根为__________. 12. 已知抛物线，若点与点关于该抛物线的对称轴对称，则点的坐标是__________. 13. 某学习小组在“世界读书日”这天统计了本组5名同学在上学期阅读课外书籍的册数，数据是：.若这组数据的平均数为16，则这组数据的中位数是__________. 14. 如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于两点，若，则的值是__________. 15. 把二次函数的图象向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数的图象，则__________，__________. 三､解答题（本大题共5个小题，满分60分） 16. 某班为了解学生一学期做义工的时间情况，对全班50名学生进行调查，按做义工的时间t（单位：小时），将学生分成五类：类类类，D类类.绘制成尚不完整的条形统计图如图.根据以上信息，解答下列问题： （1）类学生有__________人，补全条形统计图； （2）类学生人数占被调查总人数的__________%； （3）从该班做义工时间在的学生中任选2人，求这2人做义工时间都在中的概率. 17. 若x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x-3=0的两根． （1）求| x1-x2|的值； （2）求的值； （3）． 18. 如图1，中，，点为边上一点，于点.点为中点，CM的延长线交AB于点. （1）求证：； （2）若，求的大小； （3）如图2，若，点为的中点，求证：. 19. （1）试证：(其中是正整数)； （2）计算：； （3）证明：对任意大于的正整数， 有. 20. 已知：当时，抛物线取得最小值，并且抛物线与轴交于点，与轴交于点. （1）求该抛物线的关系式； （2）若点都在该抛物线上，试比较与的大小； （3）是线段的中点，为线段上一动点（两端点除外），过点作轴的平行线与抛物线交于点.问：是否存在与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，则说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太谷中学2024级高一开学考试 数学试题 考试时间：90分钟满分：120分 一､选择题：（每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求.） 1. 已知关于的方程的一个根是1，则它的另一个根是（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用韦达定理可求另外一根为，从而可得正确的选项. 【详解】，故方程必有两个不同的根， 设另一个根为，则由韦达定理可知，故， 故选：C. 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用韦达定理求值时注意检验判别式的符号，本题属于容易题. 2. 如图，是的内切圆，则点是的（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义进行判断. 【详解】对于A：三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心，外接圆的圆心，A错误； 对于B：三条角平分线的交点是内切圆的圆心，B正确； 对于C: 三条中线的交点是重心，C错误； 对于D：三条高的交点是垂心，D错误. 故选：B. 3. 函数中，当时，则值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出二次函数的对称轴，再分别代入可得范围． 【详解】由函数得其对称轴为，所以当时，， 当时，，所以值的取值范围是， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的最值的求解，属于基础题． 4. 京剧脸谱，剪纸等图案蕴含着简洁美，对称美，下列选取的图片中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称、中心对称的定义，结合各项对应图即可得答案. 【详解】由轴对称图形，只需找到一条对称轴使其两侧图形对称即可，B、C不符； 由中心对称图形，将图形旋转与原图重合，A不符. 故选：D 5. 下列四个函数：（1）；（2）；（3）；（4），其中图象是中心对称图形，且对称中心是原点的共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据为函数图象上任意点，判断是否在对应函数的图象上，即可得答案. 【详解】若为各函数的任意点， （1）由，显然，即不在上，不符； （2）由，显然，即在上，符合； （3）由，显然，即不在上，不符； （4）由，显然中不关于原点对称，不符. 故选：A 6. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】讨论、，结合判别式列不等式求参数范围. 【详解】当，则，显然有实根，符合； 当，则只需，可得且， 综上，. 故选：B 7. 已知周长为1，连结三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设描述的规律总结分析，求第2003个三角形周长. 【详解】由题设，第个三角形的周长是第个三角形的周长的一半，且第1个三角形周长为1， 所以第2003个三角形周长为. 故选：C 8. 如图，等边的周长为，是边上的中线，是延长线上一点，且，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等边三角形与等腰三角形中线的性质计算每条边长，从而可得答案. 【详解】如图，过点作， ∵，∴是的中点. ∵等边的周长为12，是边上的中线， ∴， ∴，∴，即， ∴的周长为. 故选：A 9. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将条件化为关于的方程，求解即可. 【详解】由题设，. 故选：B 10. 如图，已知是斜边的中点，过作于，连结交于；过作于，连结交于；过作于，如此继续，可以依次得到点，分别记的面积为.则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质，利用在中，为其重心可得，然后从中找出规律即可解答． 【详解】， ， ∴， ∵D1是斜边AB的中点， ， ∴， ∵， ， ， ∴与同底同高，面积相等，以此类推； 根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知： ∴在中，D2为其重心， ， ， ， ， ， ； 所以类比可得 ． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质得到第一个三角形的面积与原三角形的面积的规律．也考查了重心的性质即三角形三边中线的交点到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍． 二､填空题（每小题4分，共20分） 11. 化简__________.的平方根为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据算术平方根和平方根的性质即可求解. 【详解】根据算术平方根的性质可得，； 因为，而的平方根为，所以的平方根为. 故答案为：； 12. 已知抛物线，若点与点关于该抛物线的对称轴对称，则点的坐标是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式写出对称轴方程，进而写出关于对称轴的对称点坐标，即得答案. 【详解】由，对称轴为， 所以关于对称的点为，即. 故答案为： 13. 某学习小组在“世界读书日”这天统计了本组5名同学在上学期阅读课外书籍的册数，数据是：.若这组数据的平均数为16，则这组数据的中位数是__________. 【答案】16 【解析】 【分析】由平均数的求法列方程求得，根据中位数定义确定中位数. 【详解】由，可得. 所以数据从小到大为，显然中位数为16. 故答案为：16 14. 如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于两点，若，则的值是__________. 【答案】4 【解析】 【分析】设得，根据及已知即可求结果. 【详解】由题设及图，若且，则， 所以，则. 故答案为：4 15. 把二次函数的图象向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数的图象，则__________，__________. 【答案】 ①. ②. 14 【解析】 【分析】利用二次函数的性质将图象平移回去，对比系数求解即可. 【详解】将向右平移4个单位，得到， 再向下平移2个单位，得到， 故， 对比系数得，. 故答案为：；14 三､解答题（本大题共5个小题，满分60分） 16. 某班为了解学生一学期做义工的时间情况，对全班50名学生进行调查，按做义工的时间t（单位：小时），将学生分成五类：类类类，D类类.绘制成尚不完整的条形统计图如图.根据以上信息，解答下列问题： （1）类学生有__________人，补全条形统计图； （2）类学生人数占被调查总人数的__________%； （3）从该班做义工时间在的学生中任选2人，求这2人做义工时间都在中的概率. 【答案】（1）5，条形统计图见解析； （2）36； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知及条形图数据确定E类学生人数，进而补全图形； （2）根据条形图求类学生人数占比； （3）应用列举法求概率即可. 【小问1详解】 E类学生有（人）， 补全图形如下： 【小问2详解】 D类学生人数占被调查总人数的； 【小问3详解】 记内的两人为甲、乙，记内的三人为A、B、C， 从中任选两人有：甲乙，甲，甲，甲，乙，乙，乙，，10种可能结果， 其中2人做义工时间都在中的有这3种结果， 这2人做义工时间都在中的概率为. 17. 若x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x-3=0的两根． （1）求| x1-x2|的值； （2）求的值； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）-． 【解析】 【分析】(1)利用韦达定理求出，将| x1-x2|平方并用表示出即可得解； (2)利用韦达定理求出，将通分并用表示出即可得解； (3) 利用韦达定理求出，将分解因式并用表示出即可得解. 【详解】x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x-3=0的两根， 由韦达定理得，， (1)， 则； (2)； (3). 18. 如图1，中，，点为边上一点，于点.点为中点，CM的延长线交AB于点. （1）求证：； （2）若，求的大小； （3）如图2，若，点为的中点，求证：. 【答案】（1） 如图1中， ， ， ， ∴， . （2）； （3） 如图2中，设，而， . 是等腰直角三角形，是等边三角形， ， ，且， ∴. 【解析】 【分析】（1）根据已知得，根据直角三角形的性质即可证结论； （2）根据已知及角的位置关系求； （3）设，且是等腰直角三角形，是等边三角形，进而得到，即可证结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ∴， ， ∴. 【小问3详解】 略 19. （1）试证：(其中是正整数)； （2）计算：； （3）证明：对任意大于的正整数， 有. 【答案】（1）证明见解析（2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）右式通分，化简即可得证； （2）根据（1）将每个分式拆成两个分式相减的形式，从而可得出答案‘ （3）根据（1）将每个分式拆成两个分式相减的形式，化简，结合，且是正整数，即可得证. 【详解】（1）证明：， (其中是正整数)成立． （2）解：由（1）可知 ； （3）证明： ， 又，且是正整数，一定为正数， ∴， . 20. 已知：当时，抛物线取得最小值，并且抛物线与轴交于点，与轴交于点. （1）求该抛物线的关系式； （2）若点都在该抛物线上，试比较与的大小； （3）是线段的中点，为线段上一动点（两端点除外），过点作轴的平行线与抛物线交于点.问：是否存在与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，则说明理由. 【答案】（1）； （2） 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，. （3）存在，或. 【解析】 【分析】（1）设抛物线的关系式为，结合所过的点求参数，即可得解析式； （2）根据已知及作差有，分类讨论比较大小即可； （3）根据已知得，且直线为，根据相似关系得是等腰直角三角形，且点为直角顶点，应用分类讨论及已知求直线解析式，进而判断并求出点的坐标. 【小问1详解】 由题意，可设抛物线的关系式为， 因为点在抛物线上，所以，即， 所以，抛物线的关系式为； 【小问2详解】 点都在该抛物线上， ， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，. 【小问3详解】 令，即，得点， 线段的中点为，直线的函数关系式为， 因为是等腰直角三角形，所以，要与相似，也必须是等腰直角三角形. 由于，因此，所以，在中只可能以点为直角顶点. ①当为直角顶点时，，此时所在直线为， 由，解得（舍去）， 将代入，得点； ②当为直角顶点时，，此时， 由于点为线段的中点，因此所在直线过原点，其关系式为. 解，得（舍去）， 将代入，得点； 综上，或符合条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $