（配套训练）专题03 圆柱与圆锥-等积变形-2024-2025学年六年级下册数学计算大通关（人教版）

专题03 等积变形 答案与解析 1． 把棱长是6dm的正方体铁块，熔铸成一个底面积为24dm²圆柱体，求这个圆柱体的高列式是（   A   ）。 A. 6³÷24 B. 6³÷[3.14×（6÷2）²] C. 6³÷[（24÷6）²] 【答案】：A 【分析】：熔铸前后体积不变，即V正=V柱。 已知圆柱的底面积，求高，根据“V=Sh”，h=V÷S，关键在于算出圆柱的体积。 由题可知，正方体铁块棱长6dm，代入“V=a³”，则V正=V柱=6³，所以圆柱的高=6³÷24，故选A。 2． 李明拿了等底等高的圆锥形和圆柱形容器各一个，他将圆柱形容器装满水后，倒入圆锥形容器，当水全部倒完时，发现从装满水的圆锥形容器内溢出36.2毫升水。这时，圆锥形容器内有（ C ）毫升水。 A. 36.2 B. 54.3 C. 18.1 D. 108.6 【答案】：C 【分析】：水的体积前后不变。从圆柱倒入圆锥，装满后水溢出，则水溢出的体积也就是圆柱和圆锥的体积差。 将圆柱形容器装满水，水体积也就是圆柱的体积，V水=V柱； 倒入圆锥形容器，装满后还溢出36.2毫升水，V水=V锥+36.2； 综上可得：V柱-V锥=36.2，求圆锥形容器内有多少毫升水，也就是求圆锥体积。 由题可知，圆柱和圆锥等底等高，根据“等底等高的圆柱与圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍”，可得：V柱-V锥=（3-1）V锥=36.2，则V锥=36.2÷（3-1）=18.1（ml）。 所以圆锥形容器内有18.1毫升水，故选C。 3． 某圆柱形贮水桶，底面积为20平方分米，高为3分米，盛满一桶水，把它倒入另一个长方体水池里，水池里还空着20%，已知长方体水池长5分米、宽3分米，求长方体水池的高是（ 5 ）分米。 【答案】：5 【分析】：水体积前后不变。由题可知，圆柱形水桶，盛满一桶水，则水体积也就是圆柱的体积。已知圆柱底面积20dm²、高3dm，代入“V=Sh”，则V柱=V水=（20×3）dm²； 水全部倒入长方体水池后，水池还空着20%，把长方体体积看作单位“1”，则水体积是长方体体积的（1-20%），求长方体体积，用除法，列式为：20×3÷（1-20%）=75（dm³）； 已知长方体体积75dm³、长5dm、宽3dm，求高，根据“V=abh”，h=V÷a÷b=75÷（5×3）=5（dm），所以长方体水池的高是5分米。 4． 一个底面半径是3厘米，高是4厘米的圆柱形铁块的体积是（  113.04   ）立方厘米，现在将它铸造成了一个体积相等的圆锥形零件，圆锥的底面半径是3厘米，那它的高是（ 12 ）厘米。 【答案】：113.04；12 【分析】：（1）由题可知，圆柱形铁块的底面半径3cm，高4cm，求体积，代入“V=πr²h”，则圆柱形铁块的体积是3.14×3²×4=113.04（cm³）； （2） 将该圆柱形铁块铸造成一个圆锥形零件，铸造前后体积不变，即V柱=V锥； 又知圆锥的底面半径和圆柱相等，也就是圆柱、圆锥底面积相等，根据“等底等体积的圆柱与圆锥，圆锥的高是圆柱高的3倍”，圆柱高4cm，所以圆锥高4×3=12（cm）。 5． 一个圆柱铅块和一个圆锥铅块等底等高，它们可以熔铸成一个长8厘米、宽3厘米、厚2厘米的长方体，那么圆柱的体积是（ 36 ）立方厘米，圆柱和圆锥体积相差（ 24 ）立方厘米。 【答案】：36；24 【分析】：由题可知，圆柱和圆锥铅块熔铸成一个长方体，熔铸前后体积不变，即V长=V柱+V锥。圆柱、圆锥等底等高，根据“等底等高的圆柱与圆锥，圆锥体积是圆柱体积的”，则V长=V柱+V柱=（1+）V柱，求圆柱体积，关键在于算出长方体体积。 长方体长8cm、宽3cm、高2cm，代入“V=abh”，则V长=（1+）V柱=8×3×2，也就是圆柱体积的（1+）是（8×3×2）cm³，求圆柱体积，用除法，列式为：8×3×2÷（1+）=36（cm³），所以圆柱体积是36立方厘米； （2）求圆柱、圆锥的体积差，圆锥体积是圆柱体积的，体积相差36×（1-）=24（cm³）。 6． 如图，有A、B两个底面积相等的容器，A容器盛满水，如果将水全部倒入B容器，水面距离B容器口（ 8 ）厘米。 【答案】：8 【分析】：观察图形发现，A容器和B容器上面的圆柱完全相同，A容器装满水，倒入B容器，相当于B容器圆柱中装满水流入下面的圆锥，求水面距离B容器口多少厘米，也就是求等底等体积下，圆锥转化为圆柱后对应的高。 根据“等底等体积的圆柱与圆锥，圆柱的高是圆锥高的”，24×=8（cm），即圆锥内24cm的水相当于圆柱内高8cm的水体积，圆柱内水高降低8cm，所以水面距离B容器口8厘米。 7． 如图中，把一个半径是4厘米的圆柱的底面平均分成若干个扇形，切开拼成一个近似的长方体，这个长方体前面的面积是500平方厘米，圆柱的体积是（ 2000 ）立方厘米。 【答案】：2000 【分析】：圆柱拼成一个近似的长方体，形状改变，体积不变，即V柱=V长。 求圆柱体积，转化为求长方体体积。由题可知，长方体前面的面积，即底面积是500cm²，长方体的高=圆柱的底面半径=4cm，代入“V=Sh”，则V柱=V长=500×4=2000（cm³）。 8． 如图，一个密封的容器是由底面半径4厘米的圆柱和圆锥合成的，里面盛有水高15厘米，如果将容器倒置过来，水高是（  9   ）厘米。 【答案】：9 【分析】：利用圆柱、圆锥的体积关系解答。 容器倒置前后，水体积不变。由题可知，水箱由两部分组成，上面圆柱下面圆锥，且圆柱、圆锥等底。 容器正放时，圆锥部分装满后，剩余的液体在圆柱中，圆柱内液体高度是15-9=6（cm）； 容器倒放时，圆锥内的液体流入圆柱。根据“等底等体积的圆柱与圆锥，圆柱高是圆锥高的”，9×=3（cm），也就是圆锥内高9cm的液体全部流入圆柱，圆柱液面高增加3cm。 圆柱内水面原高6cm，增加3cm后，现高6+3=9（cm）。所以容器倒置过来，水高是9厘米。 9． 一个底面半径是3厘米的圆锥，高为20厘米，将这个圆锥铁块熔铸成一个宽5厘米、高4厘米的长方体，长方体的长是多少厘米？ 【答案】：9.42 【分析】：熔铸前后体积不变，则V锥=V长。根据题目已知条件算出圆锥体积，再利用长方体体积计算公式“V=abh”求出长方体的长。 已知圆锥的底面半径和高，代入“V=πr²h”，则V锥=V长=×3.14×3²×20=188.4（cm³）； 已知长方体体积和宽、高，求长，代入“a=V÷b÷h”计算即可。 【解】：圆锥（长方体）体积：×3.14×3²×20=188.4（cm³） 长方体的长：188.4÷5÷4=9.42（cm） 答：长方体的长是9.42厘米。 10． 赵师傅将一个长方体铁块和一个圆柱形铁块（如下图）熔铸成一个底面直径是12厘米的圆锥。这个圆锥的高是多少厘米？ 【答案】：12.5 【分析】：由题可知，将一个长方体铁块和一个圆柱形铁块熔铸成一个圆锥，熔铸前后体积不变，V锥=V长+V柱。 已知圆锥底面直径，求高，根据“V=π（）²h”，h=3V÷π÷（）²，关键在于算出圆锥体积。 由图可知，长方体长12cm、宽5cm、高3.14cm；圆柱底面直径6cm、高10cm，可得： 代入“V=abh”，则V长=12×5×3.14=188.4（cm³）； 代入“V=π（）²h”，则V柱=3.14×（6÷2）²×10=282.6（cm³）； 所以，V锥=V长+V柱=188.4+282.6=471（cm³）。 已知圆锥体积和底面直径，求高，h=3V÷π÷（）²=3×471÷3.14÷（12÷2）²=12.5（cm），所以这个圆锥的高是12.5厘米。 【解】：长方体体积：12×5×3.14=188.4（cm³） 圆柱体积：3.14×（6÷2）²×10=282.6（cm³） 圆锥体积：188.4+282.6=471（cm³） 圆锥的高：3×471÷3.14÷（12÷2）²=12.5（cm） 答：这个圆锥的高是12.5厘米。 11． 王叔叔装修新房，运来一堆沙子。这堆沙子成圆锥形，底面直径是4米，高1.5米。王叔叔新房室内面积是120平方米，这些沙子计划在室内平均铺5厘米厚，上面再铺地板砖。这些沙子够不够用？ 【答案】：够 【分析】：算出室内面积120m²、铺5cm厚度需要的沙子体积，再和运来的沙子体积进行比较即可。 由题可知，运来一堆沙子，沙子成圆锥形，底面直径4m，高1.5m，代入“V=π（）²h”，则运来的沙子体积是×3.14×（4÷2）²×1.5=6.28（m³）； 室内面积120m²，沙子平均铺5cm（5cm=0.05m）厚，需要沙子的体积相当于1个底面积120m²、高0.05m的长方体体积，代入“V=abh”，则需要沙子120×0.05=6（m³）； 因6.28＞6，所以这些沙子够用。 【解】：运来的沙子体积：×3.14×（4÷2）²×1.5=6.28（m³） 5cm=0.05m 需要沙子体积：120×0.05=6（m³） 因6.28＞6，所以这些沙子够用。 答：这些沙子够用。 12． 一辆货车厢是一个长方体，它的长是4米，宽是2米，高是4米，装满一车沙，卸后沙堆成一个高是2米的圆锥形，它的底面积是多少平方米？如果每立方米沙重1.5吨，用一辆载重8吨的汽车运这堆沙，几次可以运完？ 【答案】：底面积48平方米；6次 【分析】：（1）沙子体积不变。卸后沙堆成一个高2m的圆锥，求底面积，根据“V=Sh”，S=3V÷h，关键在于算出沙子的体积。 货车厢是一个长方体，装满一车沙，则沙子的体积也就是长方体体积，长4m、宽2m、高4m，代入“V=abh”，则V长=V沙=4×2×4=32（m³）； 已知圆锥体积32m³，高2m，S=3V÷h=3×32÷2=48（m²），所以底面积是48平方米； （2）每立方米沙重1.5吨，结合第（1）问，沙子体积32m³，则沙子总重（1.5×32）吨，车载重8吨，也就是1次运8吨，需要运1.5×32÷8=6（次）。 【解】：（1）沙子体积：4×2×4=32（m³） 底面积：3×32÷2=48（m²） 答：它的底面积是48平方米。 （2）1.5×32÷8=6（次） 答：6次可以运完。 13． 圆柱形容器与一个圆锥形容器等底等高，圆柱形容器内原有8升水，将圆锥形容器装满水再全部倒入圆柱形容器，容器内的水面上升到处，则圆柱形容器的容积是多少？ 【答案】：48升 【分析】：此题关键在于找到8L水对应的分率。 由题可知，圆柱、圆锥等底等高，圆锥形容器装满水全部倒入圆柱形容器后，圆柱水面上升到处，也就是圆柱内原有水体积+倒入水体积=圆柱容积的一半，其中： 圆柱内原有水体积：8L； 倒入水体积：圆柱、圆锥等底等高，根据“等底等高的圆柱与圆锥，圆锥体积是圆柱体积的”，则倒入的水体积相当于V柱； 把圆柱形容器的容积看作单位“1”，也就是圆柱形容器容积的（-）是8L，求容器容积，用除法，列式为：8÷（-）=48（L）。 【解】：8÷（-）=48（L） 答：圆柱形容器的容积是48升。 14． 一个圆柱形储水桶，底面周长12.56分米，高3分米，盛满一桶水，把它倒入另一长方体水池后，长方体水池里还空着21.5%。已知长方体水池长6分米，长是宽的1倍，求水池的高是多少分米？ 【答案】：2 【分析】：水体积前后不变。由题可知，一个圆柱形水桶，盛满一桶水，则水体积也就是圆柱的体积。已知圆柱底面周长是12.56dm，高3dm，代入“V=π（）² h”，则V柱=V水=3.14×（12.56÷2÷3.14）²×3=37.68（dm³）； 倒入长方体水池后，水池还空着21.5%，把长方体水池体积看作单位“1”，也就是水池体积的（1-21.5%）是37.68dm³，求水池体积，用除法，列式为：37.68÷（1-21.5%）=48（dm³）； 已知长方体体积是48dm³，长6dm，长是宽的1倍，则宽是6÷1=4（dm），求长方体的高，根据“V=abh”，则h=V÷a÷b=48÷6÷4=2（dm），所以水池的高是2分米。 【解】：水体积：3.14×（12.56÷2÷3.14）²×3=37.68（dm³） 长方体体积：37.68÷（1-21.5%）=48（dm³） 长方体的宽：6÷1=4（dm） 水池的高：48÷6÷4=2（dm） 答：水池的高是2分米。 15． 一个装有水的密封容器，如图所示。 （1）如果在一个长方体纸盒中装这个容器，那么这个长方体纸盒的容积至少是多少立方厘米（纸盒厚度忽略不计）？ （2）如果将这个容器倒置，那么从圆锥尖端到液面的高度是多少厘米？ 【答案】：（1）2700；（2）15 【分析】：（1）该长方体纸盒底面是10×10的正方形、高（12+15）cm，求长方体纸盒容积，代入“V=Sh”计算即可； （2）利用圆柱、圆锥的体积关系解答。 容器倒置前后，容器内水体积不变。容器由两部分组成，上面圆锥下面圆柱，且圆锥、圆柱等底。 容器倒放时，圆柱内的液体流入圆锥。圆锥高12cm，根据“等底等体积的圆柱与圆锥，圆柱高是圆锥高的”，12×=4（cm），也就是圆柱内高4cm的液体正好能装满圆锥部分。 圆锥部分装满后，剩余的水仍在圆柱中，圆柱内水面高度是7-4=3（cm）。 求从圆锥尖端到液面的高度，包含圆锥的12cm和圆柱内的3cm，合计12+3=15（cm）。 【解】：（1）10×10×（12+15）=2700（cm³） 答：这个长方体纸盒的容积至少是2700立方厘米。 （2）12×=4（cm） 7-4=3（cm） 12+3=15（cm） 答：从圆锥尖端到液面的高度是15厘米。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 等积变形 1． 把棱长是6dm的正方体铁块，熔铸成一个底面积为24dm²圆柱体，求这个圆柱体的高列式是（       ）。 A. 6³÷24 B. 6³÷[3.14×（6÷2）²] C. 6³÷[（24÷6）²] 2． 李明拿了等底等高的圆锥形和圆柱形容器各一个，他将圆柱形容器装满水后，倒入圆锥形容器，当水全部倒完时，发现从装满水的圆锥形容器内溢出36.2毫升水。这时，圆锥形容器内有（       ）毫升水。 A. 36.2 B. 54.3 C. 18.1 D. 108.6 3． 某圆柱形贮水桶，底面积为20平方分米，高为3分米，盛满一桶水，把它倒入另一个长方体水池里，水池里还空着20%，已知长方体水池长5分米、宽3分米，求长方体水池的高是（       ）分米。 4． 一个底面半径是3厘米，高是4厘米的圆柱形铁块的体积是（       ）立方厘米，现在将它铸造成了一个体积相等的圆锥形零件，圆锥的底面半径是3厘米，那它的高是（       ）厘米。 5． 一个圆柱铅块和一个圆锥铅块等底等高，它们可以熔铸成一个长8厘米、宽3厘米、厚2厘米的长方体，那么圆柱的体积是（       ）立方厘米，圆柱和圆锥体积相差（       ）立方厘米。 6． 如图，有A、B两个底面积相等的容器，A容器盛满水，如果将水全部倒入B容器，水面距离B容器口（       ）厘米。 7． 如图中，把一个半径是4厘米的圆柱的底面平均分成若干个扇形，切开拼成一个近似的长方体，这个长方体前面的面积是500平方厘米，圆柱的体积是（       ）立方厘米。 8． 如图，一个密封的容器是由底面半径4厘米的圆柱和圆锥合成的，里面盛有水高15厘米，如果将容器倒置过来，水高是（       ）厘米。 9． 一个底面半径是3厘米的圆锥，高为20厘米，将这个圆锥铁块熔铸成一个宽5厘米、高4厘米的长方体，长方体的长是多少厘米？ 10． 赵师傅将一个长方体铁块和一个圆柱形铁块（如下图）熔铸成一个底面直径是12厘米的圆锥。这个圆锥的高是多少厘米？ 11． 王叔叔装修新房，运来一堆沙子。这堆沙子成圆锥形，底面直径是4米，高1.5米。王叔叔新房室内面积是120平方米，这些沙子计划在室内平均铺5厘米厚，上面再铺地板砖。这些沙子够不够用？ 12． 一辆货车厢是一个长方体，它的长是4米，宽是2米，高是4米，装满一车沙，卸后沙堆成一个高是2米的圆锥形，它的底面积是多少平方米？如果每立方米沙重1.5吨，用一辆载重8吨的汽车运这堆沙，几次可以运完？ 13． 圆柱形容器与一个圆锥形容器等底等高，圆柱形容器内原有8升水，将圆锥形容器装满水再全部倒入圆柱形容器，容器内的水面上升到处，则圆柱形容器的容积是多少？ 14． 一个圆柱形储水桶，底面周长12.56分米，高3分米，盛满一桶水，把它倒入另一长方体水池后，长方体水池里还空着21.5%。已知长方体水池长6分米，长是宽的1倍，求水池的高是多少分米？ 15． 一个装有水的密封容器，如图所示。 （1）如果在一个长方体纸盒中装这个容器，那么这个长方体纸盒的容积至少是多少立方厘米（纸盒厚度忽略不计）？ （2）如果将这个容器倒置，那么从圆锥尖端到液面的高度是多少厘米？ 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$