（配套训练）专题02 圆柱与圆锥-不规则物体的体积计算-2024-2025学年六年级下册数学计算大通关（人教版）

专题02 不规则物体的体积计算法 1． 一个底面积是20平方厘米的圆柱，斜着截去了一段后，剩下的图形如下图，截后剩下的图形的体积是（ ）立方厘米。 A. 140 B. 180 C. 220 D. 360 2． 一根长5米，横截面半径是10厘米的木头浮在水面上，正好有一半露出水面。这根木头与水接触的面积是（ ）平方米。 3． 一瓶葡萄糖氯化钠注射液（如图），从刻度可知里面液体的体积为500ml。把这瓶葡萄糖氯化钠溶液倒置，通过观察可知这个瓶子的容积是（ ）ml。 4． 有一玻璃密封器皿如图1，测得其底面直径为20cm，高为20cm。现内装蓝色溶液若干，如图2放置时，测得液面高10cm。如图3放置时，测得液面高16cm。该玻璃密封器皿总容量为（ ）cm³。（结果保留π） 5． 如图，一个啤酒瓶的高度为30cm，瓶中装有高度12cm的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度20cm，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为（ ）。（瓶底的厚度不计） 6． 如图所示，一个底面直径是6厘米，高是8厘米的圆柱被截取了一部分，成为了如图所示的类似楔形圆柱体，求这个立体图形的体积是多少立方厘米？如果下面的图形中截取一个高为4厘米的最大圆锥，那么这个圆锥的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 7． 如图所示，半圆柱的底面半径是20厘米、高是35厘米，打结处用了18厘米的彩带，包扎这样一个礼盒需要彩带多少厘米？ 8． 妈妈给小红买了一顶蚊帐，做这样一顶蚊帐至少需要多少平方米的薄纱？（蚊帐有3个面，得数保留整数） 9． 一个用塑料薄膜制作的蔬菜大棚，长20米，横截面是一个半径为2米的半圆。 （1）这个大棚的种植面积是多少平方米？ （2）大棚内的空间大约有多大？ （3）李大伯的农场里有50个这样的蔬菜大棚。已知每平方米的地每个季度能收2.4千克蔬菜，每千克蔬菜出售给餐饮公司，批发价为2.5元。照这样计算，李大伯农场的蔬菜棚一年能收入多少钱？ 10． 如图，一个圆柱体零件遭到了粗野的破坏，它被沿着底面直径和高切去了一部分，横截面和底面平行且直径为4厘米，求这个残破图形的体积。（单位：厘米） 11． 从下面这根长方体木料中削掉一个最大的半圆柱，求剩余木料的表面积。 12． 如图所示，在长方体上挖走圆柱的一半，求剩余部分的表面积和体积。（单位：厘米） 13． 小兵有一个圆柱形水壶（如图①）。 （1）这个水壶的表面积是多少平方厘米？ （2）一个瓶子装有果汁，把瓶盖拧紧，倒置、放平如图②所示。将瓶中的果汁全部倒入小兵的水壶中，高度正好是4厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（水壶、瓶子的厚度忽略不计） 14． 一个瓶子的下半部是圆柱形的，它的底面积是8平方厘米，瓶高12厘米。在瓶子里面注入高为6厘米的水（图①）。封好瓶口，将其倒立，则水高8厘米（图②）。这个瓶子的容积是多少立方厘米？ 15． 下图是一个圆锥形容器，装入12πml的水，容器高度正好是水面高度的3倍，水面半径和容器口的半径的比是1∶3。这个圆锥形容器的容积是多少毫升？ 16． “小老鼠，上灯台，偷油吃，下不来。”有一个圆锥形容器装满了2000毫升香油，小老鼠偷偷在容器的正中间咬了一个洞偷油，一直偷到油面与洞口平齐为止（如图），此时油面直径是容器底面直径的，小老鼠共偷了多少毫升香油？（容器厚度忽略不计） （1）油面的半径与容器底面半径的比是（        ）；油面的高度与容器高度的比是（        ）；剩余香油的体积与容器容积的比是（        ）。 （2）根据原来香油的体积，列式求出小老鼠共偷了多少毫升香油。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 不规则物体的体积计算法 答案与解析 1． 一个底面积是20平方厘米的圆柱，斜着截去了一段后，剩下的图形如下图，截后剩下的图形的体积是（ B ）立方厘米。 A. 140 B. 180 C. 220 D. 360 【答案】：B 【分析】：2个完全相同的不规则柱体可拼成一个底面积20cm²，高（7+11）cm的圆柱，如下图所示。因此，不规则柱体体积=圆柱体积的一半。 根据“V=Sh”，则不规则柱体体积=20×（7+11）÷2=180（cm³）。所以截后剩下的图形的体积是180cm³，故选B。 2． 一根长5米，横截面半径是10厘米的木头浮在水面上，正好有一半露出水面。这根木头与水接触的面积是（ 1.6014 ）平方米。 【答案】：1.6014 【分析】：木头正好有一半露出水满，与水接触的面积是圆柱侧面积的一半和1个圆柱底面积之和。因此，与水接触的面积=圆柱表面积的一半。 由题可知，圆柱底面半径是10cm，10cm=0.1m，高5m，根据“S表=2πrh+2πr²”，则与水接触的面积=3.14×0.1×5+3.14×0.1²=1.6014（m²）。 3． 一瓶葡萄糖氯化钠注射液（如图），从刻度可知里面液体的体积为500ml。把这瓶葡萄糖氯化钠溶液倒置，通过观察可知这个瓶子的容积是（ 650 ）ml。 【答案】：650 【分析】：瓶子正放或倒放，液体前后体积不变，因此空余部分前后也不变，则瓶子容积=正放时液体体积+倒放时空余部分容积。由图可知，瓶子正放时，液体体积是500ml；瓶子倒放时，空余部分容积是150ml，所以这个瓶子的容积是500+150=650（ml）。 4． 有一玻璃密封器皿如图1，测得其底面直径为20cm，高为20cm。现内装蓝色溶液若干，如图2放置时，测得液面高10cm。如图3放置时，测得液面高16cm。该玻璃密封器皿总容量为（ 1400π ）cm³。（结果保留π） 【答案】：1400π 【分析】：器皿容积一定，无论正放还是倒放，蓝色溶液体积不变，所以空余部分的体积也不变。因此，器皿总容量=图2阴影圆柱体积+图3空白圆柱体积。 图2阴影圆柱，底面直径20cm，高10cm，代入“V=πr²h”，则阴影圆柱体积=π×（20÷2）²×10=1000π（cm³）； 图3空白圆柱，底面直径20cm，高（20-16）cm，代入“V=πr²h”，则空白圆柱体积=π×（20÷2）²×（20-16）=400π（cm³）； 所以，器皿总容量是1000π+400π=1400π（cm³）。 5． 如图，一个啤酒瓶的高度为30cm，瓶中装有高度12cm的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度20cm，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为（ 6∶11 ）。（瓶底的厚度不计） 【答案】：6∶11 【分析】：瓶子容积=正放时水体积+倒放时空余部分体积，其中： 正放时，瓶中水相当于1个与瓶子等底，高12cm的圆柱；倒放时，空余部分相当于1个与瓶子等底，高（30-20）cm的圆柱，据此瓶子转化成1个高（12+30-20）cm的圆柱。 根据“圆柱底面积相等时，体积之比等于高之比”，可得： V水∶V瓶=h水∶h瓶=12∶（12+30-20）=12∶22=6∶11，所以瓶中水的体积和瓶子的容积之比是6∶11。 6． 如图所示，一个底面直径是6厘米，高是8厘米的圆柱被截取了一部分，成为了如图所示的类似楔形圆柱体，求这个立体图形的体积是多少立方厘米？如果下面的图形中截取一个高为4厘米的最大圆锥，那么这个圆锥的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 【答案】：169.56立方厘米；37.68立方厘米 【分析】：（1）2个完全相同的不规则柱体可拼成一个底面直径6cm，高（4+8）cm的圆柱。因此，不规则柱体体积=圆柱体积的一半。 根据“V=π（）² h”，则不规则柱体体积=3.14×（6÷2）²×（4+8）÷2=169.56（cm³）。所以，这个立体图形的体积是169.56立方厘米； （2） 截取的最大圆锥与该立体图形等底，即底面直径是6cm，高4cm，求圆锥体积，代入“V=π（）² h”计算即可。 【解】：（1）3.14×（6÷2）²×（4+8）÷2=169.56（cm³） 答：这个立体图形的体积是169.56立方厘米。 （2）×3.14×（6÷2）²×4=37.68（cm³） 答：这个圆锥的体积是37.68立方厘米。 7． 如图所示，半圆柱的底面半径是20厘米、高是35厘米，打结处用了18厘米的彩带，包扎这样一个礼盒需要彩带多少厘米？ 【答案】：230.8 【分析】：关键在于理清用了多少条彩带及每条彩带的长度。观察图形可知： 前面用了1条半径长，后面也有1条半径长，合计：2条半径； 上面用了1条高、2条半径长，下面有1条高、底面周长，合计：2条高+2条半径+底面周长； 综上，彩带长度=2条高+4条半径+底面周长+打结处18cm。 由题可知，高35cm，底面半径20cm，底面周长=×2×3.14×20，所以彩带长度=35×2+20×4+×2×3.14×20+18=230.8（cm）。 【解】：彩带长度=2条高+4条半径+底面周长+打结处 35×2+20×4+×2×3.14×20+18 =70+80+62.8+18 =230.8（cm） 答：包扎这样一个礼盒需要彩带230.8厘米。 8． 妈妈给小红买了一顶蚊帐，做这样一顶蚊帐至少需要多少平方米的薄纱？（蚊帐有3个面，得数保留整数） 【答案】：4平方米 【分析】：由题可知，蚊帐由3个面组成，包含1个圆柱侧面积的一半，2个半圆之和相当于1个圆柱底面积。所以，薄纱面积=圆柱侧面积的一半+1个圆柱底面积。 底面直径1.2m，高1.5m，可得： 根据“S侧=πdh”，则圆柱侧面积的一半=π×1.2×1.5÷2=0.9π（m²）； 代入“S=πr²”，则圆柱底面积=π×（1.2÷2）²=0.36π（m²）； 所以，薄纱面积=0.9π+0.36π=1.26π（m²）。题目要求保留整数，要保证薄纱够用，本题应当采用“进一法”取整。 【解】：薄纱面积=圆柱侧面积的一半+1个圆柱底面积 =π×1.2×1.5÷2+π×（1.2÷2）² =0.9π+0.36π =1.26π =1.26×3.14 ≈4（m²） 答：做这样一顶蚊帐至少需要4平方米的薄纱。 9． 一个用塑料薄膜制作的蔬菜大棚，长20米，横截面是一个半径为2米的半圆。 （1）这个大棚的种植面积是多少平方米？ （2）大棚内的空间大约有多大？ （3）李大伯的农场里有50个这样的蔬菜大棚。已知每平方米的地每个季度能收2.4千克蔬菜，每千克蔬菜出售给餐饮公司，批发价为2.5元。照这样计算，李大伯农场的蔬菜棚一年能收入多少钱？ 【答案】：（1）80平方米；（2）125.6立方米；（3）96000元 【分析】：（1）大棚的种植区域是一个长20m、宽（2×2）m的长方形，求种植面积，也就是求这个长方形的面积，代入“S=ab”计算。所以，这个大棚的种植面积是20×2×2=80（m²）； （2）求大棚内的空间，也就是求半圆柱的容积，根据“半圆柱容积=圆柱容积的一半”解答。 已知圆柱底面半径2m，高20m，根据“V=πr²h”，则大棚内空间是3.14×2²×20÷2=125.6（m³）； （3） 求李大伯农场50个蔬菜棚的年收入，先算出1个蔬菜大棚的年收入，再乘50即可。 已知每平方米的地每个季度能收2.4kg蔬菜，结合第（1）问每个大棚种植面积80m²，则： 1个蔬菜大棚1个季度能收蔬菜：（2.4×80）kg； 1个蔬菜大棚1年能收蔬菜：（2.4×80×4）kg； 批发价为2.5元/千克，则1个蔬菜大棚1年收入：2.4×80×4×2.5=1920（元）； 50个蔬菜大棚1年收入：1920×50=96000（元）。 【解】：（1）20×2×2=80（m²） 答：这个大棚的种植面积是80平方米。 （2）3.14×2²×20÷2=125.6（m³） 答：大棚内的空间大约是125.6立方米。 （3）1个蔬菜大棚1年收入：2.4×80×4×2.5=1920（元） 50个蔬菜大棚1年收入：1920×50=96000（元） 答：李大伯农场的蔬菜棚一年收入96000元。 10． 如图，一个圆柱体零件遭到了粗野的破坏，它被沿着底面直径和高切去了一部分，横截面和底面平行且直径为4厘米，求这个残破图形的体积。（单位：厘米） 【答案】：106.76立方厘米 【分析】：观察图形可知，切去的是一个半圆柱，则残破图形体积=圆柱体积-半圆柱体积。 圆柱底面直径4cm、高11cm；半圆柱底面直径4cm、高5cm，根据“V=π（）²h”，可得： 圆柱体积=π×（4÷2）²×11=44π（cm³）； 半圆柱体积=π×（4÷2）²×5÷2=10π（cm³）； 所以，残破图形体积=44π-10π=34π（cm³）。 【解】：残破图形体积=圆柱体积-半圆柱体积 =π×（4÷2）²×11-π×（4÷2）²×5÷2 =44π-10π =34π =34×3.14 =106.76（cm³） 答：这个残破图形的体积是106.76立方厘米。 11． 从下面这根长方体木料中削掉一个最大的半圆柱，求剩余木料的表面积。 【答案】：253.94平方厘米 【分析】：如图所示，从长方体木料中削掉一个最大的半圆柱，表面积增加圆柱侧面积的一半；与此同时，减少长方体的上面和1个圆柱底面积。 因此，剩余木料表面积=长方体五面（无上面）+圆柱侧面积的一半-1个圆柱底面积。 长方体长10cm、宽6cm、高4cm；圆柱底面直径6cm、高10cm，可得： 根据“S表=2（ab+ah+bh）”，则长方体五面（无上面）=10×6+2×（10×4+4×6）=188（cm²）； 根据“S=πdh”，则圆柱侧面积的一半=π×6×10÷2=30π（cm²）； 代入“S=πr²”，则圆柱底面积=π×（6÷2）²=9π（cm²）； 所以，剩余木料表面积=188+30π-9π=（188+21π）cm²。 【解】：剩余木料表面积=长方体五面（无上面）+圆柱侧面积的一半-1个圆柱底面积，其中： 长方体五面（无上面）：10×6+2×（10×4+4×6）=188（cm²） 圆柱侧面积的一半：π×6×10÷2=30π（cm²） 圆柱底面积：π×（6÷2）²=9π（cm²） 剩余木料表面积：188+30π-9π =188+21π =188+21×3.14 =253.94（cm²） 答：剩余木料的表面积是253.94平方厘米。 12． 如图所示，在长方体上挖走圆柱的一半，求剩余部分的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】：表面积379.7平方厘米；体积470.58立方厘米 【分析】：如图所示，从长方体中挖走圆柱的一半，表面积增加圆柱侧面积的一半；与此同时，减少1个长6cm、宽（10-4×2）cm的长方形和1个圆柱底面积。 所以，剩余部分表面积=长方体表面积+圆柱侧面积的一半-1个长方形-1个圆柱底面积 剩余部分体积=长方体体积-半圆柱体积 长方体长10cm、宽6cm、高8cm；圆柱底面直径10-4×2=2（cm）、高6cm，可得： 代入“S表=2（ab+ah+bh）”，则长方体表面积=2×（10×6+10×8+6×8）=376（cm²）； 根据“S侧=πdh”，则圆柱侧面积的一半=3.14×2×6÷2=18.84（cm²）； 代入“S=ab”，则长方形面积=6×2=12（cm²）； 代入“S=πr²”，则圆柱底面积=3.14×（2÷2）²=3.14（cm²）； 所以，剩余部分表面积=376+18.84-12-3.14=379.7（cm²）。 代入“V=abh”，则长方体体积=10×6×8=480（cm³）； 根据“V=π（）² h”，则半圆柱体积=3.14×（2÷2）²×6÷2=9.42（cm³）； 所以，剩余部分体积=480-9.42=470.58（cm³）。 【解】：剩余部分表面积=长方体表面积+圆柱侧面积的一半-1个长方形-1个圆柱底面积 底面直径：10-4×2=2（cm） 长方体表面积：2×（10×6+10×8+6×8）=376（cm²） 圆柱侧面积的一半：3.14×2×6÷2=18.84（cm²） 长方形面积：6×2=12（cm²） 圆柱底面积：3.14×（2÷2）²=3.14（cm²） 剩余部分表面积：376+18.84-12-3.14=379.7（cm²） 剩余部分体积=长方体体积-半圆柱体积 =10×6×8-3.14×（2÷2）²×6÷2 =480-9.42 =470.58（cm³） 13． 小兵有一个圆柱形水壶（如图①）。 （1）这个水壶的表面积是多少平方厘米？ （2）一个瓶子装有果汁，把瓶盖拧紧，倒置、放平如图②所示。将瓶中的果汁全部倒入小兵的水壶中，高度正好是4厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（水壶、瓶子的厚度忽略不计） 【答案】：（1）477.28平方厘米；（2）1004.8毫升 【分析】：（1）求水壶的表面积，也就是求圆柱的表面积。由图可知，圆柱底面直径8cm，高15cm，代入“S表=πdh+2π（）²”计算即可； （2） 瓶子容积=果汁体积+空余部分体积。其中： 将瓶中果汁全部倒入水壶，高正好4cm，则果汁相当于1个与水壶等底、高4cm的圆柱；空余部分相当于1个与水壶等底、高16cm的圆柱，据此将瓶子转化成1个底面直径8cm、高（4+16）cm的圆柱。求瓶子容积，代入“V=π（）² h”计算即可，注意单位换算。 【解】：（1）3.14×8×15+2×3.14×（8÷2）²=477.28（cm²） 答：这个水壶的表面积是477.28平方厘米。 （2）3.14×（8÷2）²×（4+16）=1004.8（cm³） 1004.8cm³=1004.8ml 答：这个瓶子的容积是1004.8毫升。 14． 一个瓶子的下半部是圆柱形的，它的底面积是8平方厘米，瓶高12厘米。在瓶子里面注入高为6厘米的水（图①）。封好瓶口，将其倒立，则水高8厘米（图②）。这个瓶子的容积是多少立方厘米？ 【答案】：80立方厘米 【分析】：瓶子正放或倒置，水的体积不变，所以空余部分的体积也不变，则瓶子容积=正放时水体积+倒放时空余部分体积。 正放时，瓶中水相当于1个与瓶子等底、高6cm的圆柱；倒放时，空余部分相当于1个与瓶子等底、高（12-8）cm的圆柱，据此瓶子转化成1个底面积8cm²、高（6+12-8）cm的圆柱，求容积，代入“V=Sh”计算即可。 【解】：8×（6+12-8）=80（cm³） 答：这个瓶子的容积是80立方厘米。 15． 下图是一个圆锥形容器，装入12πml的水，容器高度正好是水面高度的3倍，水面半径和容器口的半径的比是1∶3。这个圆锥形容器的容积是多少毫升？ 【答案】：324π毫升 【分析】：由图可知，水体积相当于1个小圆锥容积，且小圆锥容积是12πml。 已知小圆锥半径和容器口半径的比是1∶3，则容器底面积是小圆锥底面积的（3×3）倍；； 又知容器高是小圆锥高的3倍，根据“V=Sh”，容器容积是小圆锥容积的3×3×3=27倍； 小圆锥容积是12πml，则容器容积是12π×27=324π（ml）。 【解】：容器容积是水体积的：3×3×3=27倍 容器容积：12π×27=324π（ml） 答：这个圆锥形容器的容积是324π毫升。 16． “小老鼠，上灯台，偷油吃，下不来。”有一个圆锥形容器装满了2000毫升香油，小老鼠偷偷在容器的正中间咬了一个洞偷油，一直偷到油面与洞口平齐为止（如图），此时油面直径是容器底面直径的，小老鼠共偷了多少毫升香油？（容器厚度忽略不计） （1）油面的半径与容器底面半径的比是（        ）；油面的高度与容器高度的比是（        ）；剩余香油的体积与容器容积的比是（        ）。 （2）根据原来香油的体积，列式求出小老鼠共偷了多少毫升香油。 【答案】：（1）1∶2；1∶2；1∶8；（2）1750毫升 【分析】：（1）由题可知，油面直径是容器底面直径的，所以油面半径是容器底面半径的，即油面半径∶容器底面半径=1∶2； 由图可知，油面高度是h，容器高度是2h，所以油面高度∶容器高度=h∶2h=1∶2； 剩余香油体积，即图中阴影圆锥，已知阴影圆锥底面积是容器底面积的×=，阴影圆锥高是容器高的，根据“V=Sh”可知，阴影圆锥体积是容器容积的×=，所以剩余香油的体积与容器容积的比是1∶8。 （2）小老鼠偷香油=容器容积-阴影圆锥容积=（1-）×容器容积。 由题可知，圆锥形容器装满了2000毫升香油，也就是容器容积是2000ml，则小老鼠偷香油（1-）×2000=1750（ml）。 【解】：（2）（1-）×2000=1750（ml） 答：小老鼠共偷了1750毫升香油。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$