专题03 第三单元圆柱与圆锥-等积变形-2024-2025学年六年级下册数学计算大通关（人教版）

2024-2025学年六年级下册数学计算大通关 第三单元圆柱与圆锥·等积变形 本专题单元讲义，包含四大内容： 1、 常用知识点梳理：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、 易错提示：对学习中的高频易错点进行总结和归纳并提出应对策略。 3、典例分析：选取典型例题进行分析，让学生学习解题的方法、过程和知识点的运用。 4、专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 目录 常用知识点 3 体积的等积变形 3 基本关系式 3 圆柱、圆锥的体积关系 3 立体图形的表面积、体积计算公式汇总 3 易错提示 4 典例分析 5 专题突破 6 突破点一：熔铸、锻造问题 6 突破点二：倒水问题（容器中的水互相转移） 8 突破点三：容器倒置（圆柱圆锥组合体） 10 常用知识点 1． 体积的等积变形 在实际生活中有些物质如金属、橡皮泥、或装在容器里的液体等，可通过熔铸、锻造、重塑或更换容器等改变原来的形状，在这个变换的过程中物体的形状发生了变化，体积不变。 解题关键：形状改变，体积不变。 2． 基本关系式：变形前的体积 = 变形后的体积。 3． 圆柱、圆锥的体积关系 情形 关系 圆柱与圆锥 等底等高 圆柱体积是圆锥体积的3倍。 和差问题：圆柱和圆锥的体积之差是圆锥体积的2倍； 圆柱和圆锥的体积之和是圆锥体积的4倍。 或 圆锥体积是圆柱体积的（圆锥体积比圆柱体积少）； 或 V锥∶V柱=1∶3 圆柱与圆锥 等底等体积 圆锥的高是圆柱高的3倍； 或 h锥∶h柱=3∶1 圆柱与圆锥 等高等体积 圆锥的底面积是圆柱的3倍； 或 S锥∶S柱=3∶1 【易错提示】：是底面积，不是底面半径。 4． 立体图形的表面积、体积计算公式汇总 名称 图形 表面积公式 体积公式 长方体 表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 S表=2（ab+ah+bh） 体积=长×宽×高；V=abh 体积=底面积×高；V=Sh 正方体 表面积=棱长×棱长×6 S表=6a² 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a=a³ 圆柱 圆柱表面积=侧面积+底面积×2 直接计算→S表=Ch+2πr²； 利用底面半径→S表=2πrh+2πr²； 利用底面直径→S表=πdh+2π（）²； 利用底面周长→S表=Ch+2π（）²。 圆柱体积=底面积×高 直接计算→V柱=Sh； 利用底面半径→V柱=πr²h； 利用底面直径→V柱=π（）² h； 利用底面周长→V柱=π（）² h； 利用圆柱侧面积→V柱=S侧÷2×r。 圆锥 圆锥体积=×底面积×高 直接计算→V锥=Sh； 利用底面半径→V锥=πr²h； 利用底面直径→V锥=π（）² h； 利用底面周长→V锥=π（）² h。 易错提示 误认为圆柱锻造成圆锥，体积缩小到圆柱体积的。 规避策略：把一个物体锻造成其他形状的物体时，体积前后不变。 例1：（判断）把一个底面积是9.42平方厘米的圆柱形实心铁块，锻造成一个与它高相等的实心圆锥，圆锥的底面积是3.14平方厘米。（ × ） 【答案】：× 【分析】：锻造前后体积不变，因此V柱=V锥。 由题可知，锻造成一个与它高相等的实心圆锥，根据“等高等体积的圆柱与圆锥，圆锥底面积是圆柱底面积的3倍”，圆锥底面积是9.42×3=28.26（cm²）。原题干说法错误，答案为：×。 例2：手工课上，果果用一块75.36立方厘米的圆柱形橡皮泥，捏成一个高是9厘米的圆锥，它的体积是（ 75.36 ）立方厘米，底面积是（ 25.12 ）平方厘米。 【答案】：75.36；25.12 【分析】：由题可知，同一块橡皮泥从圆柱形捏成一个圆锥，形状改变，体积不变，因此捏成的圆锥体积等于圆柱体积，仍是75.36cm³；已知圆锥体积和高，求底面积，根据“V=Sh”可知，S=3V÷h，代入数据计算，则圆锥底面积是75.36×3÷9=25.12（cm²）。 典例分析 例1：将下面的长方体铁块熔铸成一个圆柱，这个圆柱的高是多少分米？（单位：分米） 【答案】：2.5分米 【分析】：熔铸前后体积不变，则V长=V柱。根据题目已知条件先算出长方体体积，再利用圆柱体积计算公式“V=Sh”求出圆柱的高。 长方体长15.7dm，宽6dm，高3dm，代入“V=abh”，则V长=V柱=15.7×6×3=282.6（dm³）； V柱=Sh，则h=V柱÷S，其中： 圆柱底面直径12dm，根据“S底=πr²”，则S底=3.14×（12÷2）²=113.04（dm²）； h=282.6÷113.04=2.5（dm），所以这个圆柱的高是2.5分米。 【解】：长方体（圆柱）体积：15.7×6×3=282.6（dm³） 圆柱底面积：3.14×（12÷2）²=113.04（dm²） 圆柱的高：282.6÷113.04=2.5（dm） 答：这个圆柱的高是2.5分米。 例2：有一个下面是圆柱体，上面是圆锥体的容器，如图，圆柱体的高度是10厘米，圆锥体的高度是6厘米，容器内液面的高度是7厘米，当将这个容器倒过来时，从圆锥的尖到液面的高是（ 11 ）厘米。 【答案】：11 【分析】：利用圆柱、圆锥的体积关系解答。 容器倒置前后，液体体积不变。容器由两部分组成，上面圆锥下面圆柱，且圆锥、圆柱等底。 容器倒放时，圆柱内的液体流入圆锥。圆锥高6cm，根据“等底等体积的圆柱与圆锥，圆柱高是圆锥高的”，6×=2（cm），也就是圆柱内高2cm的液体正好能装满圆锥部分。 圆锥部分装满后，剩余的液体仍在圆柱中，因此圆柱内液体高度是7-2=5（cm）。 求从圆锥的尖到液面的高度，包含圆锥的6cm和圆柱内的5cm，合计6+5=11（cm）。 【提示】：此类题目根据圆柱、圆锥的的体积关系解答，抓住圆柱、圆锥等底这一条件，求出等底等体积下，圆锥转化为圆柱后对应的高。 专题突破 突破点一：熔铸、锻造问题 1． 一个圆柱的体积是62.8立方分米，把它锻造成一个高为12分米的圆锥，圆锥的底面积是（ ）平方分米。 2． 铁制实心圆柱和铁制实心圆锥等底等高，它们的体积差是800立方厘米。如果将这两个物体熔铸成底面积是100平方厘米的长方体，则长方体的高是（ ）厘米；如果熔铸成高20厘米的长方体，则长方体的底面积是（ ）平方厘米。 3． 聪聪在玩橡皮泥，他先把橡皮泥捏成了一个底面积是4cm²，高是6cm的圆锥，然后又把它揉成一团，重新用这团橡皮泥捏成一个长方体，如果捏成的长方体长为8厘米，宽和高分别可能是（ ）cm和（ ）cm。 4． 把一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体和一块棱长是5厘米的正方体铁块熔铸成一个圆柱，它的底面半径是4厘米，圆柱的高是多少厘米？这个圆柱重多少克？（每立方厘米铁重7.8克） 5． 如图，一个实心圆柱形铁块的高是10cm，如果把它切成两个相同的半圆柱，表面积就增加了160cm²，如果把这个圆柱锻造成一个底面半径是5cm的实心圆锥形铅锤，这个铅锤的高是多少厘米？ 6． 把一个底面半径是6厘米，高比底面半径多的圆柱形铁块熔铸成一个底面半径是圆柱底面半径的的圆锥形铁块，熔铸成的圆锥形铁块的高是多少厘米？ 7． 要铸造一个零件毛坯，其上部是底面直径为6cm、高是2cm的圆锥体；下部是直径和高度都是6cm的圆柱体。问需要熔解多长截面边长为4cm的正方形长方体钢锭？（精确到1cm） 突破点二：倒水问题（容器中的水互相转移） 1． 甲圆柱体容器是空的，乙长方体容器中水深6.28厘米，要将容器乙中的水全部倒入甲容器，这时水深（ ）厘米；如果倒入与这个圆柱底面积之比是5∶1的圆锥形容器中水面高（ ）厘米。 2． 先将一个底面积是60厘米²、高是15厘米的圆柱形水槽注满水，再将水倒入底面积是100厘米²、高是30厘米的圆锥形容器中，这个圆锥形容器能装下这些水吗？（水槽和圆锥形容器的厚度忽略不计） 3． 沙漏是古人用的一种计时仪器。下面这个沙漏里（装满沙子，如下图）的沙子一点点漏入下面空的长方体木盒中，若沙子漏完了，则在长方体木盒中会平铺上大约多少厘米厚的沙子？（得数保留两位小数） 4． 中国古代的计时工具有日晷、沙漏、漏刻等。小明制作了简易的滴水计时器（如图）。经过测量，上方漏斗形容器每分钟滴水80滴（20滴水约为1毫升）。小明某日9：00量得下方圆柱形容器中水面的高度为2厘米。一段时间后再量，下方圆柱形容器中水面高度上升至6厘米。请问此时大约是什么时间？（π取近似值3） 5． 一个圆锥形的沙堆，底面积是113.04平方米，高是2.4米，用这堆沙子在10米宽的公路上铺6厘米厚的路面，能铺多少米？ 6． 一个近似圆锥形的麦堆占地面积是25.12m²，高1.8m。把这堆小麦装在一个底面半径是2m，高是3m的圆柱形粮囤里，顶部抹平后，小麦离粮囤顶部有多少米？ 突破点三：容器倒置（圆柱圆锥组合体） 1． 有一个下面是圆柱形、上面是圆锥形的容器（如下图是容器的纵截面），圆柱底面积是100cm²，圆柱的高是10cm，圆锥的高是4.2cm，容器液面高4.2cm。将这个容器倒过来，从圆锥的顶点到液面的距离是多少厘米？（π取3） 2． 如图，一个由圆柱和圆锥组成的容器，内水深8厘米，圆柱高10厘米，圆锥高3厘米。将这个容器上下颠倒固定放置后，从圆锥的尖端到水面的高度是多少厘米？ 3． 如图，一个由圆柱和圆锥组合而成的水箱，现将水箱上下倒置后，水面高度是多少厘米？下面列式正确的有（     ）。 ( ① （ 3.14×4 2 ×3 ＋ 3.14×4 2 ×9× ） ÷ （ 3.14×4 2 ） ② （ 3.14×4 2 ×3 ＋ 3.14×4 2 ×9 ） ÷ （ 3.14×4 2 ） ③3 ＋ 9× ④3.14×4 2 × （ 3 ＋ 9× ） ) A．①③ B．①③④ C．②③ D．②③④ 4． 如图，有一个下面是圆锥、上面是圆柱的容器，圆锥的高是6cm，圆柱的高是8cm，从圆锥的尖到容器里的液面高是11cm。当将这个容器倒过来放平时，容器里的液面高是（ ）厘米。 5． 一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱的底面直径和高都是14厘米，其中有一些水，正放时水面离容器顶部11厘米，倒放时水面离容器顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（π=3） ( 第 1 页 共 1 页 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级下册数学计算大通关 第三单元圆柱与圆锥·等积变形 本专题单元讲义，包含四大内容： 1、 常用知识点梳理：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、 易错提示：对学习中的高频易错点进行总结和归纳并提出应对策略。 3、典例分析：选取典型例题进行分析，让学生学习解题的方法、过程和知识点的运用。 4、专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 目录 常用知识点 3 体积的等积变形 3 基本关系式 3 圆柱、圆锥的体积关系 3 立体图形的表面积、体积计算公式汇总 3 易错提示 4 典例分析 5 专题突破 6 突破点一：熔铸、锻造问题 6 突破点二：倒水问题（容器中的水互相转移） 10 突破点三：容器倒置（圆柱圆锥组合体） 13 常用知识点 1． 体积的等积变形 在实际生活中有些物质如金属、橡皮泥、或装在容器里的液体等，可通过熔铸、锻造、重塑或更换容器等改变原来的形状，在这个变换的过程中物体的形状发生了变化，体积不变。 解题关键：形状改变，体积不变。 2． 基本关系式：变形前的体积 = 变形后的体积。 3． 圆柱、圆锥的体积关系 情形 关系 圆柱与圆锥 等底等高 圆柱体积是圆锥体积的3倍。 和差问题：圆柱和圆锥的体积之差是圆锥体积的2倍； 圆柱和圆锥的体积之和是圆锥体积的4倍。 或 圆锥体积是圆柱体积的（圆锥体积比圆柱体积少）； 或 V锥∶V柱=1∶3 圆柱与圆锥 等底等体积 圆锥的高是圆柱高的3倍； 或 h锥∶h柱=3∶1 圆柱与圆锥 等高等体积 圆锥的底面积是圆柱的3倍； 或 S锥∶S柱=3∶1 【易错提示】：是底面积，不是底面半径。 4． 立体图形的表面积、体积计算公式汇总 名称 图形 表面积公式 体积公式 长方体 表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 S表=2（ab+ah+bh） 体积=长×宽×高；V=abh 体积=底面积×高；V=Sh 正方体 表面积=棱长×棱长×6 S表=6a² 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a=a³ 圆柱 圆柱表面积=侧面积+底面积×2 直接计算→S表=Ch+2πr²； 利用底面半径→S表=2πrh+2πr²； 利用底面直径→S表=πdh+2π（）²； 利用底面周长→S表=Ch+2π（）²。 圆柱体积=底面积×高 直接计算→V柱=Sh； 利用底面半径→V柱=πr²h； 利用底面直径→V柱=π（）² h； 利用底面周长→V柱=π（）² h； 利用圆柱侧面积→V柱=S侧÷2×r。 圆锥 圆锥体积=×底面积×高 直接计算→V锥=Sh； 利用底面半径→V锥=πr²h； 利用底面直径→V锥=π（）² h； 利用底面周长→V锥=π（）² h。 易错提示 误认为圆柱锻造成圆锥，体积缩小到圆柱体积的。 规避策略：把一个物体锻造成其他形状的物体时，体积前后不变。 例1：（判断）把一个底面积是9.42平方厘米的圆柱形实心铁块，锻造成一个与它高相等的实心圆锥，圆锥的底面积是3.14平方厘米。（ × ） 【答案】：× 【分析】：锻造前后体积不变，因此V柱=V锥。 由题可知，锻造成一个与它高相等的实心圆锥，根据“等高等体积的圆柱与圆锥，圆锥底面积是圆柱底面积的3倍”，圆锥底面积是9.42×3=28.26（cm²）。原题干说法错误，答案为：×。 例2：手工课上，果果用一块75.36立方厘米的圆柱形橡皮泥，捏成一个高是9厘米的圆锥，它的体积是（ 75.36 ）立方厘米，底面积是（ 25.12 ）平方厘米。 【答案】：75.36；25.12 【分析】：由题可知，同一块橡皮泥从圆柱形捏成一个圆锥，形状改变，体积不变，因此捏成的圆锥体积等于圆柱体积，仍是75.36cm³；已知圆锥体积和高，求底面积，根据“V=Sh”可知，S=3V÷h，代入数据计算，则圆锥底面积是75.36×3÷9=25.12（cm²）。 典例分析 例1：将下面的长方体铁块熔铸成一个圆柱，这个圆柱的高是多少分米？（单位：分米） 【答案】：2.5分米 【分析】：熔铸前后体积不变，则V长=V柱。根据题目已知条件先算出长方体体积，再利用圆柱体积计算公式“V=Sh”求出圆柱的高。 长方体长15.7dm，宽6dm，高3dm，代入“V=abh”，则V长=V柱=15.7×6×3=282.6（dm³）； V柱=Sh，则h=V柱÷S，其中： 圆柱底面直径12dm，根据“S底=πr²”，则S底=3.14×（12÷2）²=113.04（dm²）； h=282.6÷113.04=2.5（dm），所以这个圆柱的高是2.5分米。 【解】：长方体（圆柱）体积：15.7×6×3=282.6（dm³） 圆柱底面积：3.14×（12÷2）²=113.04（dm²） 圆柱的高：282.6÷113.04=2.5（dm） 答：这个圆柱的高是2.5分米。 例2：有一个下面是圆柱体，上面是圆锥体的容器，如图，圆柱体的高度是10厘米，圆锥体的高度是6厘米，容器内液面的高度是7厘米，当将这个容器倒过来时，从圆锥的尖到液面的高是（ 11 ）厘米。 【答案】：11 【分析】：利用圆柱、圆锥的体积关系解答。 容器倒置前后，液体体积不变。容器由两部分组成，上面圆锥下面圆柱，且圆锥、圆柱等底。 容器倒放时，圆柱内的液体流入圆锥。圆锥高6cm，根据“等底等体积的圆柱与圆锥，圆柱高是圆锥高的”，6×=2（cm），也就是圆柱内高2cm的液体正好能装满圆锥部分。 圆锥部分装满后，剩余的液体仍在圆柱中，因此圆柱内液体高度是7-2=5（cm）。 求从圆锥的尖到液面的高度，包含圆锥的6cm和圆柱内的5cm，合计6+5=11（cm）。 【提示】：此类题目根据圆柱、圆锥的的体积关系解答，抓住圆柱、圆锥等底这一条件，求出等底等体积下，圆锥转化为圆柱后对应的高。 专题突破 突破点一：熔铸、锻造问题 1． 一个圆柱的体积是62.8立方分米，把它锻造成一个高为12分米的圆锥，圆锥的底面积是（ 15.7 ）平方分米。 【答案】：15.7 【分析】：锻造前后体积不变，则V柱=V锥。 由题可知，圆柱的体积，也就是圆锥的体积是62.8dm³，且圆锥高12dm，已知圆锥体积和高，求底面积，根据“V=Sh”，则S=3V÷h=62.8×3÷12=15.7（dm²）。 2． 铁制实心圆柱和铁制实心圆锥等底等高，它们的体积差是800立方厘米。如果将这两个物体熔铸成底面积是100平方厘米的长方体，则长方体的高是（ 16 ）厘米；如果熔铸成高20厘米的长方体，则长方体的底面积是（ 80 ）平方厘米。 【答案】：16；80 【分析】：熔铸前后体积不变。圆柱和圆锥熔铸成长方体，则V柱+V锥=V长。 由题可知，圆柱和圆锥等底等高，根据“等底等高的圆柱与圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍”，则V柱=3V锥。 已知圆柱、圆锥体积差是800cm³，V柱-V锥=3V锥-V锥=800，则V锥=800÷（3-1）=400（cm³）； V长=V柱+V锥=3V锥+V锥=400×（3+1）=1600（cm³）。 已知长方体体积和底面积100cm²，求长方体的高，根据“V=Sh”，则h=V÷S=1600÷100=16（cm），所以长方体的高是16cm； 已知长方体体积和高20cm，求底面积，根据“V=Sh”，则S=V÷h=1600÷20=80（cm²），所以长方体的底面积是80cm²。 3． 聪聪在玩橡皮泥，他先把橡皮泥捏成了一个底面积是4cm²，高是6cm的圆锥，然后又把它揉成一团，重新用这团橡皮泥捏成一个长方体，如果捏成的长方体长为8厘米，宽和高分别可能是（ 1 ）cm和（ 1 ）cm。 【答案】：1；1（答案不唯一） 【分析】：用同一块橡皮泥先后捏成圆锥和长方体，橡皮泥体积不变，因此V锥=V长。 由题可知，圆锥底面积4cm²，高6cm，代入“V=Sh”，则V锥=V长=×4×6=8（cm³）； 已知捏成的长方体体积和长，根据“V=Sh”，则S=V÷h=8÷8=1（cm²），也就是（宽×高）的乘积是1，1×1=1，所以宽和高分别可能是1cm和1cm。（答案不唯一） 4． 把一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体和一块棱长是5厘米的正方体铁块熔铸成一个圆柱，它的底面半径是4厘米，圆柱的高是多少厘米？这个圆柱重多少克？（每立方厘米铁重7.8克） 【答案】：6.25厘米；2449.2克 【分析】：熔铸前后体积不变，则V长+V正=V柱。 根据题目已知条件算出长、正方体体积之和，再利用“V=πr²h”求出圆柱的高。 由题可知，长方体长、宽、高分别是9cm、7cm和3cm，正方体棱长是5cm，代入“V=abh、V=a³”，则V长+V正=V柱=9×7×3+5³=314（cm³）； 已知圆柱体积和底面半径，求高，根据“V=πr²h”，则h=V÷π÷r²=314÷3.14÷4²=6.25（cm），所以圆柱的高是6.25厘米。 求圆柱重多少克，圆柱重量=圆柱体积×每立方厘米重量，则圆柱重7.8×314=2449.2（g）。 【解】：圆柱体积：9×7×3+5³=314（cm³） 圆柱的高：314÷3.14÷4²=6.25（cm） 圆柱重：7.8×314=2449.2（g） 答：圆柱的高是6.25厘米，这个圆柱重2449.2克。 5． 如图，一个实心圆柱形铁块的高是10cm，如果把它切成两个相同的半圆柱，表面积就增加了160cm²，如果把这个圆柱锻造成一个底面半径是5cm的实心圆锥形铅锤，这个铅锤的高是多少厘米？ 【答案】：19.2 【分析】：锻造前后体积不变，则V柱=V锥。求圆锥的高，已知底面半径，根据“V=πr²h”，h=3V÷π÷r²，关键在于算出圆锥体积。 由题可知，一个圆柱沿底面直径切成两个相同的半圆柱，表面积增加2个以底面直径和高为相邻两边的长方形面积，即2dh=160cm²，其中h=10cm，则d=160÷2÷10=8（cm）； 已知底面直径和高，求圆柱体积，代入“V=π（）²h”，则V柱=V锥=π×（8÷2）²×10=160π（cm³）； 已知圆锥体积和底面半径，求圆锥的高，代入“h=3V÷π÷r²”，则h=160π×3÷π÷5²=19.2（cm）。 【解】：圆柱底面直径：160÷2÷10=8（cm） 圆柱（圆锥）体积：π×（8÷2）²×10=160π（cm³） 圆锥的高：160π×3÷π÷5²=19.2（cm） 答：这个铅锤的高是19.2厘米。 6． 把一个底面半径是6厘米，高比底面半径多的圆柱形铁块熔铸成一个底面半径是圆柱底面半径的的圆锥形铁块，熔铸成的圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】：54 【分析】：熔铸前后体积不变，则V柱=V锥。 由题可知，圆柱底面半径6cm，且高比底面半径多，圆柱的高是底面半径的（1+），则圆柱的高是6×（1+）=8（cm）； 已知圆柱底面半径和高，求体积，代入“V=πr²h”，则V柱=V锥=π×6²×8=288π（cm³）； 圆锥底面半径是圆柱底面半径的，则圆锥底面半径是6×=4（cm）； 已知圆锥体积和底面半径，求高，根据“V=πr²h”可知，h=3V÷π÷r²，则圆锥的高=288π×3÷π÷4²=54（cm）。 【解】：圆柱的高：6×（1+）=8（cm） 铁块体积：π×6²×8=288π（cm³） 圆锥底面半径：6×=4（cm） 圆锥的高：288π×3÷π÷4²=54（cm） 答：熔铸成的圆锥形铁块的高是54厘米。 7． 要铸造一个零件毛坯，其上部是底面直径为6cm、高是2cm的圆锥体；下部是直径和高度都是6cm的圆柱体。问需要熔解多长截面边长为4cm的正方形长方体钢锭？（精确到1cm） 【答案】：12厘米 【分析】：由题可知，熔解长方体钢锭后铸造一个上圆锥下圆柱的零件毛坯，前后体积不变，即V长=V锥+V柱。 长方体钢锭，已知截面是边长4cm的正方形，即底面积是（4×4）cm²，求需要多长，也就是求长方体的高，根据“V=Sh”可知，h=V÷S，关键要算出长方体的体积。 由图可知，铸造的零件，圆柱、圆锥底面直径都是6cm，圆锥高2cm、圆柱高6cm，可得： 代入“V=π（）²h”，则V锥=×3.14×（6÷2）²×2=18.84（cm³）； 代入“V=π（）²h”，则V柱=3.14×（6÷2）²×6=169.56（cm³）； 所以，V长=V锥+V柱=18.84+169.56=188.4（cm³）。 已知长方体体积和底面积，求高，代入“h=V÷S”，需要熔解的长度是188.4÷（4×4）≈12（cm）。 【解】：圆锥体积：×3.14×（6÷2）²×2=18.84（cm³） 圆柱体积：3.14×（6÷2）²×6=169.56（cm³） 需要钢锭：18.84+169.56=188.4（cm³） 长度：188.4÷（4×4）≈12（cm） 答：需要熔解12cm。 突破点二：倒水问题（容器中的水互相转移） 1． 甲圆柱体容器是空的，乙长方体容器中水深6.28厘米，要将容器乙中的水全部倒入甲容器，这时水深（ 8 ）厘米；如果倒入与这个圆柱底面积之比是5∶1的圆锥形容器中水面高（ 4.8 ）厘米。 【答案】：8；4.8 【分析】：水前后体积不变。 （1）由图可知，水体积相当于1个长10cm、宽10cm、高6.28cm的长方体体积，根据“V=abh”，则水体积是10×10×6.28=628（cm³）； 将这些水倒入甲圆柱形容器，已知体积和底面半径，求水深，即圆柱的高。根据“V=πr²h”，则h=V÷π÷r²=628÷3.14÷5²=8（cm），所以将容器乙中的水全部倒入甲容器水深8cm； （2） 倒入与圆柱底面积之比是5∶1的圆锥形容器，即S锥=5S柱。 水前后体积不变，也就是V柱=V锥，根据圆柱、圆锥体积计算公式，可得： V柱=S柱×h柱； V锥=S锥×h锥=×5S柱×h锥=S柱×h锥； 综上，可得：S柱×h柱=S柱×h锥，则h柱=h锥，h锥=h柱÷=8÷=4.8（cm），所以圆锥形容器中水面高4.8cm。 2． 先将一个底面积是60厘米²、高是15厘米的圆柱形水槽注满水，再将水倒入底面积是100厘米²、高是30厘米的圆锥形容器中，这个圆锥形容器能装下这些水吗？（水槽和圆锥形容器的厚度忽略不计） 【答案】：能装下 【分析】：水从圆柱形容器倒入圆锥形容器，前后体积不变。 由题可知，圆柱形水槽注满水，则V水=V柱；再将这些水倒入圆锥形容器，若V锥≥V柱，说明能装下，反之不能。 圆柱底面积60cm²、高15cm，代入“V=Sh”，则V柱=V水=60×15=900（cm³）； 水倒入底面积100cm²，高30cm的圆锥形容器，代入“V=Sh”，则V锥=×100×30=1000（cm³）； 因900＜1000，所以这个圆锥形容器能装下这些水。 【解】：60×15=900（cm³） 圆锥形容器容积：×100×30=1000（cm³） 因900＜1000，所以这个圆锥形容器能装下这些水。 答：这个圆锥形容器能装下这些水。 3． 沙漏是古人用的一种计时仪器。下面这个沙漏里（装满沙子，如下图）的沙子一点点漏入下面空的长方体木盒中，若沙子漏完了，则在长方体木盒中会平铺上大约多少厘米厚的沙子？（得数保留两位小数） 【答案】：0.52 【分析】：沙子从圆锥流入长方体，沙子的体积不变。 由题可知，沙漏装满沙子，则沙子的体积也就是底面直径10cm、高12cm的圆锥体积，代入“V=π（）² h”，则沙子体积是×3.14×（10÷2）²×12=314（cm³）； 这些沙子漏到长方体中，体积不变，且长方体底面积是（30×20）cm²，求平铺厚度，也就是求高，根据“V=Sh”，h=V÷S，所以在长方体木盒中平铺厚度是314÷（30×20）≈0.52（cm）。 4． 中国古代的计时工具有日晷、沙漏、漏刻等。小明制作了简易的滴水计时器（如图）。经过测量，上方漏斗形容器每分钟滴水80滴（20滴水约为1毫升）。小明某日9：00量得下方圆柱形容器中水面的高度为2厘米。一段时间后再量，下方圆柱形容器中水面高度上升至6厘米。请问此时大约是什么时间？（π取近似值3） 【答案】：14∶00 【分析】：一段时间后，下方圆柱容器水面高度从2cm上升至6cm，所以这段时间的漏水量相当于1个底面直径20cm，高（6-2）cm的圆柱体积。 代入“V=π（）² h”，则这段时间的漏水总量=3×（20÷2）²×（6-2）=1200（cm³），1200cm³=1200ml； 由题可知，20滴水为1毫升，且每分钟滴80滴，则每分钟漏水量=80÷20×1=4（ml）； 时间=漏水总量÷每分钟漏水量=1200÷4=300（分钟）； 300分钟=300÷60=5（小时），从9∶00经过5小时，此时大约是9时+5小时=14时。 【解】：漏水总量：3×（20÷2）²×（6-2）=1200（cm³），1200cm³=1200ml 每分钟漏水量：80÷20×1=4（ml） 滴漏时间：1200÷4=300（分钟），300分钟=5时 9时+5小时=14时 答：此时大约是14:00。 5． 一个圆锥形的沙堆，底面积是113.04平方米，高是2.4米，用这堆沙子在10米宽的公路上铺6厘米厚的路面，能铺多少米？ 【答案】：150.72米 【分析】：沙子前后体积不变，则V锥=V沙=V长。根据题目已知条件算出圆锥，也就是沙子的体积，再利用长方体体积计算公式“V=abh”求出长方体的长，即铺的米数。 已知圆锥底面积和高，代入“V=Sh”，则V锥=V长=×113.04×2.4=90.432（m³）； 用这堆沙子在10米宽的公路上铺6厘米厚的路面，即长方体宽10m，高6cm，6cm=0.06m，求能铺多少米，也就是求长方体的长，代入“a=V÷b÷h”，则能铺90.432÷10÷0.06=150.72（m）。 【解】：沙子体积：×113.04×2.4=90.432（m³） 6cm=0.06m 能铺米数：90.432÷10÷0.06=150.72（m） 答：能铺150.72米。 6． 一个近似圆锥形的麦堆占地面积是25.12m²，高1.8m。把这堆小麦装在一个底面半径是2m，高是3m的圆柱形粮囤里，顶部抹平后，小麦离粮囤顶部有多少米？ 【答案】：1.8 【分析】：麦子体积前后不变，V锥=V麦=V柱。根据题目已知条件算出圆锥，也就是麦子的体积，再利用圆柱体积计算公式“V=πr²h”求出小麦装入圆柱后的高，用圆柱总高3m减去小麦的高就是小麦离粮囤顶部的距离。 已知圆锥占地面积，即底面积和高，代入“V=Sh”，则V锥=V柱=×25.12×1.8=15.072（m³）； 已知圆柱体积和底面半径，求高，根据“V=πr²h”，h=V÷r²÷π，则麦堆倒入圆柱形粮囤后高是15.072÷2²÷3.14=1.2（m）； 已知圆柱形粮囤总高3m，倒入的麦堆高1.2m，距离粮囤顶部有3-1.2=1.8（m）。 【解】：麦堆体积：×25.12×1.8=15.072（m³） 麦堆倒入粮囤后的高：15.072÷2²÷3.14=1.2（m） 离粮囤顶部：3-1.2=1.8（m） 答：顶部抹平后，小麦离粮囤顶部有1.8米。 突破点三：容器倒置（圆柱圆锥组合体） 1． 有一个下面是圆柱形、上面是圆锥形的容器（如下图是容器的纵截面），圆柱底面积是100cm²，圆柱的高是10cm，圆锥的高是4.2cm，容器液面高4.2cm。将这个容器倒过来，从圆锥的顶点到液面的距离是多少厘米？（π取3） 【答案】：7厘米 【分析】：利用圆柱、圆锥的体积关系解答。 容器倒置前后，容器内液体体积不变。容器由两部分组成，上面圆锥下面圆柱，且圆锥、圆柱等底。 容器倒放时，圆柱内的液体流入圆锥。圆锥高4.2cm，根据“等底等体积的圆柱与圆锥，圆柱高是圆锥高的”，4.2×=1.4（cm），也就是圆柱内高1.4cm的液体正好能装满圆锥部分。 圆锥部分装满后，剩余的液体仍在圆柱中，圆柱内液体高度是4.2-1.4=2.8（cm）。 求从圆锥的顶点到液面的距离，包含圆锥的4.2cm和圆柱内的2.8cm，合计4.2+2.8=7（cm）。 【提示】：此题关键是找出圆锥内4.2cm的液体相当于圆柱内高1.4cm的液体体积。 【解】：4.2×=1.4（cm） 圆柱内高度：4.2-1.4=2.8（cm） 圆锥顶点到液面距离：4.2+2.8=7（cm） 答：从圆锥的顶点到液面的距离是7厘米。 2． 如图，一个由圆柱和圆锥组成的容器，内水深8厘米，圆柱高10厘米，圆锥高3厘米。将这个容器上下颠倒固定放置后，从圆锥的尖端到水面的高度是多少厘米？ 【答案】：10厘米 【分析】：利用圆柱、圆锥的体积关系解答。 容器倒置前后，水体积不变。容器由两部分组成，上面圆锥下面圆柱，且圆锥、圆柱等底。 容器倒放时，圆柱内的液体流入圆锥。圆锥高3cm，根据“等底等体积的圆柱与圆锥，圆柱高是圆锥高的”，3×=1（cm），也就是圆柱内高1cm的水正好能装满圆锥部分。 圆锥部分装满后，剩余的液体仍在圆柱中，因此圆柱内液体高度是8-1=7（cm）。 求从圆锥的尖到液面的高度，包含圆锥的3cm和圆柱内的7cm，合计3+7=10（cm）。 【解】：3×=1（cm） 圆柱内高度：8-1=7（cm） 圆锥尖端到水面高度：3+7=10（cm） 答：从圆锥的尖端到水面的高度是10厘米。 3． 如图，一个由圆柱和圆锥组合而成的水箱，现将水箱上下倒置后，水面高度是多少厘米？下面列式正确的有（   A   ）。 ( ① （ 3.14×4 2 ×3 ＋ 3.14×4 2 ×9× ） ÷ （ 3.14×4 2 ） ② （ 3.14×4 2 ×3 ＋ 3.14×4 2 ×9 ） ÷ （ 3.14×4 2 ） ③3 ＋ 9× ④3.14×4 2 × （ 3 ＋ 9× ） ) A．①③ B．①③④ C．②③ D．②③④ 【答案】：A 【分析】：水箱倒置前后，水体积不变。由题可知，水箱由两部分组成，上面圆柱下面圆锥，且圆柱、圆锥等底。 方法1：先算出水箱内的水体积，水箱倒放后，水体积相当于1个底面半径4dm的圆柱，已知体积和底面半径，求高，代入“h=V÷π÷r²”计算即可。 水体积包含两部分：一是底面半径4dm、高9dm的圆锥；二是底面半径4dm、高3dm的圆柱，根据“V=πr² h、V=πr² h”，可得：水体积=×3.14×4²×9+×3.14×4²×3； 倒放后，水体积相当于1个底面半径4dm的圆柱，根据“V=πr²h”可知，h=V÷π÷r²，代入计算，水面高度=（×3.14×4²×9+×3.14×4²×3）÷（3.14×4²），故列式①正确； 方法2：容器正放时，圆锥装满，且圆柱内有高3dm的液体； 容器倒放时，圆柱内高3dm的液体不变，圆锥内的液体流入圆柱。圆锥高9dm，根据“等底等体积的圆柱与圆锥，圆柱高是圆锥高的”，9×=3（dm），也就是圆锥内高9dm的液体全部流入圆柱，圆柱液面高增加3dm，加上原有的3dm，倒置后水面高度=3+9×，故列式③正确。 综上，列式①③正确，故选A。 列式②在计算圆锥体积时，漏乘；列式④计算的是水体积，而不是水面高度。 4． 如图，有一个下面是圆锥、上面是圆柱的容器，圆锥的高是6cm，圆柱的高是8cm，从圆锥的尖到容器里的液面高是11cm。当将这个容器倒过来放平时，容器里的液面高是（ 7 ）厘米。 【答案】：7 【分析】：容器倒置前后，水体积不变。由题可知，水箱由两部分组成，上面圆柱下面圆锥，且圆柱、圆锥等底。 容器正放时，圆锥部分装满后，剩余的液体在圆柱中，圆柱内液体高度是11-6=5（cm）； 容器倒放时，圆锥内的液体流入圆柱。根据“等底等体积的圆柱与圆锥，圆柱高是圆锥高的”，6×=2（cm），也就是圆锥内高6cm的液体全部流入圆柱，圆柱液面高增加2cm。 圆柱内液面原高5cm，增加2cm后，现高是5+2=7（cm），7＜8，说明容器倒放时，圆柱部分未装满。所以，容器里的液面高是7厘米。 【提示】：此题关键是找出圆锥内6cm的液体相当于圆柱内高度为2cm的液体体积。 5． 一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱和一个圆锥组成，圆柱的底面直径和高都是14厘米，其中有一些水，正放时水面离容器顶部11厘米，倒放时水面离容器顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（π=3） 【答案】：2499立方厘米 【分析】：求容器容积，V容=V柱+V锥。 已知圆柱的底面直径和高，且圆锥与圆柱等底，因此关键在于算出圆锥的高。 容器的容积一定，容器中的水体积不变，因此无论正放还是倒放，空余部分的体积也不变。 如下图所示，可得：①+②=③ 设圆锥的高为h厘米，则： ①：将其转化成等底等体积的圆柱，根据“等底等体积的圆锥与圆柱，圆柱的高是圆锥高的”，则转化成的圆柱的高是h； ①+②：相当于1个与容器等底，高为（h+11-h）cm的圆柱； ③：与容器等底，高为5cm的圆柱； ①+②=③，两个圆柱等底等体积，则两个圆柱的高也相等，据此可得：h+11-h=5，h=9。 求容器容积，有两种方法： 一是将容器转化成底面直径14cm，高（9×+14）cm的圆柱，根据圆柱容积计算公式求解； 二是根据圆锥、圆柱容积计算公式分别算出圆锥、圆柱容积，最后相加求和。 【解】：设圆锥的高是h厘米。 h+11-h=5 11-h=5 11-h+h=5+h 5+h-5=11-5 h=6 h÷=6÷ h=9 容器转化成1个底面直径14cm，高（9×+14）cm的圆柱。 容器容积：3×（14÷2）²×（9×+14）=2499（cm³） 答：这个容器的容积是2499立方厘米。 ( 第 1 页 共 1 页 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$