专题02 第三单元圆柱与圆锥-不规则物体的体积计算-2024-2025学年六年级下册数学计算大通关（人教版）

2024-2025学年六年级下册数学计算大通关 第三单元圆柱与圆锥·不规则物体的体积算法 本专题单元讲义，包含四大内容： 1、 常用知识点梳理：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、 易错提示：对学习中的高频易错点进行总结和归纳并提出应对策略。 3、典例分析：选取典型例题进行分析，让学生学习解题的方法、过程和知识点的运用。 4、专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 目录 常用知识点 3 圆柱竖切引起的表面积变化 3 圆柱和圆锥的体积计算公式 3 不规则物体的体积算法 4 易错提示 5 典例分析 7 专题突破 9 突破点一：不规则柱体 9 突破点二：半圆柱 9 突破点三：瓶子倒置 16 突破点四：横切圆锥 20 常用知识点 1． 圆柱竖切引起的表面积变化 竖切：沿底面直径 圆柱沿底面直径，垂直于底面进行切割，切面是长方形，且长方形相邻两边分别是圆柱的高和底面直径。 ( 表面积 增加 2 个长方形 ， S 增 =4hr 长方形的长 = 圆柱的高 =h ； 长方形的宽 = 底面直径 =d =2r ； 增加表面积 =2 × h × 2r=4hr 。 ) 2． 圆柱和圆锥的体积计算公式 圆柱 圆锥 图形 计算公式 圆柱体积=底面积×高 直接计算→V柱=Sh； 利用底面半径→V柱=πr²h； 利用底面直径→V柱=π（）² h； 利用底面周长→V柱=π（）² h； 利用圆柱侧面积→V柱=S侧÷2×r。 圆锥体积=×底面积×高 直接计算→V锥=Sh； 利用底面半径→V锥=πr²h； 利用底面直径→V锥=π（）² h； 利用底面周长→V锥=π（）² h。 3． 不规则物体的体积算法 图形 体积计算方法 不规则柱体=圆柱体积的一半 转化成规则图形：两个完全相同的不规则柱体拼在一起，转化成一个圆柱。 半圆柱体积=圆柱体积的一半 半圆柱表面积=圆柱表面积的一半+1个长方形 =圆柱侧面积的一半+1个圆柱底面积+1个长方形 【提示】：长方形面积=底面直径×高=dh。 转化成规则图形：将瓶子转化成一个与瓶子等底，高是（a+b）的圆柱。 瓶子容积=正放时水体积（②）+倒放时空余部分体积（③） 阴影部分体积=大圆锥体积-上面小圆锥体积 易错提示 易错点1：忘记去掉补充部分的体积。 规避策略：不规则物体无法直接计算体积，利用转化的思想，把不规则图形补成规则图形，计算出规则图形的体积后，要去掉补充部分的体积。 例题：求如图的体积。（单位：厘米，π取3.14） 【答案】：125.6立方厘米 【分析】：2个完全相同的不规则柱体可拼成一个底面直径4cm，高（8+12）cm的圆柱，如右上图所示。因此，不规则柱体体积=圆柱体积的一半。 根据“V=π（）² h”，则不规则柱体体积=π×（4÷2）²×（8+12）÷2=40π（cm³）。 【解】：π×（4÷2）²×（8+12）÷2 =π×4×10 =40π =40×3.14 =125.6（cm³） 易错点2：对“倒置”问题理解不透彻 规避策略：瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以空余部分的体积也不变，将瓶子的容积转化成两个圆柱的体积。 例1：一个装满水的矿泉水瓶，内直径是8厘米，小明喝了一些，水的高度还有12厘米，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高10厘米，小明喝了多少毫升水？ 【答案】：502.4 【分析】：一瓶装满水的矿泉水，喝了一些后，瓶盖拧紧倒置平放，空余部分也就是小明喝掉的水体积。 观察图形可知，空余部分是一个底面直径8cm，高10cm的圆柱，求体积，代入“V=π（）² h”，则空余部分，也就是小明喝掉的水体积是3.14×（8÷2）²×10=502.4（cm³），注意单位统一，502.4cm³=502.4ml。 【解】：3.14×（8÷2）²×10=502.4（cm³） 502.4cm³=502.4ml 答：小明喝了502.4毫升水。 例2：一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图。已知瓶内有240ml酒精。当瓶子正放时，瓶内酒精的液面高6cm；当瓶子倒放时，空余部分高3cm。这个酒精瓶的容积是多少毫升？ 【答案】：360 【分析】：方法1：酒精瓶转化成一个高为（3+6）cm的圆柱，再根据“V=Sh”求解。 瓶内酒精正放或倒放，前后体积不变，因此空余部分体积也不变，则瓶容积=正放时酒精体积+倒放时空余部分体积，据此将酒精瓶转化成一个高（6+3）cm的圆柱，如右上图所示。 求酒精瓶的容积，根据“V=Sh”，已知高是（6+3）cm，关键在于算出酒精瓶的底面积。 瓶子正放时，有240ml酒精，酒精体积相当于一个高6cm的圆柱体积，根据“V=Sh”可知，S=V÷h，代入计算，求出酒精瓶的底面积； 240ml=240cm³，酒精瓶底面积是240÷6=40（cm²）。 已知酒精瓶底面积40cm²，高（6+3）cm，求容积，代入“V=Sh”计算即可。 【解】：240ml=240cm³ 酒精瓶底面积：240÷6=40（cm²） 酒精瓶容积：40×（6+3）=360（cm³），360cm³=360ml 答：这个酒精瓶的容积是360ml。 方法2：根据“V=Sh”，圆柱底面积相等，体积之比等于高之比。 结合方法1，将酒精瓶转化成一个高为（3+6）cm的圆柱。已知酒精瓶正放时，酒精体积相当于一个与酒精瓶等底、高6cm的圆柱。 圆柱底面积相等，体积之比等于高之比。已知酒精瓶高（3+6）cm，酒精高6cm，则酒精高∶瓶高=6∶（3+6）=2∶3，则酒精体积∶瓶子容积=2∶3，即瓶子容积是酒精体积的。 已知酒精体积240ml，则瓶子容积是240×=360（ml）。 【解】：圆柱底面积相等，体积之比等于高之比。 酒精高∶瓶高=6∶（3+6）=2∶3，则酒精体积∶瓶子容积=2∶3 瓶子容积：240×=360（ml） 答：这个酒精瓶的容积是360ml。 典例分析 例1：一个半圆柱如图所示，求它的表面积和体积。 【答案】：表面积729.84平方厘米；体积1130.4立方厘米 【分析】：半圆柱表面积=圆柱侧面积的一半+1个圆柱底面积+1个长方形 半圆柱体积=圆柱体积的一半 底面直径是12cm，高是20cm，可得： 根据“S侧=πdh”，则圆柱侧面积的一半=π×12×20÷2； 代入“S底=πr²”，则圆柱底面积=π×（12÷2）²； 代入“S=ab”，则长方形面积=12×20； 所以，半圆柱表面积=π×12×20÷2+π×（12÷2）²+12×20=（156π+240）cm²。 根据“V=π（）² h”，则半圆柱体积=π×（12÷2）²×20÷2=360π（cm³） 【解】：半圆柱表面积=圆柱侧面积的一半+1个圆柱底面积+1个长方形 =π×12×20÷2+π×（12÷2）²+12×20 =156π+240 =156×3.14+240 =729.84（cm²） 半圆柱体积=圆柱体积的一半 =π×（12÷2）²×20÷2 =360π =3.14×360 =1130.4（cm³） 例2：求下面零件的体积。（单位：cm） 【答案】：82.425立方厘米 【分析】：零件体积=大圆锥体积-上面小圆锥体积。 大圆锥底面直径6cm，高10cm；小圆锥底面直径3cm，高5cm，可得： 根据“V=π（）² h”，则大圆锥体积=π×（6÷2）²×10=30π（cm³）、上面小圆锥体积=π×（3÷2）²×5=3.75π（cm³）； 所以，零件体积=30π-3.75π=26.25π（cm³）。 【解】：零件体积=大圆锥体积-上面小圆锥体积 =π×（6÷2）²×10-π×（3÷2）²×5 =30π-3.75π =26.25π =26.25×3.14 =82.425（cm³） 专题突破 突破点一：不规则柱体 1． 下图是一个底面半径为3厘米的圆柱木块削去一半后的形状，请计算出它的体积。 【答案】：169.56立方厘米 【分析】：2个完全相同的不规则柱体可拼成一个底面半径3cm，高（5+7）cm的圆柱。 因此，不规则柱体体积=圆柱体积的一半。 根据“V=πr²h”，则不规则柱体体积=3.14×3²×（5+7）÷2=169.56（cm³）。 【解】：3.14×3²×（5+7）÷2=169.56（cm³） 2． 求如图这个几何体的体积。（单位：dm） 【答案】：6280立方分米 【分析】：2个完全相同的不规则柱体可拼成一个底面直径20dm，高（15+25）dm的圆柱。 因此，不规则柱体体积=圆柱体积的一半。 根据“V=π（）² h”，则不规则柱体体积=3.14×（20÷2）²×（15+25）÷2=6280（dm³）。 【解】：3.14×（20÷2）²×（15+25）÷2=6280（dm³） 突破点二：半圆柱 1． 下面是一个圆柱沿着底面直径竖直对半切开后的图形，求它的表面积。（单位：cm） 【答案】：115.36平方厘米 【分析】：半圆柱表面积=圆柱侧面积的一半+1个圆柱底面积+1个长方形。 底面直径是4cm，高是10cm，可得： 根据“S侧=πdh”，则圆柱侧面积的一半=π×4×10÷2； 代入“S底=πr²”，则圆柱底面积=π×（4÷2）²； 代入“S=ab”，则长方形面积=4×10； 所以，半圆柱表面积=π×4×10÷2+π×（4÷2）²+4×10=（24π+40）cm²。 【解】：半圆柱表面积=圆柱侧面积的 一半+1个圆柱底面积+1个长方形 =π×4×10÷2+π×（4÷2）²+4×10 =24π+40 =24×3.14+40 =115.36（cm²） 2． 手工课上，小红带来了一块高6厘米的圆柱形橡皮泥。（结果保留π） （1） 她把这块橡皮泥切成了两个完全相同的半圆柱（如图），表面积增加了48平方厘米，将其中的一块用彩纸包好，小红至少用了多少平方厘米的彩纸？ （2） 她将另一块捏成了一个高为6厘米的圆锥形陀螺，这个陀螺的底面积是多少平方厘米？ 【答案】：（1）（16π+24）平方厘米；（2）6π平方厘米 【分析】：（1）求彩纸的面积，也就是求半圆柱的表面积。 彩纸面积=圆柱侧面积的一半+1个圆柱底面积+1个长方形。 由题可知，将1个圆柱切成两个完全相同的半圆柱，增加的表面积是2个长方形，且相邻两边分别是圆柱底面直径和高，即2dh=48cm²，又知h=6cm，则d=48÷2÷6=4（cm）。 根据“S侧=πdh”，则圆柱侧面积的一半=π×（48÷2）÷2=12π（cm²）； 代入“S底=πr²”，则圆柱底面积=π×（4÷2）²=4π（cm²）； 长方形面积=48÷2=24（cm²）。 所以，彩纸面积=12π+4π+24=（16π+24）cm²。 （2）把另一块捏成一个圆锥，橡皮泥前后体积不变，即圆锥体积=半圆柱体积。 根据“V=Sh”可知，S=3V÷h，已知高，求底面积，关键在于求出圆锥（半圆柱）体积。 半圆柱体积=圆柱体积的一半，根据“V=π（）² h”，则半圆柱体积=π×（4÷2）²×6÷2=12π（cm³）； 已知圆锥体积和高，求底面积，代入“S=3V÷h”计算即可。 【解】：（1）圆柱底面直径：48÷2÷6=4（cm） 彩纸面积=圆柱侧面积的一半+1个圆柱底面积+1个长方形，其中： 圆柱侧面积的一半：π×（48÷2）÷2=12π（cm²） 圆柱底面积：π×（4÷2）²=4π（cm²） 长方形面积：48÷2=24（cm²） 彩纸面积：12π+4π+24=（16π+24）cm² 答：小红至少用了（16π+24）平方厘米的彩纸。 （2）圆锥体积：π×（4÷2）²×6÷2=12π（cm³） 圆锥底面积：12π×3÷6=6π（cm²） 答：这个陀螺的底面积是6π平方厘米。 3． 如图，一只工具箱的下半部分是棱长20厘米的正方体，上半部分是圆柱的一半。 （1） 工具箱外面包的一层皮革的面积是多少平方分米（锁扣处忽略不计）？ （2） 工具箱所占的空间是多少立方分米？ 【答案】：（1）29.42平方分米；（2）11.14立方分米 【分析】：（1）求工具箱外面包的一层皮革的面积，也就是求该图形的表面积。 观察图形发现，皮革面积由两部分组成：①圆柱表面积的一半；②无上面的正方体表面积。 因此，皮革面积=圆柱表面积的一半+无上面的正方体表面积。 圆柱底面直径=圆柱的高=正方体棱长=20cm=2dm，可得： “S表=πdh+2π（）²”，则圆柱表面积的一半=[3.14×2×2+2×3.14×（2÷2）²]÷2=9.42（dm²）； 无上面的正方体表面积=5×2×2=20（dm²）； 所以，皮革面积=9.42+20=29.42（dm²）。 （2）求工具箱所占空间大小，也就是求该图形的体积。 工具箱所占空间=圆柱体积的一半+正方体体积，根据“V柱=π（）²h、V正=a³”，分别算出圆柱体积的一半和正方体的体积，再相加求和。 【解】：（1）20cm=2dm 皮革面积=圆柱表面积的一半+无上面的正方体表面积，其中： 圆柱表面积的一半：[3.14×2×2+2×3.14×（2÷2）²]÷2=9.42（dm²） 无上面的正方体表面积：5×2×2=20（dm²） 皮革面积：9.42+20=29.42（dm²） 答：工具箱外面包的一层皮革的面积是29.42平方分米。 （2）工具箱所占空间=圆柱体积的一半+正方体体积 =3.14×（2÷2）²×2÷2+2×2×2 =3.14+8 =11.14（dm³） 答：工具箱所占的空间是11.14立方分米。 4． 计算下面图形的表面积和体积。（图中的半圆柱的底面直径是10厘米） 【答案】：表面积2792.5平方厘米；体积7822.5立方厘米 【分析】：观察图形发现，该图形相当于从长方体中挖去1个半圆柱，表面积增加圆柱侧面积的一半；与此同时，减少1个圆柱底面积和1个长30cm、宽10cm的长方形面积。 因此，图形表面积=长方体表面积+圆柱侧面积的一半-1个圆柱底面积-1个长方形 图形体积=长方体体积-半圆柱体积 长方体长30cm、宽20cm，高15cm；圆柱底面直径10cm，圆柱的高=长方体长=30cm，可得： 代入“S表=2（ab+ah+bh）”，则长方体表面积=2×（30×20+30×15+20×15）=2700（cm²）； 根据“S侧=πdh”，则圆柱侧面积的一半=π×10×30÷2=150π（cm²）； 代入“S底=πr²”，则圆柱底面积=π×（10÷2）²=25π（cm²）； 代入“S=ab”，则长方形面积=30×10=300（cm²）； 所以，图形表面积=2700+150π-25π-300=（125π+2400）cm²。 代入“V=abh”，则长方体体积=30×20×15； 根据“V=π（）² h”，则圆柱体积的一半=π×（10÷2）²×30÷2； 所以，图形体积=30×20×15-π×（10÷2）²×30÷2=（9000-375π）cm³。 【解】：图形表面积=长方体表面积+圆柱侧面积的一半-1个圆柱底面积-1个长方形，其中： 长方体表面积：2×（30×20+30×15+20×15）=2700（cm²） 圆柱侧面积的一半：π×10×30÷2=150π（cm²） 圆柱底面积：π×（10÷2）²=25π（cm²） 长方形面积：30×10=300（cm²） 图形表面积：2700+150π-25π-300 =125π+2400 =125×3.14+2400 =2792.5（cm²） 图形体积=长方体体积-半圆柱体积 =30×20×15-π×（10÷2）²×30÷2 =9000-375π =9000-375×3.14 =7822.5（cm³） 5． 2022年北京冬奥会项目设有单板滑雪U形池赛，其U形池简化模型示意图如下，形状可看为一个长方体中挖去了半个圆柱体（沿高平分）。已知冬奥会标准形池规格：长为120米，宽为20米，高为3.5米，其中挖圆柱体的底面圆半径为6米。现请你作为设计师给U形池表面涂色（只涂内壁、左右面和前后面，不包括底面和上沿）。 （1）问涂色部分的面积多大？ （2）该U形池所占空间大小？ 【答案】：（1）3127.76平方米；（2）1617.6立方米 【分析】：（1）由题可知，只涂内壁、左右面和前后面，不包括底面和上沿，则： 涂色面积=圆柱侧面积的一半+长方体左右面+长方体前后面-1个圆柱底面积。 长方体长120m，宽20m，高3.5m；圆柱的底面半径6m，圆柱的高=长方体长=120m，可得： 根据“S侧=2πrd”，则圆柱侧面积的一半=2π×6×120÷2=720π（m²）； 长方体左右面=120×3.5×2=840（m²）； 长方体前后面=20×3.5×2=140（m²）； 代入“S底=πr²”，则圆柱底面积=π×6²=36π（m²）； 所以，涂色面积=720π+840+140-36π=（684π+980）m²。 （2）U形池体积=长方体体积-半圆柱体积。 代入“V=abh”，则长方体体积=120×20×3.5； 根据“V=πr²h”，则半圆柱体积=3.14×6²×120÷2； 所以，U形池体积=120×20×3.5-3.14×6²×120÷2=1617.6（m³）。 【解】：（1）涂色面积=圆柱侧面积的一半+长方体左右面+长方体前后面-1个圆柱底面积，其中： 圆柱侧面积的一半：2π×6×120÷2=720π（m²） 长方体左右面：120×3.5×2=840（m²） 长方体前后面：20×3.5×2=140（m²） 圆柱底面积：π×6²=36π（m²） 涂色面积：720π+840+140-36π =684π+980 =684×3.14+980 =3127.76（m²） 答：涂色部分的面积是3127.76平方米。 （2）120×20×3.5-3.14×6²×120÷2=1617.6（m³） 答：该U形池所占空间是1617.6立方米。 6． 求下面个圆柱的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】：表面积99.81平方厘米；体积56.52立方厘米 【分析】：图形表面积由3部分组成：①圆柱侧面积；②2个圆面积，相当于1个半圆，即圆柱底面积；③2个小长方形，相邻两边分别是底面半径和高。 因此，图形表面积=圆柱侧面积+圆柱底面积+2个长方形 图形体积=圆柱体积 圆柱底面半径是3cm，高是8cm，可得： 根据“S侧=2πrh”，则圆柱侧面积=×2π×3×8=12π（cm²）； 根据“S底=πr²”，则圆柱底面积=π×3²=4.5π（cm²）； 根据“S=ab”，则2个长方形面积=3×8×2=48（cm²）； 所以，图形表面积=12π+4.5π+48=（16.5π+48）cm²。 根据“V=πr²h”，则图形体积=×3.14×3²×8=56.52（cm³）。 【解】：图形表面积=圆柱侧面积+圆柱底面积+2个长方形，其中： 圆柱侧面积：×2π×3×8=12π（cm²） 圆柱底面积：π×3²=4.5π（cm²） 2个长方形面积：3×8×2=48（cm²） 图形表面积：12π+4.5π+48 =16.5π+48 =16.5×3.14+48 =99.81（cm²） 图形体积：×3.14×3²×8=56.52（cm³）。 7． 求下面图形的体积（单位：厘米）。 【答案】：214.2立方厘米 【分析】：观察图形发现，图形由两部分组成：的圆柱和一个长方体。 因此，图形体积=的圆柱体积+长方体体积。 圆柱的底面半径=长方体的高=2cm，圆柱的高=长方体的长=10cm，长方体的宽是6cm，可得： 根据“V=πr²h”，则的圆柱体积=×3.14×2²×10=94.2（cm³）； 根据“V=abh”，则长方体体积=10×6×2=120（cm³）； 所以，图形体积=94.2+120=214.2（cm³）。 【解】：图形体积=的圆柱体积+长方体体积，其中： 的圆柱体积：×3.14×2²×10=94.2（cm³） 长方体体积：10×6×2=120（cm³） 图形体积：94.2+120=214.2（cm³） 突破点三：瓶子倒置 1． 一瓶装满的矿泉水，红红喝了一些，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高10厘米，内直径是6厘米。红红喝了多少毫升的水？ 【答案】：282.6毫升 【分析】：由题可知，原瓶是装满水的，因此小红喝掉的水量等于瓶中无水部分的体积。 瓶中无水部分相当于1个与瓶子等底，高10cm的圆柱，且瓶内直径6cm，代入“V=π（）² h”计算即可，注意单位换算。 【解】：3.14×（6÷2）²×10=282.6（cm³） 282.6cm³=282.6ml 答：红红喝了282.6毫升的水。 2． 一瓶葡萄酒，瓶子的容积是1050立方厘米，瓶子中酒深15厘米，乐乐拧紧瓶盖后把瓶子倒置、放平，这时无酒部分的高度为6厘米。瓶中有多少毫升的葡萄酒？ 【答案】：750毫升 【分析】：方法1：根据题目已知条件求出瓶子底面积，再代入“V=Sh”求体积。 求瓶中葡萄酒的体积。由图可知，瓶中酒相当于1个与瓶子等底、高15cm的圆柱，根据“V=Sh”，已知高，要求体积，关键在于算出瓶子的底面积。 瓶子容积一定，无论正放还是倒放，瓶中的酒体积不变，所以空余部分体积也不变。 如右上图所示，①、②调换，则瓶子容积等于两个圆柱的体积和，即： 瓶子容积=正放时酒体积+倒放时空余部分的体积。 据此，将瓶子转化成1个与瓶子等底，高（15+6）cm的圆柱。 又知瓶子容积，即圆柱容积是1050cm³，根据“S=V÷h”，则瓶子底面积1050÷（15+6）=50（cm²）； 已知底面积和高，求体积，代入“V=Sh”计算即可，注意单位换算。 【解】：瓶子底面积：1050÷（15+6）=50（cm²） 葡萄酒体积：50×15=750（cm³），750cm³=750ml 答；瓶中有750毫升的葡萄酒。 方法2：圆柱的底面积相等，体积之比等于高之比。 结合方法1可知，瓶子相当于1个与瓶子等底、高（15+6）cm的圆柱； 瓶中酒相当于1个与瓶子等底、高15cm的圆柱； 根据“两个圆柱的底面积相等时，体积之比等于高之比”，可得： 也就是V酒是V瓶的，已知V瓶是1050cm³，则V酒=1050×=750（cm³），750cm³=750ml。 【解】：圆柱的底面积相等，体积之比等于高之比 葡萄酒体积：1050×=750（cm³），750cm³=750ml 答；瓶中有750毫升的葡萄酒。 3． 如图，有一个装了360 ml饮料的瓶子，瓶中饮料的高度是16cm。把盖子拧紧后倒置放平，没有饮料的部分是圆柱形，高度是4cm，这个瓶子的容积是多少毫升? 【答案】：450毫升 【分析】：方法1：根据题目已知条件求出瓶子底面积，再代入“V=Sh”求容积。 将瓶子转化成1个与瓶子等底，高（16+4）cm的圆柱。求圆柱容积，根据“V=Sh”，已知高，关键在于算出瓶子的底面积。 瓶中饮料相当于1个与瓶子等底、高16cm的圆柱，已知饮料体积是360ml，360ml=360cm³，根据“S=V÷h”，则瓶子底面积是360÷16=22.5（cm²）； 已知底面积和高，求容积，代入“V=Sh”计算即可，注意单位换算。 【解】：360ml=360cm³ 瓶子底面积：360÷16=22.5（cm²） 瓶子容积：22.5×（16+4）=450（cm³），450cm³=450ml 答：这个瓶子的容积是450毫升。 方法2：圆柱的底面积相等，体积之比等于高之比。 结合方法1可知，瓶子相当于1个与瓶子等底、高（16+4）cm的圆柱； 瓶中饮料相当于1个与瓶子等底、高16cm的圆柱； 根据“两个圆柱的底面积相等时，体积之比等于高之比”，可得： 也就是V饮是V瓶的，已知V饮是360ml，则V瓶=360÷=450（ml）。 【解】：圆柱的底面积相等，体积之比等于高之比 瓶子容积：360÷=450（ml） 答：这个瓶子的容积是450毫升。 4． 甲流是甲型流行性感冒的简称，是由甲型流感病毒感染人体所导致的急性呼吸道疾病。李华感染了甲流，需要输液。如图①所示，输液瓶液面高度是10厘米，液体是250毫升。护士阿姨给李华设置了平均每分钟5毫升的输液速度，10分钟后，空的部分高度是6厘米，如图②所示。 （1） 这个输液瓶的底面积是多少平方厘米？ （2） 这个输液瓶的容积是多少毫升？ 【答案】：（1）25平方厘米；（2）350毫升 【分析】：（1）由图①可知，瓶中液体相当于一个与瓶子等底，高10cm的圆柱。 液体是250毫升，250ml=250cm³，也就是已知该圆柱的体积和高，求底面积，代入“S=V÷h”，则这个输液瓶的底面积是250÷10=25（cm²）。 （2）瓶中原有250ml液体，10分钟后，瓶中剩余液体如图②所示。 瓶子容积=瓶中剩余液体体积+空余部分体积，其中： 瓶中剩余液体体积=250-10分钟输液量。平均每分钟5毫升的液体速度，则10分钟的输液量是（10×5）ml，图②瓶中剩余液体体积=250-10×5=200（ml）； 图②中空余部分体积相当于1个与瓶子等底，高6cm的圆柱，结合第（1）问已知输液瓶的底面积是25cm²，则空余部分体积是（25×6）cm²； 求出瓶中剩余液体和空余部分体积后，相加求和即可，注意单位换算。 【解】：（1）250ml=250cm³ 250÷10=25（cm²） 答：这个输液瓶的底面积是25平方厘米。 （2）图②瓶中剩余液体：250-10×5=200（ml） 图②瓶中空余部分：25×6=150（cm³） 150cm³=150ml 输液瓶容积：200+150=350（ml） 答：这个输液瓶的容积是350毫升。 突破点四：横切圆锥 1． 如图，从一个圆锥高的处切下一个小圆锥，剩下部分的体积和切去部分的体积相比，（  C   ）。 A. 切去部分的体积大 B. 两部分的体积相等 C．剩下部分的体积大 D．无法判断 【答案】：C 【分析】：根据圆锥的体积计算公式分别算出小圆锥和大圆锥体积，剩下部分体积=大圆锥体积-小圆锥体积，据此求出剩下部分体积，再和小圆锥，即切下部分体积进行比较即可。 由图可知，大圆锥底面半径是3r、高是（2h+h）；小圆锥底面积半径是2r，高是2h，代入“V=πr²h”，可得： 大圆锥体积=π×（3r）²×（2h+h）=9πr²h； 切下部分体积=小圆锥体积=π×（2r）²×2h=πr²h； 剩余部分体积=9πr²h-πr²h=πr²h。 因πr²h＞πr²h，所以剩下部分的体积更大，故选C。 2． 如图所示，圆锥形容器中装有4L水，水面高度正好是圆锥高度的一半，已知水面半径和容器口半径的比为1∶2，则这个容器还能装（ A ）升水。 A. 28 B. 32 C. 16 D. 20 【答案】：A 【分析】：求这个容器还能装多少升水，也就是求图中空白部分的容积。 空白部分容积=大圆锥容积-小圆锥容积。 已知小圆锥容积是4L，关键在于求出大圆锥容积。 水面半径和容器口半径的比为1∶2，也就是大圆锥底面半径是小圆锥的2倍，则大圆锥底面积是小圆锥的2×2=4倍，又知大圆锥的高是小圆锥高的2倍，根据“V=πr²h”可知，大圆锥容积是小圆锥容积的4×2=8倍； 空白部分容积=大圆锥容积-小圆锥容积=4×（8-1）=28（L）。故选A。 3． 长征二号运载火箭顶部是逃逸塔发动机部分。为了方便研究，学校科学小组的同学制作了一个模型（实线部分为模型），它的下底面直径是6分米，上底面直径是3分米，高8分米，这个模型的体积是多少立方分米？ 【答案】：131.88立方分米 【分析】：由题可知，实线部分为模型，模型体积=大圆锥体积-小圆锥体积。 根据“V=π（）² h”分别算出大、小圆锥的体积，再作减求差即可。 【解】：大圆锥体积：π×（6÷2）²×（8+8）=48π（dm³） 小圆锥体积：π×（3÷2）²×8=6π（dm³） 模型体积=大圆锥体积-小圆锥体积 =48π-6π =42π =42×3.14 =131.88（dm³） 答：这个模型的体积是131.88立方分米。 ( 第 1 页 共 1 页 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级下册数学计算大通关 第三单元圆柱与圆锥·不规则物体的体积算法 本专题单元讲义，包含四大内容： 1、 常用知识点梳理：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、 易错提示：对学习中的高频易错点进行总结和归纳并提出应对策略。 3、典例分析：选取典型例题进行分析，让学生学习解题的方法、过程和知识点的运用。 4、专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 目录 常用知识点 3 圆柱竖切引起的表面积变化 3 圆柱和圆锥的体积计算公式 3 不规则物体的体积算法 4 易错提示 5 典例分析 7 专题突破 9 突破点一：不规则柱体 9 突破点二：半圆柱 9 突破点三：瓶子倒置 16 突破点四：横切圆锥 20 常用知识点 1． 圆柱竖切引起的表面积变化 竖切：沿底面直径 圆柱沿底面直径，垂直于底面进行切割，切面是长方形，且长方形相邻两边分别是圆柱的高和底面直径。 ( 表面积 增加 2 个长方形 ， S 增 =4hr 长方形的长 = 圆柱的高 =h ； 长方形的宽 = 底面直径 =d =2r ； 增加表面积 =2 × h × 2r=4hr 。 ) 2． 圆柱和圆锥的体积计算公式 圆柱 圆锥 图形 计算公式 圆柱体积=底面积×高 直接计算→V柱=Sh； 利用底面半径→V柱=πr²h； 利用底面直径→V柱=π（）² h； 利用底面周长→V柱=π（）² h； 利用圆柱侧面积→V柱=S侧÷2×r。 圆锥体积=×底面积×高 直接计算→V锥=Sh； 利用底面半径→V锥=πr²h； 利用底面直径→V锥=π（）² h； 利用底面周长→V锥=π（）² h。 3． 不规则物体的体积算法 图形 体积计算方法 不规则柱体=圆柱体积的一半 转化成规则图形：两个完全相同的不规则柱体拼在一起，转化成一个圆柱。 半圆柱体积=圆柱体积的一半 半圆柱表面积=圆柱表面积的一半+1个长方形 =圆柱侧面积的一半+1个圆柱底面积+1个长方形 【提示】：长方形面积=底面直径×高=dh。 转化成规则图形：将瓶子转化成一个与瓶子等底，高是（a+b）的圆柱。 瓶子容积=正放时水体积（②）+倒放时空余部分体积（③） 阴影部分体积=大圆锥体积-上面小圆锥体积 易错提示 易错点1：忘记去掉补充部分的体积。 规避策略：不规则物体无法直接计算体积，利用转化的思想，把不规则图形补成规则图形，计算出规则图形的体积后，要去掉补充部分的体积。 例题：求如图的体积。（单位：厘米，π取3.14） 【答案】：125.6立方厘米 【分析】：2个完全相同的不规则柱体可拼成一个底面直径4cm，高（8+12）cm的圆柱，如右上图所示。因此，不规则柱体体积=圆柱体积的一半。 根据“V=π（）² h”，则不规则柱体体积=π×（4÷2）²×（8+12）÷2=40π（cm³）。 【解】：π×（4÷2）²×（8+12）÷2 =π×4×10 =40π =40×3.14 =125.6（cm³） 易错点2：对“倒置”问题理解不透彻 规避策略：瓶子倒置前后，瓶中水的体积不变，所以空余部分的体积也不变，将瓶子的容积转化成两个圆柱的体积。 例1：一个装满水的矿泉水瓶，内直径是8厘米，小明喝了一些，水的高度还有12厘米，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高10厘米，小明喝了多少毫升水？ 【答案】：502.4 【分析】：一瓶装满水的矿泉水，喝了一些后，瓶盖拧紧倒置平放，空余部分也就是小明喝掉的水体积。 观察图形可知，空余部分是一个底面直径8cm，高10cm的圆柱，求体积，代入“V=π（）² h”，则空余部分，也就是小明喝掉的水体积是3.14×（8÷2）²×10=502.4（cm³），注意单位统一，502.4cm³=502.4ml。 【解】：3.14×（8÷2）²×10=502.4（cm³） 502.4cm³=502.4ml 答：小明喝了502.4毫升水。 例2：一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图。已知瓶内有240ml酒精。当瓶子正放时，瓶内酒精的液面高6cm；当瓶子倒放时，空余部分高3cm。这个酒精瓶的容积是多少毫升？ 【答案】：360 【分析】：方法1：酒精瓶转化成一个高为（3+6）cm的圆柱，再根据“V=Sh”求解。 瓶内酒精正放或倒放，前后体积不变，因此空余部分体积也不变，则瓶容积=正放时酒精体积+倒放时空余部分体积，据此将酒精瓶转化成一个高（6+3）cm的圆柱，如右上图所示。 求酒精瓶的容积，根据“V=Sh”，已知高是（6+3）cm，关键在于算出酒精瓶的底面积。 瓶子正放时，有240ml酒精，酒精体积相当于一个高6cm的圆柱体积，根据“V=Sh”可知，S=V÷h，代入计算，求出酒精瓶的底面积； 240ml=240cm³，酒精瓶底面积是240÷6=40（cm²）。 已知酒精瓶底面积40cm²，高（6+3）cm，求容积，代入“V=Sh”计算即可。 【解】：240ml=240cm³ 酒精瓶底面积：240÷6=40（cm²） 酒精瓶容积：40×（6+3）=360（cm³），360cm³=360ml 答：这个酒精瓶的容积是360ml。 方法2：根据“V=Sh”，圆柱底面积相等，体积之比等于高之比。 结合方法1，将酒精瓶转化成一个高为（3+6）cm的圆柱。已知酒精瓶正放时，酒精体积相当于一个与酒精瓶等底、高6cm的圆柱。 圆柱底面积相等，体积之比等于高之比。已知酒精瓶高（3+6）cm，酒精高6cm，则酒精高∶瓶高=6∶（3+6）=2∶3，则酒精体积∶瓶子容积=2∶3，即瓶子容积是酒精体积的。 已知酒精体积240ml，则瓶子容积是240×=360（ml）。 【解】：圆柱底面积相等，体积之比等于高之比。 酒精高∶瓶高=6∶（3+6）=2∶3，则酒精体积∶瓶子容积=2∶3 瓶子容积：240×=360（ml） 答：这个酒精瓶的容积是360ml。 典例分析 例1：一个半圆柱如图所示，求它的表面积和体积。 【答案】：表面积729.84平方厘米；体积1130.4立方厘米 【分析】：半圆柱表面积=圆柱侧面积的一半+1个圆柱底面积+1个长方形 半圆柱体积=圆柱体积的一半 底面直径是12cm，高是20cm，可得： 根据“S侧=πdh”，则圆柱侧面积的一半=π×12×20÷2； 代入“S底=πr²”，则圆柱底面积=π×（12÷2）²； 代入“S=ab”，则长方形面积=12×20； 所以，半圆柱表面积=π×12×20÷2+π×（12÷2）²+12×20=（156π+240）cm²。 根据“V=π（）² h”，则半圆柱体积=π×（12÷2）²×20÷2=360π（cm³） 【解】：半圆柱表面积=圆柱侧面积的一半+1个圆柱底面积+1个长方形 =π×12×20÷2+π×（12÷2）²+12×20 =156π+240 =156×3.14+240 =729.84（cm²） 半圆柱体积=圆柱体积的一半 =π×（12÷2）²×20÷2 =360π =3.14×360 =1130.4（cm³） 例2：求下面零件的体积。（单位：cm） 【答案】：82.425立方厘米 【分析】：零件体积=大圆锥体积-上面小圆锥体积。 大圆锥底面直径6cm，高10cm；小圆锥底面直径3cm，高5cm，可得： 根据“V=π（）² h”，则大圆锥体积=π×（6÷2）²×10=30π（cm³）、上面小圆锥体积=π×（3÷2）²×5=3.75π（cm³）； 所以，零件体积=30π-3.75π=26.25π（cm³）。 【解】：零件体积=大圆锥体积-上面小圆锥体积 =π×（6÷2）²×10-π×（3÷2）²×5 =30π-3.75π =26.25π =26.25×3.14 =82.425（cm³） 专题突破 突破点一：不规则柱体 1． 下图是一个底面半径为3厘米的圆柱木块削去一半后的形状，请计算出它的体积。 2． 求如图这个几何体的体积。（单位：dm） 突破点二：半圆柱 1． 下面是一个圆柱沿着底面直径竖直对半切开后的图形，求它的表面积。（单位：cm） 2． 手工课上，小红带来了一块高6厘米的圆柱形橡皮泥。（结果保留π） （1） 她把这块橡皮泥切成了两个完全相同的半圆柱（如图），表面积增加了48平方厘米，将其中的一块用彩纸包好，小红至少用了多少平方厘米的彩纸？ （2） 她将另一块捏成了一个高为6厘米的圆锥形陀螺，这个陀螺的底面积是多少平方厘米？ 3． 如图，一只工具箱的下半部分是棱长20厘米的正方体，上半部分是圆柱的一半。 （1） 工具箱外面包的一层皮革的面积是多少平方分米（锁扣处忽略不计）？ （2） 工具箱所占的空间是多少立方分米？ 4． 计算下面图形的表面积和体积。（图中的半圆柱的底面直径是10厘米） 5． 2022年北京冬奥会项目设有单板滑雪U形池赛，其U形池简化模型示意图如下，形状可看为一个长方体中挖去了半个圆柱体（沿高平分）。已知冬奥会标准形池规格：长为120米，宽为20米，高为3.5米，其中挖圆柱体的底面圆半径为6米。现请你作为设计师给U形池表面涂色（只涂内壁、左右面和前后面，不包括底面和上沿）。 （1）问涂色部分的面积多大？ （2）该U形池所占空间大小？ 6． 求下面个圆柱的表面积和体积。（单位：cm） 7． 求下面图形的体积（单位：厘米）。 突破点三：瓶子倒置 1． 一瓶装满的矿泉水，红红喝了一些，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高10厘米，内直径是6厘米。红红喝了多少毫升的水？ 2． 一瓶葡萄酒，瓶子的容积是1050立方厘米，瓶子中酒深15厘米，乐乐拧紧瓶盖后把瓶子倒置、放平，这时无酒部分的高度为6厘米。瓶中有多少毫升的葡萄酒？ 3． 如图，有一个装了360 ml饮料的瓶子，瓶中饮料的高度是16cm。把盖子拧紧后倒置放平，没有饮料的部分是圆柱形，高度是4cm，这个瓶子的容积是多少毫升? 4． 甲流是甲型流行性感冒的简称，是由甲型流感病毒感染人体所导致的急性呼吸道疾病。李华感染了甲流，需要输液。如图①所示，输液瓶液面高度是10厘米，液体是250毫升。护士阿姨给李华设置了平均每分钟5毫升的输液速度，10分钟后，空的部分高度是6厘米，如图②所示。 （1） 这个输液瓶的底面积是多少平方厘米？ （2） 这个输液瓶的容积是多少毫升？ 突破点四：横切圆锥 1． 如图，从一个圆锥高的处切下一个小圆锥，剩下部分的体积和切去部分的体积相比，（     ）。 A. 切去部分的体积大 B. 两部分的体积相等 C．剩下部分的体积大 D．无法判断 2． 如图所示，圆锥形容器中装有4L水，水面高度正好是圆锥高度的一半，已知水面半径和容器口半径的比为1∶2，则这个容器还能装（ ）升水。 A. 28 B. 32 C. 16 D. 20 3． 长征二号运载火箭顶部是逃逸塔发动机部分。为了方便研究，学校科学小组的同学制作了一个模型（实线部分为模型），它的下底面直径是6分米，上底面直径是3分米，高8分米，这个模型的体积是多少立方分米？ ( 第 1 页 共 1 页 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$