教材+真题特色微专题（5）三角函数恒等变换讲义-2025届高三数学二轮复习

2025届高三二轮数学复习——教材+真题特色微专题（5）——三角恒等变换 专题介绍;本专题的指导思想是立足教材典题、研做高考真题，认真落实考教衔接.每个专题分四部分：回归教材、知识梳理、研做高考、跟踪练习”。 【回归教材】 1、 人教A版2019年必修一P255第15题： （1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）， ． （2）因为，，所以，， 上述两式相加得，即，解得． 2、人教A版2019年必修一P229第13题： 在中，已知是x的方程的两个实根，求. 【答案】 【解析】是x的方程，即的两个实根. ， .由于. 3、人教A版2019年必修一P2290练习第1题：利用和（差）角公式，求下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）；（2）； （3）；（4） 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）. 4、人教A版2019年必修一P2290练习第2题（3）： 已知，求值． 【解析】因为，所以 5、人教A版2019年必修一P229第9题： 已知； （1）求证：；（2）求证：． 【解析】（1）∵，，∴……① ∵，∴……② 联立①②解得，∴，得证 （2）由得，∴，得证 6、人教A版2019年必修一P223练习第1题：已知，，求，，的值. 【答案】，， 【解析】因为，所以.又由，得，，所以， ， . 7、人教A版2019年必修一P229第8题（3）：求证：。 证明：左边右边。 8、人教A版2019年必修一P255第18题:已知，，求的值． 【答案】 【解析】】 ，，， ．，． 9、人教A版2019年必修一P226练习第1题：求证：. 【解析】.. 所以。 10、人教A版2019年必修一P228复习巩固第3题： 已知，，求的值. 【答案】. 【解析】，，又，， 则. 11、人教A版2019年必修一P230第17题: （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数的最大值和最小值. 【答案】（1）周期为，单调递增区间为. （2）最大值为，最小值为 【解析】（1） ，最小正周期为；由，得，∴单调递增区间为. （2），其中，的最大值为，最小值为. 【知识梳理】 一、三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明： （1）先将诱导三角函数式中的角统一写作； （2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负； （3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 二、同角三角函数基本关系式 1、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化． 2、 3、 4、。 三、辅助角公式与二倍角与降幂公式 1、（其中）． 2、； ； ； 四、拆角、配角问题（给值求值、给值求角） ①；；②；③；④；⑤． 其他：。 【研做高考】 1、2024年新课标全国Ⅰ卷数学第4题：已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，而，所以，故即，从而，故． 2、2024年新课标全国Ⅱ卷数学第13题：已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【答案】 【解析】法一：由题意得， 因为，，则，，又因为，则，，则，则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 3、2024年新课标全国甲卷数学理科第8题（文科第9题）：已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，解得，所以. 4、2024年北京高考数学卷第12题：已知，且α与β的终边关于原点对称，则的最大值为________． 【答案】## 【解析】由题意，从而，因为，所以的取值范围是，的取值范围是，当且仅当，即时，取得最大值，且最大值. 5、2023年新课标全国Ⅰ卷数学第8题：已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，而，因此， 则，所以. 6、2023年新课标全国数学Ⅱ卷第7题：已知为锐角，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，而为锐角，解得． 7．(2023年北京卷·第13题)已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 【答案】①． ②． 解析：因为在上单调递增，若，则， 取， 则，即， 令，则， 因为，则， 即，则．不妨取，即满足题意． 8、2022年新课标全国Ⅱ卷数学第6题：若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由已知得, 即，即所以, 9．(2022年浙江省高考数学试题·第13题)若，则______，______． 【答案】 ①． ②． 解析:，∴，即，即，令，，则，∴，即，∴，则． 10．(2021年新高考Ⅰ卷·第6题)若，则 (　　) A B． C． D． 【答案】C 解析:将式子进行齐次化处理得，原式 ,故选C． 11．(2021高考北京·第14题)若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___． 【答案】(满足即可) 解析：与关于轴对称，即关于轴对称， ，则，当时，可取的一个值为． 12．(2021年高考全国甲卷理科·第9题)若，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 解析：，，，，，解得，，． 13．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第9题)已知，且，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，得，即，解得或(舍去)，又． 14．(2020年浙江省高考数学试卷·第13题)已知，则________；______． 【答案】(1)． (2)． 解析：，，15．(2020江苏高考·第8题)已知 ，则的值是____． 【答案】 【解析】，。 16．(2019·江苏·第13题)已知，则的值是 . 【答案】 【解析】法1：，解得，或. 所以＝＝＝. 法2：令，则，即， 解得，所以. 17．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第9题)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ= (　　) A．–2 B．–1 C．1 D．2 【答案】D 解析：，，令，则，整理得，解得，即． 18．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第2题)若α为第四象限角，则 (　　) A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0 【答案】D 解析：方法一：由α为第四象限角，可得，所以，此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以． 方法二：当时，，选项B错误；当时，，选项A错误；由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确． 19．(2019·全国Ⅱ·理·第10题)已知，，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，∴.,∴，， ∴，又，∴，，又，∴． 20．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第15题)已知，，则______． 【答案】 解析：因为，所以，， 相加得，所以． 21．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理）·第4题)若，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 解析：，故选B． 22．(2017年高考数学江苏文理科·第5题)若 则______． 【答案】 解析:,故答案为． 23．(2017年高考数学北京理科·第12题)在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称．若,则___________． 【答案】 【解析】因为和关于轴对称,所以,那么,, 这样． 24．(2017年高考数学上海(文理科)·第15题)设、,且,则的最小值等于 ． 【答案】1 【解析】，，∴，即，∴，，． 25．(2016高考数学浙江理科·第10题)已知，则 ， ． 【答案】 解析：由于，所以，． 26．(2016高考数学四川理科·第11题) _________． 【答案】 【解析】． 27．(2016高考数学上海理科·第7题)方程在区间上的解为___________． 【答案】， 解析：，即，所以，解得或(舍去)，所以在区间上的解为． 28．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第13题)的内角的对边分别为，若，，，则 ． 【答案】 【解析】由平方关系可得： 所以，再由正弦定理得：． 29．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第5题)若,则 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由,得,或,,所以. 30．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第9题)若，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，，故选D． 31．(2015高考数学四川理科·第12题)的值是________ 【答案】． 解析：法一、． 法二、． 法三、． 32．(2015高考数学江苏文理·第8题)已知，，则的值为_______． 【答案】3 解析： 33．(2015高考数学重庆理科·第9题)若，则 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 解析：由已知， ＝，选C． 34．(2015高考数学新课标1理科·第2题) (　　) A． B． C． D． 【答案】D 解析：原式= ==，故选D． 35．(2014高考数学课标1理科·第8题)设,,且,则 (　　) A． B． C． D． 【答案】 B 解析:∵,∴， , ，∴,即,选B 36．(2014高考数学陕西理科·第13题)设，向量，若∥，则_______． 【答案】 解析: ，,因为，所以，，即． 【跟踪练习】 1．已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设有，即， 解得或，因为，所以，则， 则，故选：A． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和与差的余弦公式展开，然后两边平方即可求得. 【详解】展开得，两边同时平方有， 即，解得，故选：B． 3．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式将目标式转化为，然后由二倍角公式可得. 【详解】因为，所以 . 4．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，又因为. 5．（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据诱导公式、两角差的余弦公式及二倍角的正弦公式化简求值即可. 【详解】原式 . 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件根据二倍角余弦公式可求，再结合诱导公式求. 【详解】因为，所以， 即，所以．故选：D． 7．设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以． 因为，所以，所以，则． 8．若，，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由，得，所以（其中），得，所以，，所以， 解得. 9．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于，则，而，故，由，可得，则， 故，故选：D 10．已知，，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和差公式可得，结合题意即可得结果. 【详解】因为，则，，又因为， 则①，等式①的两边同时除以 可得，解得. 11．已知等差数列中，，，又，，其中，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差中项的性质可以算出，再利用等差数列中的关键量和可以求出.利用，求出，进而求出，确定即可得出结论. 【详解】， ，，， ，.又，，. ，，，. 12．若，且，则 ． 【答案】 【详解】由，得．因为，所以，则，所以．由，得，则，解得． 13．已知，则 . 【答案】 【详解】， 则，故. 14．已知，，，则 . 【答案】 【详解】因，，，故，， 故，， 则. 15．已知，则 . 【答案】 【详解】因为 ，而，所以，， 16．若，且，是的两个根，则 . 【答案】/ 【详解】因为、为关于x的方程的两个根， 所以，又因为，所以， 又，所以，， 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三二轮数学复习——教材+真题特色微专题（5）——三角恒等变换 专题介绍;本专题的指导思想是立足教材典题、研做高考真题，认真落实考教衔接.每个专题分四部分：回归教材、知识梳理、研做高考、跟踪练习”。 【回归教材】 1、 人教A版2019年必修一P255第15题： （1）已知，，求的值； （2）已知，，求的值． 2、人教A版2019年必修一P229第13题： 在中，已知是x的方程的两个实根，求. 3、人教A版2019年必修一P2290练习第1题：利用和（差）角公式，求下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）． 4、人教A版2019年必修一P2290练习第2题（3）： 已知，求值． 5、人教A版2019年必修一P229第9题： 已知； （1）求证：；（2）求证：． 6、人教A版2019年必修一P223练习第1题：已知，，求，，的值. 7、人教A版2019年必修一P229第8题（3）：求证：。 8、人教A版2019年必修一P255第18题:已知，，求的值． 9、人教A版2019年必修一P226练习第1题：求证：. 10、人教A版2019年必修一P228复习巩固第3题： 已知，，求的值. 11、人教A版2019年必修一P230第17题: （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数的最大值和最小值. 【知识梳理】 一、三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明： （1）先将诱导三角函数式中的角统一写作； （2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负； （3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 二、同角三角函数基本关系式 1、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化． 2、 3、 4、。 三、辅助角公式与二倍角与降幂公式 1、（其中）． 2、； ； ； 四、拆角、配角问题（给值求值、给值求角） ①；；②；③；④；⑤． 其他：。 【研做高考】 1、2024年新课标全国Ⅰ卷数学第4题：已知，则（    ） A． B． C． D． 2、2024年新课标全国Ⅱ卷数学第13题：已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 3、2024年新课标全国甲卷数学理科第8题（文科第9题）：已知，则（    ） A． B． C． D． 4、2024年北京高考数学卷第12题：已知，且α与β的终边关于原点对称，则的最大值为_____． 5、2023年新课标全国Ⅰ卷数学第8题：已知，则（ ）． A. B. C. D. 6、2023年新课标全国数学Ⅱ卷第7题：已知为锐角，，则（ ）． A. B. C. D. 7．(2023年北京卷·第13题)已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 8、2022年新课标全国Ⅱ卷数学第6题：若，则（ ） A. B. C. D. 9．(2022年浙江省高考数学试题·第13题)若，则______，______． 10．(2021年新高考Ⅰ卷·第6题)若，则 (　　) A B． C． D． 11．(2021高考北京·第14题)若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___． 12．(2021年高考全国甲卷理科·第9题)若，则 (　　) A． B． C． D． 13．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第9题)已知，且，则 (　　) A． B． C． D． 14．(2020年浙江省高考数学试卷·第13题)已知，则________；______． 15．(2020江苏高考·第8题)已知 ，则的值是____． 16．(2019·江苏·第13题)已知，则的值是 . 17．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第9题)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ= (　　) A．–2 B．–1 C．1 D．2 18．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第2题)若α为第四象限角，则 (　　) A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0 19．(2019·全国Ⅱ·理·第10题)已知，，则 (　　) A． B． C． D． 20．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第15题)已知，，则______． 21．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理）·第4题)若，则 (　　) A． B． C． D． 22．(2017年高考数学江苏文理科·第5题)若 则______． 23．(2017年高考数学北京理科·第12题)在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称．若,则___________． 24．(2017年高考数学上海(文理科)·第15题)设、,且,则的最小值等于 ． 25．(2016高考数学浙江理科·第10题)已知，则 ， ． 26．(2016高考数学四川理科·第11题) _________． 27．(2016高考数学上海理科·第7题)方程在区间上的解为___________． 28．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第13题)的内角的对边分别为，若，，，则 ． 29．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第5题)若,则 (　　) A． B． C． D． 30．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第9题)若，则 (　　) A． B． C． D． 31．(2015高考数学四川理科·第12题)的值是________ 32．(2015高考数学江苏文理·第8题)已知，，则的值为_______． 33．(2015高考数学重庆理科·第9题)若，则 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 34．(2015高考数学新课标1理科·第2题) (　　) A． B． C． D． 35．(2014高考数学课标1理科·第8题)设,,且,则 (　　) A． B． C． D． 36．(2014高考数学陕西理科·第13题)设，向量，若∥，则_______． 【跟踪练习】 1．已知，，则（    ） A．3 B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（   ） A． B． C．1 D．2 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 7．设，且，则（    ） A． B． C． D． 8．若，，则（   ） A． B． C．1 D． 9．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，，则（   ） A．3 B． C． D． 11．已知等差数列中，，，又，，其中，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 12．若，且，则 ． 13．已知，则 . 14．已知，，，则 . 15．已知，则 . 16．若，且，是的两个根，则 . 学科网（北京）股份有限公司 $$