2025年九年级中考数学一轮复习授课教案：二次函数的图象与性质（1）

序号：______ 科 目 任教班级 授课时间 课 题 二次函数的图象与性质（1） 课型 复习 学科素养目标 1、掌握二次函数函数的概念 2、理解二次函数函数图象的性质 3、理解二次函数解析式的三种形式之间的关系 4、用待定系数法求二次函数解析式 单元教学分析 重点：二次函数图象的开口、对称轴、顶点、最值、增减性等，用待定系数法确定二次函数的解析式； 难点：运用二次函数的图象性质解决问题。灵活选取解析式的类型解决问题。 创新设计 利用数形结合的方法引导学生逐步了解并掌握二次函数的图象和性质，提高学生对知识的整合能力和分析能力。 教学活动过程 二次备课 热身小练 1．下列函数解析式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 2．关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 图象顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 3．将二次函数化为的形式，结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【答案】B 4．把二次函数先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后解析式为________________. 【答案】 考点梳理 考点1 二次函数的概念 一般地，形如，，是常数，的函数，叫做关于的二次函数. 考点2 二次函数的图象与性质 ，，是常数，且 的符号 大致图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 ，   对称轴 直线   增减性 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大 当时，随的增大而增大；当时，随增大而减小 最值 当时，有最小值，为 当时，有最大值，为 考点3 二次函数的平移 平移规律： 考点4 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：，，是常数，且； （2）顶点式：  ，，是常数，且； （3）交点式：  ，分别是抛物线与轴的两个交点的横坐标，是常数且. 考点5 用待定系数法求二次函数解析式 步骤： （1）设：巧设二次函数的解析式； （2）代：根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）； （3）解：解方程（组），求出待定系数的值；例1【方法提炼】（1）当抛物线开口向下时，离对称轴越近的点的纵坐标越大；当抛物线开口向上时，离对称轴越近的点的纵坐标越小.还可以尝试画草图直观比较.（2）此题可以尝试设三种形式来讲解，从而引导学生寻找求解二次函数解析式的最优方法，进而总结，特别提醒：设交点式，最后用顶点式或一般式表示. （4）写：从而得到函数的解析式. 典型例题 【例1】 （1） 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. （2） 已知抛物线过,,三点，则这条抛物线的解析式为____________________. （3） 抛物线和形状相同，方向相反，且顶点为，则它的函数解析式为______________________. 【答案】（1） C （2） （3） 【变式1】 （1） 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. （2） 已知二次函数的图象经过，，三点，则该函数的解析式为（ ）例2【方法提炼】当抛物线开口向下时，离对称轴越近的点的纵坐标越大；当抛物线开口向上时，离对称轴越近的点的纵坐标越小.还可以尝试画草图直观求最值，注意对称轴在范围内还是不在范围，必要时画图分类讨论.第（1）问注意对称轴的位置，第（2）问选择题也可以尝试代入验证的方法. A. B. C. D. 【答案】（1） C （2） C 【例2】 （1） 已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 （2） [2022·贺州]已知二次函数，在时，取得的最大值为15，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】（1） D （2） D 【变式2】 已知函数（，为常数）的图象经过点，. （1） 求，的值； （2） 当时，求的最大值； （3） 当时，若的最大值与最小值之和为2，请直接写出的值. 【答案】 （1） 解：把点，代入， 可解得，. （2） ， 且， 当 时，有最大值为6； （3） ①当 时， 当 时，有最小值为， 当 时，有最大值为， ， 解得,（舍去）， ； ②当 时， 当 时 有最大值为6. 的最大值与最小值之和为2， 的最小值为， ， 解得，（舍去）， 综上所述，的值为 或. ※【例3】 在平面直角坐标系中，对于点，如果点的纵坐标满足就称点为点的“新联点”. 例3【方法提炼】（3）求的最值，先表示.利用“新联点”的定义得出，的纵坐标，又利用了平行于轴的直线上两点间的距离，要分类讨论，以防遗漏.最后需分开写出线段的最大值，不可以合二为一. （1） 请直接写出点的“新联点”的坐标； （2） 如果点在函数的图象上，其“新联点”与点重合，求点的坐标； （3） 如果点的“新联点”在函数的图象上，当时，求线段的最大值. 【答案】 （1） 解：，根据“新联点”的定义， ， 点 的“新联点”的坐标为； （2） 点 在函数 的图象上， 设点 的坐标为. ，根据“新联点”的定义，点 的坐标为. 又 点 与点 重合， ，解得， 点 的坐标为； （3） 第一种情况：当 时，点 的坐标为. 点 在函数 的图象上， ，， ，， . ①当 时，， ， 当 时，线段 的最大值是； ②当 时，， ， 当 时，线段 的最大值是14. 第二种情况：当 时，点 的坐标为. 点 在函数 的图象上， ，即， ，， . ，， 当 时，线段 的最大值是2. 综上所述，当 时，线段 的最大值是14；当 时，线段 的最大值是2. 链接中考 1．[2023·兰州]已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是 D. 函数的最小值是 【答案】C 2．[2024·包头]将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 3．[2023·大连]已知二次函数，当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 4．[2024·眉山]定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 5．[2024·内江]已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则____（填“ ”或“ ”）. 【答案】 6．[2023·宁波]如图，已知二次函数的图象经过点，. （1） 求该二次函数的解析式及图象的顶点坐标； （2） 当时，请根据图象直接写出的取值范围. 【答案】 （1） 解： 二次函数 的图象经过点 和， 解得 二次函数的解析式为， 其图象的顶点坐标为； （2） 当 时，， 解得，， 当 时，的取值范围是. 板书设计 第十七课时 二次函数及其图象 知识网络 二次函数的性质 二次函数的平移 作业设计与布置 教学评价与反思 学科网（北京）股份有限公司 $$