专题01 第三单元圆柱与圆锥-组合体的表面积和体积-2024-2025学年六年级下册数学计算大通关（人教版）

2024-2025学年六年级下册数学计算大通关 第三单元圆柱与圆锥·组合体的表面积和体积 本专题单元讲义，包含四大内容： 1、 常用知识点梳理：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、 易错提示：对学习中的高频易错点进行总结和归纳并提出应对策略。 3、典例分析：选取典型例题进行分析，让学生学习解题的方法、过程和知识点的运用。 4、专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 目录 常用知识点 3 圆柱的组成和特征 3 圆柱的侧面积 3 圆柱的表面积 3 圆柱的体积 4 圆锥的组成和特征 5 圆锥的体积 5 圆柱、圆锥的体积关系 6 立体图形的表面积、体积计算公式汇总 6 求组合体表面积和体积的方法 7 易错提示 7 典例分析 11 专题突破 12 突破点一：组合圆柱体的表面积、体积 12 突破点二：组合圆锥体的体积 14 突破点三：空心圆柱体的表面积、体积 17 常用知识点 1． 圆柱的组成和特征 （1） 圆柱的组成 圆柱由3个面围成，包含2个底面和1个侧面。 （2） 圆柱的特征 ①圆柱底面的特征：两个底面是完全相同的圆； ②圆柱侧面的特征：侧面是一个曲面； ③高的特征：尝试在圆柱两底之间画高，无论怎样画都画不完。由此可得：一个圆柱有无数条高，且长度都相等； ④圆柱上下粗细均匀。 2． 圆柱的侧面积 公式 字母表示 圆柱侧面积=底面周长×高 直接计算→S侧=Ch 利用底面半径→S侧=2πrh 利用底面直径→S侧=πdh 3． 圆柱的表面积 （1）圆柱表面积的计算公式 圆柱的侧面积与两个底面积的和，叫作圆柱的表面积。 圆柱由3个面围成→圆柱的表面积 = 圆柱侧面积 + 底面积×2 Ch 2πr² S侧：圆柱的侧面积→S侧=Ch=2πrh=πdh； S底：圆柱的底面积→S底=πr²； S表：圆柱的表面积→S表=S侧+2S底。 公式 字母表示 圆柱表面积=圆柱侧面积+底面积×2 直接计算→S表=Ch+2πr² 利用半径→S表=2πrh+2πr² 利用直径→S表=πdh+2π（）² 利用底面周长→S表=Ch+2π（）² 4． 圆柱的体积 （1）圆柱的体积：圆柱所占空间的大小，叫作圆柱的体积。 （2）圆柱体积的计算公式 圆柱体积=底面积×高，用字母表示：V=Sh。 计算一个圆柱的体积时，如果已知该圆柱的高和底面半径或底面直径或底面周长，要先求出底面积，再求体积，也可以列综合算式计算。 公式 字母表示 圆柱体积=底面积×高 直接计算→V=Sh 利用底面半径→V=πr²h 利用底面直径→V=π（）² h 利用底面周长→V=π（）² h 【过程】先根据底面周长求出底面半径：r= 再求出底面积：S=π（）² 最后求出体积：V=π（）² h 利用圆柱侧面积→V=S侧÷2×r 5． 圆锥的组成和特征 （1）圆锥的组成 圆锥由2个面围成，包含1个底面和1个侧面。 （2）圆锥的特征 ①圆锥有一个顶点； ②圆锥底面的特征：底面是一个圆，且底面圆周上任意一点与顶点之间的连线都相等； ③圆锥侧面的特征：侧面是一个曲面，侧面展开图是一个扇形； ④高的特征：圆锥只有一条高； 6． 圆锥的体积 （1）圆锥的体积：圆锥所占空间的大小，叫作圆锥的体积。 （2）圆锥体积的计算公式 圆锥体积=×底面积×高，用字母表示：V=Sh。 公式 字母表示 圆锥体积=×底面积×高 直接计算→V=Sh 已知圆锥体积和高，反求底面积→S=3V÷h； 已知圆锥体积和底面积，反求高→h=3V÷S。 利用底面半径→V=πr²h 利用底面直径→V=π（）² h 利用底面周长→π（）² h 7． 圆柱、圆锥的体积关系 情形 关系 圆柱与圆锥 等底等高 圆柱体积是圆锥体积的3倍。 和差问题：圆柱和圆锥的体积之差是圆锥体积的2倍； 圆柱和圆锥的体积之和是圆锥体积的4倍。 或 圆锥体积是圆柱体积的（圆锥体积比圆柱体积少）； 或 V锥∶V柱=1∶3 圆柱与圆锥 等底等体积 圆锥的高是圆柱高的3倍； 或 h锥∶h柱=3∶1 圆柱与圆锥 等高等体积 圆锥的底面积是圆柱的3倍； 或 S锥∶S柱=3∶1 【易错提示】：是底面积，不是底面半径。 8． 立体图形的表面积、体积计算公式汇总 名称 图形 表面积公式 体积公式 长方体 表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 S表=2（ab+ah+bh） 体积=长×宽×高；V=abh 体积=底面积×高；V=Sh 正方体 表面积=棱长×棱长×6 S表=6a² 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a=a³ 圆柱 圆柱表面积=侧面积+底面积×2 直接计算→S表=Ch+2πr²； 利用底面半径→S表=2πrh+2πr²； 利用底面直径→S表=πdh+2π（）²； 利用底面周长→S表=Ch+2π（）²。 圆柱体积=底面积×高 直接计算→V柱=Sh； 利用底面半径→V柱=πr²h； 利用底面直径→V柱=π（）² h； 利用底面周长→V柱=π（）² h； 利用圆柱侧面积→V柱=S侧÷2×r。 圆锥 圆锥体积=×底面积×高 直接计算→V锥=Sh； 利用底面半径→V锥=πr²h； 利用底面直径→V锥=π（）² h； 利用底面周长→V锥=π（）² h。 9． 求组合体表面积和体积的方法 （1）表面积：求组合体的表面积，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些面，各个面的面积应该怎样求，再根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减。 （2）体积：求组合体的体积，也要先弄清各组成部分，再根据公式求出各图形的体积，最后相加或相减。 （3） 空心圆柱 ( 空心圆柱表面积 = 大圆柱侧面积 + 小圆柱侧面积 +2 个圆环面积 【提示】：圆环面积 = 大圆柱底面积 - 小圆柱底面积 空心圆柱体积 = 大圆柱体积 - 小圆柱体积 ) 易错提示 易错点1：计算组合体的表面积时，忽视重叠部分，导致计算错误。 规避策略：求组合体的表面积时，应注意重叠部分的处理。 例题：一个3层蛋糕，每层高10厘米，各层底面半径分别为30厘米、20厘米、10厘米。这个蛋糕的表面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】：9420平方厘米 【分析】：方法1：蛋糕表面积=三个圆柱表面积之和-重叠部分面积。 从上至下，小、中、大三个圆柱摆在一起，会减少2个小圆柱和2个中圆柱的底面积，即： 蛋糕表面积=大圆柱表面积+中圆柱表面积+小圆柱表面积-小圆柱底面积×2-中圆柱底面积×2 =大圆柱表面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积 因此，蛋糕表面积=大圆柱表面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积。 已知小、中、大3个圆柱的底面半径依次是10cm、20cm、30cm，且高都是10cm，可得： 代入“S表=2πrh+2πr²”，则大圆柱表面积=2π×30×10+2π×30²=2400π（cm²）； 根据“S侧=2πrh”，则小、中圆柱侧面积之和=2π×（10+20）×10=600π（cm²）； 所以，蛋糕表面积=2400π+600π=3000π（cm²）。 【解】：蛋糕面积=大圆柱表面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积，其中： 大圆柱表面积：2π×30×10+2π×30²=2400π（cm²） 小、中圆柱侧面积之和：2π×（10+20）×10=600π（cm²） 蛋糕表面积：2400π+600π =3000π =3000×3.14 =9420（cm²） 答：这个蛋糕的表面积是9420平方厘米。 方法2：结合三视图法解答。 蛋糕表面积=上面+下面+侧面，其中， 该组合体从上面看是三个同心圆，且面积和组合体的下面相等，是大圆柱的底面积，如下图所示： 该组合体的侧面包含大圆柱、中圆柱和小圆柱的侧面积。 蛋糕表面积=上面+下面+侧面 =大圆柱底面积×2+大圆柱侧面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积 =大圆柱表面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积 因此，蛋糕表面积=大圆柱表面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积 根据题目已知条件，算出大圆柱表面积，中、小圆柱侧面积，再相加求和。 易错点2：从立体图形中挖去圆柱后求表面积。 规避策略：认真审题，明确是否挖穿。 情况 图形 表面积变化 图形表面积 未挖穿 增加的表面积=小圆柱侧面积。 挖去1个小圆柱，表面积增加小圆柱侧面积和1个小圆柱底面积；与此同时，大圆柱上底面减少1个小圆柱底面积，小圆柱底面积一增一减，可抵消。 因此，增加的表面积是小圆柱的侧面积。 图形表面积 =大圆柱表面积+小圆柱侧面积 挖穿 空心圆柱 增加的表面积=小圆柱侧面积-2个小圆柱底面积。 挖去1个小圆柱，表面积增加小圆柱侧面积；与此同时，大圆柱上、下底面合计减少2个小圆柱底面积。 图形表面积 =大圆柱表面积+小圆柱侧面积-2个小圆柱底面积 =大圆柱侧面积+小圆柱侧面积+2个圆环面积 例1：在一个底面直径是5cm，高是8cm的大圆柱体的上面正中向下挖一个底面直径是2cm、高是2cm的小圆柱，大圆柱体的表面积增加的部分是小圆柱的（ C ）。 A. 表面积 B. 侧面积与一个底面积的和 C. 侧面积 【答案】：C ( 小圆柱高 2cm ，大圆柱高 8cm ， 2 ＜ 8 ，未挖透。 挖去 1 个小圆柱后，表面积增加小圆柱侧面积和 1 个小圆柱底面积，与此同时，大圆柱上底面减少 1 个小圆柱底面积，小圆柱底面积一增一减，可抵消。因此， 增加的表面积 = 小圆柱侧面积 ，故选 C 。 )【分析】：根据题意画图如下： 例2：在一个棱长为5厘米的正方体中间挖了一个半径为2厘米的圆柱形的孔（如图），求剩下的表面积。 【答案】：187.68平方厘米 【分析】：在正方体中间挖了一个圆柱形的孔，且挖透，表面积增加圆柱侧面积，与此同时正方体上、下面合计减少2个圆柱底面积。 因此，剩下表面积=正方体表面积+圆柱侧面积-2个圆柱底面积。 正方体棱长是5cm；圆柱的底面半径是2cm，圆柱的高=正方体棱长=5cm，可得： 代入“S=6a²”，则正方体表面积=6×5×5=150（cm²）； 代入“S侧=2πrh”，则圆柱侧面积=2π×2×5=20π（cm²）； 根据“S底=πr²”，则2个圆柱底面积=2π×2²=8π（cm²）； 所以，剩下表面积=150+20π-8π=（150+12π）cm²。 【解】：剩下表面积=正方体表面积+圆柱侧面积-2个圆柱底面积，其中： 正方体表面积：6×5×5=150（cm²） 圆柱侧面积：2π×2×5=20π（cm²） 2个圆柱底面积：2π×2²=8π（cm²） 剩下表面积：150+20π-8π =150+12π =150+12×3.14 =187.68（cm²） 答：剩下的表面积是187.68平方厘米。 典例分析 例1：在正方体的上面摆一个圆柱体，求这个组合体的表面积。 【答案】：725.6平方厘米 【分析】：观察图形发现，圆柱和正方体摆在一起，减少2个圆柱底面积，即： 组合体表面积=圆柱表面积+正方体表面积-圆柱底面积×2。 =圆柱侧面积+正方体表面积 因此，组合体表面积=圆柱侧面积+正方体表面积。 圆柱底面直径是5cm，高是8cm；正方体棱长是10cm，可得： 代入“S侧=πdh”，则圆柱侧面积=3.14×5×8； 代入“S表=6a²”，则正方体表面积=6×10²； 所以，组合体表面积=3.14×5×8+6×10²=725.6（cm²） 【解】：组合体表面积=圆柱侧面积+正方体表面积 =3.14×5×8+6×10² =125.6+600 =725.6（cm²） 例2：求下面图形的体积。 【答案】：320.28立方厘米 【分析】；图形体积=圆锥体积+圆柱体积。 圆锥底面直径是6cm，高是4cm；圆柱底面直径是6cm，高是10cm，可得： 代入“V=π（）² h”，则圆锥体积=π×（6÷2）²×4； 代入“V=π（）² h”，则圆柱体积=π×（6÷2）²×10； 所以，图形体积=π×（6÷2）²×4+π×（6÷2）²×10=102π（cm³）。 【解】：图形体积=圆锥体积+圆柱体积 =π×（6÷2）²×4+π×（6÷2）²×10 =12π+90π =102π =102×3.14 =320.28（cm³） 专题突破 突破点一：组合圆柱体的表面积、体积 1． 计算下面图形的表面积和体积。 2． 计算下面图形的表面积和体积。 【实际应用】 3． 综合实践课，小明制作了一顶帽子（如图），上面是圆柱形；帽檐部分是一个圆环，做这顶帽子一共用布（     ）平方厘米。 A．628 B．1256 C．1884 D．2198 4． （1）要将街心花园的路灯柱刷上白色的油漆（如下图，圆柱的上、下底面不刷漆），要刷多少平方米？（得数保留一位小数。） （2）有30个这样的路灯柱，如果刷油漆的人工费为每平方米15元，一共需要人工费多少元？ 5． 一个底面半径10厘米，高20厘米的圆柱体木料，从上面的中心向下挖出一个半径6厘米、高6厘米的圆柱后，再接着向下挖出一个半径4厘米、高4厘米的小圆柱（如图），剩下物体的表面积是多少？ 突破点二：组合圆锥体的体积 1． 求下面立体图形的体积。（单位：cm） 2． 求组合图形的体积。（单位：cm） 3． 计算图中阴影部分的体积。 4． 如图，一个圆柱体，从中挖去一个圆锥，计算剩余部分的体积。（单位：厘米） 5． 计算图中阴影部分的体积。（单位：厘米） 6． 计算下面图形的体积。 7． 求下面立体图形的体积。 【实际应用】 8． 把冰激凌的上面部分也看作是近似的圆锥，下图的冰激凌的体积是多少？（单位：cm） 9． 下图ABCD是直角梯形，以AB为轴并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，它的体积是（ ）立方厘米。（除不尽的保留两位小数） 10． 下边是一个零件，它的体积是600立方厘米，那么上面圆锥部分的体积是（ ）立方厘米？ 11． 如图是一个玩具店出售的一种陀螺。它的上面是圆柱，下面是圆锥。圆柱与圆锥等底等高，圆柱的直径是6厘米，高是4厘米。 （1） 这种陀螺的体积是多少立方厘米？ （2） 如果给一个这样的陀螺制作一个长方体的包装盒，至少需要多少平方厘米的包装纸？（接头处忽略不计）。 12． 沙漏又称为沙钟，是我国古代的一种计时仪器。如图所示，该沙漏由两个大小一样的圆锥组成。圆锥形沙漏的底面周长是18.84分米，高是3分米，这个沙漏的体积是（ ）立方分米。 13． 沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器到另一个容器的数量来计算时间的。下图展示了一个沙漏记录时间的情况，沙漏每分钟漏下的流沙的体积一定。 （1） 求出此时沙漏上半部分流沙的体积。 （2） 现在沙漏下半部分的体积是47.1立方厘米。如果再过两分钟，沙漏上半部分的流沙可以全部漏到下边，那么现在下半部分的流沙已经计量了多少分钟？（用比例解答） 突破点三：空心圆柱体的表面积、体积 1． 求如图的表面积和体积。 ​ 2． 下图是一根钢管，求它的表面积和体积。（单位：cm） 3． 求如图圆柱（空心）的体积（单位：厘米）。 4． 求下面图形的表面积。（单位：厘米） 5． 在一个底面半径是5厘米，高是6厘米的圆柱中挖了一个长方体小孔，这个长方体小孔的底面是一个边长为2厘米的正方形，现在这个物体的表面积是多少平方厘米？ 6． 如图，在一个棱长为4厘米的正方体的六个面的中心位置各挖去一个底面半径是0.5厘米、深是1厘米的圆柱。这个图形的表面积是多少？ 【实际应用】 7． （判断）在圆柱体一个面的中间挖了一个小圆柱（没挖透），表面积减少了。（ ） 8． 如图，加工一个长5厘米、宽3厘米，高4厘米的长方体铁块，选择面积最小的一个面，从该面的正中间打一个直径为2厘米的圆孔，一直贯穿到对面就可以做成一个零件。 （1） 这个零件的体积是多少立方厘米？（π取3）； （2） 为了防止零件生锈，师傅给该零件与空气接触的面都喷上油漆，则喷油漆的面积是多少平方厘米？（π取3） 9． 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如图。圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？ 10． 如图，李师傅把一个正方体木块挖去一个底面半径是3厘米的圆柱，变成一个空心的容器。如果这个容器的表面积增加了131.88平方厘米，那么这个圆柱的体积是多少立方厘米？ ( 第 1 页 共 1 页 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级下册数学计算大通关 第三单元圆柱与圆锥·组合体的表面积和体积 本专题单元讲义，包含四大内容： 1、 常用知识点梳理：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、 易错提示：对学习中的高频易错点进行总结和归纳并提出应对策略。 3、典例分析：选取典型例题进行分析，让学生学习解题的方法、过程和知识点的运用。 4、专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 目录 常用知识点 3 圆柱的组成和特征 3 圆柱的侧面积 3 圆柱的表面积 3 圆柱的体积 4 圆锥的组成和特征 5 圆锥的体积 5 圆柱、圆锥的体积关系 6 立体图形的表面积、体积计算公式汇总 6 求组合体表面积和体积的方法 7 易错提示 7 典例分析 11 专题突破 12 突破点一：组合圆柱体的表面积、体积 12 突破点二：组合圆锥体的体积 18 突破点三：空心圆柱体的表面积、体积 27 常用知识点 1． 圆柱的组成和特征 （1） 圆柱的组成 圆柱由3个面围成，包含2个底面和1个侧面。 （2） 圆柱的特征 ①圆柱底面的特征：两个底面是完全相同的圆； ②圆柱侧面的特征：侧面是一个曲面； ③高的特征：尝试在圆柱两底之间画高，无论怎样画都画不完。由此可得：一个圆柱有无数条高，且长度都相等； ④圆柱上下粗细均匀。 2． 圆柱的侧面积 公式 字母表示 圆柱侧面积=底面周长×高 直接计算→S侧=Ch 利用底面半径→S侧=2πrh 利用底面直径→S侧=πdh 3． 圆柱的表面积 （1）圆柱表面积的计算公式 圆柱的侧面积与两个底面积的和，叫作圆柱的表面积。 圆柱由3个面围成→圆柱的表面积 = 圆柱侧面积 + 底面积×2 Ch 2πr² S侧：圆柱的侧面积→S侧=Ch=2πrh=πdh； S底：圆柱的底面积→S底=πr²； S表：圆柱的表面积→S表=S侧+2S底。 公式 字母表示 圆柱表面积=圆柱侧面积+底面积×2 直接计算→S表=Ch+2πr² 利用半径→S表=2πrh+2πr² 利用直径→S表=πdh+2π（）² 利用底面周长→S表=Ch+2π（）² 4． 圆柱的体积 （1）圆柱的体积：圆柱所占空间的大小，叫作圆柱的体积。 （2）圆柱体积的计算公式 圆柱体积=底面积×高，用字母表示：V=Sh。 计算一个圆柱的体积时，如果已知该圆柱的高和底面半径或底面直径或底面周长，要先求出底面积，再求体积，也可以列综合算式计算。 公式 字母表示 圆柱体积=底面积×高 直接计算→V=Sh 利用底面半径→V=πr²h 利用底面直径→V=π（）² h 利用底面周长→V=π（）² h 【过程】先根据底面周长求出底面半径：r= 再求出底面积：S=π（）² 最后求出体积：V=π（）² h 利用圆柱侧面积→V=S侧÷2×r 5． 圆锥的组成和特征 （1）圆锥的组成 圆锥由2个面围成，包含1个底面和1个侧面。 （2）圆锥的特征 ①圆锥有一个顶点； ②圆锥底面的特征：底面是一个圆，且底面圆周上任意一点与顶点之间的连线都相等； ③圆锥侧面的特征：侧面是一个曲面，侧面展开图是一个扇形； ④高的特征：圆锥只有一条高； 6． 圆锥的体积 （1）圆锥的体积：圆锥所占空间的大小，叫作圆锥的体积。 （2）圆锥体积的计算公式 圆锥体积=×底面积×高，用字母表示：V=Sh。 公式 字母表示 圆锥体积=×底面积×高 直接计算→V=Sh 已知圆锥体积和高，反求底面积→S=3V÷h； 已知圆锥体积和底面积，反求高→h=3V÷S。 利用底面半径→V=πr²h 利用底面直径→V=π（）² h 利用底面周长→π（）² h 7． 圆柱、圆锥的体积关系 情形 关系 圆柱与圆锥 等底等高 圆柱体积是圆锥体积的3倍。 和差问题：圆柱和圆锥的体积之差是圆锥体积的2倍； 圆柱和圆锥的体积之和是圆锥体积的4倍。 或 圆锥体积是圆柱体积的（圆锥体积比圆柱体积少）； 或 V锥∶V柱=1∶3 圆柱与圆锥 等底等体积 圆锥的高是圆柱高的3倍； 或 h锥∶h柱=3∶1 圆柱与圆锥 等高等体积 圆锥的底面积是圆柱的3倍； 或 S锥∶S柱=3∶1 【易错提示】：是底面积，不是底面半径。 8． 立体图形的表面积、体积计算公式汇总 名称 图形 表面积公式 体积公式 长方体 表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 S表=2（ab+ah+bh） 体积=长×宽×高；V=abh 体积=底面积×高；V=Sh 正方体 表面积=棱长×棱长×6 S表=6a² 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a=a³ 圆柱 圆柱表面积=侧面积+底面积×2 直接计算→S表=Ch+2πr²； 利用底面半径→S表=2πrh+2πr²； 利用底面直径→S表=πdh+2π（）²； 利用底面周长→S表=Ch+2π（）²。 圆柱体积=底面积×高 直接计算→V柱=Sh； 利用底面半径→V柱=πr²h； 利用底面直径→V柱=π（）² h； 利用底面周长→V柱=π（）² h； 利用圆柱侧面积→V柱=S侧÷2×r。 圆锥 圆锥体积=×底面积×高 直接计算→V锥=Sh； 利用底面半径→V锥=πr²h； 利用底面直径→V锥=π（）² h； 利用底面周长→V锥=π（）² h。 9． 求组合体表面积和体积的方法 （1）表面积：求组合体的表面积，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些面，各个面的面积应该怎样求，再根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减。 （2）体积：求组合体的体积，也要先弄清各组成部分，再根据公式求出各图形的体积，最后相加或相减。 （3） 空心圆柱 ( 空心圆柱表面积 = 大圆柱侧面积 + 小圆柱侧面积 +2 个圆环面积 【提示】：圆环面积 = 大圆柱底面积 - 小圆柱底面积 空心圆柱体积 = 大圆柱体积 - 小圆柱体积 ) 易错提示 易错点1：计算组合体的表面积时，忽视重叠部分，导致计算错误。 规避策略：求组合体的表面积时，应注意重叠部分的处理。 例题：一个3层蛋糕，每层高10厘米，各层底面半径分别为30厘米、20厘米、10厘米。这个蛋糕的表面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】：9420平方厘米 【分析】：方法1：蛋糕表面积=三个圆柱表面积之和-重叠部分面积。 从上至下，小、中、大三个圆柱摆在一起，会减少2个小圆柱和2个中圆柱的底面积，即： 蛋糕表面积=大圆柱表面积+中圆柱表面积+小圆柱表面积-小圆柱底面积×2-中圆柱底面积×2 =大圆柱表面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积 因此，蛋糕表面积=大圆柱表面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积。 已知小、中、大3个圆柱的底面半径依次是10cm、20cm、30cm，且高都是10cm，可得： 代入“S表=2πrh+2πr²”，则大圆柱表面积=2π×30×10+2π×30²=2400π（cm²）； 根据“S侧=2πrh”，则小、中圆柱侧面积之和=2π×（10+20）×10=600π（cm²）； 所以，蛋糕表面积=2400π+600π=3000π（cm²）。 【解】：蛋糕面积=大圆柱表面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积，其中： 大圆柱表面积：2π×30×10+2π×30²=2400π（cm²） 小、中圆柱侧面积之和：2π×（10+20）×10=600π（cm²） 蛋糕表面积：2400π+600π =3000π =3000×3.14 =9420（cm²） 答：这个蛋糕的表面积是9420平方厘米。 方法2：结合三视图法解答。 蛋糕表面积=上面+下面+侧面，其中， 该组合体从上面看是三个同心圆，且面积和组合体的下面相等，是大圆柱的底面积，如下图所示： 该组合体的侧面包含大圆柱、中圆柱和小圆柱的侧面积。 蛋糕表面积=上面+下面+侧面 =大圆柱底面积×2+大圆柱侧面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积 =大圆柱表面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积 因此，蛋糕表面积=大圆柱表面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积 根据题目已知条件，算出大圆柱表面积，中、小圆柱侧面积，再相加求和。 易错点2：从立体图形中挖去圆柱后求表面积。 规避策略：认真审题，明确是否挖穿。 情况 图形 表面积变化 图形表面积 未挖穿 增加的表面积=小圆柱侧面积。 挖去1个小圆柱，表面积增加小圆柱侧面积和1个小圆柱底面积；与此同时，大圆柱上底面减少1个小圆柱底面积，小圆柱底面积一增一减，可抵消。 因此，增加的表面积是小圆柱的侧面积。 图形表面积 =大圆柱表面积+小圆柱侧面积 挖穿 空心圆柱 增加的表面积=小圆柱侧面积-2个小圆柱底面积。 挖去1个小圆柱，表面积增加小圆柱侧面积；与此同时，大圆柱上、下底面合计减少2个小圆柱底面积。 图形表面积 =大圆柱表面积+小圆柱侧面积-2个小圆柱底面积 =大圆柱侧面积+小圆柱侧面积+2个圆环面积 例1：在一个底面直径是5cm，高是8cm的大圆柱体的上面正中向下挖一个底面直径是2cm、高是2cm的小圆柱，大圆柱体的表面积增加的部分是小圆柱的（ C ）。 A. 表面积 B. 侧面积与一个底面积的和 C. 侧面积 【答案】：C ( 小圆柱高 2cm ，大圆柱高 8cm ， 2 ＜ 8 ，未挖透。 挖去 1 个小圆柱后，表面积增加小圆柱侧面积和 1 个小圆柱底面积，与此同时，大圆柱上底面减少 1 个小圆柱底面积，小圆柱底面积一增一减，可抵消。因此， 增加的表面积 = 小圆柱侧面积 ，故选 C 。 )【分析】：根据题意画图如下： 例2：在一个棱长为5厘米的正方体中间挖了一个半径为2厘米的圆柱形的孔（如图），求剩下的表面积。 【答案】：187.68平方厘米 【分析】：在正方体中间挖了一个圆柱形的孔，且挖透，表面积增加圆柱侧面积，与此同时正方体上、下面合计减少2个圆柱底面积。 因此，剩下表面积=正方体表面积+圆柱侧面积-2个圆柱底面积。 正方体棱长是5cm；圆柱的底面半径是2cm，圆柱的高=正方体棱长=5cm，可得： 代入“S=6a²”，则正方体表面积=6×5×5=150（cm²）； 代入“S侧=2πrh”，则圆柱侧面积=2π×2×5=20π（cm²）； 根据“S底=πr²”，则2个圆柱底面积=2π×2²=8π（cm²）； 所以，剩下表面积=150+20π-8π=（150+12π）cm²。 【解】：剩下表面积=正方体表面积+圆柱侧面积-2个圆柱底面积，其中： 正方体表面积：6×5×5=150（cm²） 圆柱侧面积：2π×2×5=20π（cm²） 2个圆柱底面积：2π×2²=8π（cm²） 剩下表面积：150+20π-8π =150+12π =150+12×3.14 =187.68（cm²） 答：剩下的表面积是187.68平方厘米。 典例分析 例1：在正方体的上面摆一个圆柱体，求这个组合体的表面积。 【答案】：725.6平方厘米 【分析】：观察图形发现，圆柱和正方体摆在一起，减少2个圆柱底面积，即： 组合体表面积=圆柱表面积+正方体表面积-圆柱底面积×2。 =圆柱侧面积+正方体表面积 因此，组合体表面积=圆柱侧面积+正方体表面积。 圆柱底面直径是5cm，高是8cm；正方体棱长是10cm，可得： 代入“S侧=πdh”，则圆柱侧面积=3.14×5×8； 代入“S表=6a²”，则正方体表面积=6×10²； 所以，组合体表面积=3.14×5×8+6×10²=725.6（cm²） 【解】：组合体表面积=圆柱侧面积+正方体表面积 =3.14×5×8+6×10² =125.6+600 =725.6（cm²） 例2：求下面图形的体积。 【答案】：320.28立方厘米 【分析】；图形体积=圆锥体积+圆柱体积。 圆锥底面直径是6cm，高是4cm；圆柱底面直径是6cm，高是10cm，可得： 代入“V=π（）² h”，则圆锥体积=π×（6÷2）²×4； 代入“V=π（）² h”，则圆柱体积=π×（6÷2）²×10； 所以，图形体积=π×（6÷2）²×4+π×（6÷2）²×10=102π（cm³）。 【解】：图形体积=圆锥体积+圆柱体积 =π×（6÷2）²×4+π×（6÷2）²×10 =12π+90π =102π =102×3.14 =320.28（cm³） 专题突破 突破点一：组合圆柱体的表面积、体积 1． 计算下面图形的表面积和体积。 【答案】：表面积261.12平方分米；体积252.56立方分米 【分析】：观察图形发现，圆柱和长方体摆在一起，减少2个圆柱底面积，即： 组合体表面积=圆柱表面积+长方体表面积-圆柱底面积×2 =圆柱侧面积+长方体表面积 因此，图形表面积=圆柱侧面积+长方体表面积 图形体积=圆柱体积+长方体体积 圆柱底面直径是2dm，高4dm；长方体长8dm，宽6dm，高5dm，可得： 代入“S侧=πdh”，则圆柱侧面积=3.14×2×4； 代入“S表=2（ab+ah+bh）”，则长方体表面积=（8×6+8×5+6×5）×2； 所以，图形表面积=3.14×2×4+（8×6+8×5+6×5）×2=261.12（dm²）。 代入“V=π（）² h”，则圆柱体积=3.14×（2÷2）²×4； 代入“V=abh”，则长方体体积=8×6×5； 所以，图形体积=3.14×（2÷2）²×4+8×6×5=252.56（dm³）。 【解】：图形表面积=圆柱侧面积+长方体表面积 =3.14×2×4+（8×6+8×5+6×5）×2 =25.12+236 =261.12（dm²） 图形体积=圆柱体积+长方体体积 =3.14×（2÷2）²×4+8×6×5 =12.56+240 =252.56（dm³） 2． 计算下面图形的表面积和体积。 【答案】：表面积514.96平方厘米；体积766.16立方厘米 【分析】：观察图形发现，两个圆柱摆在一起，减少2个小圆柱底面积，即： 图形表面积=小圆柱表面积+大圆柱表面积-小圆柱底面积×2 =小圆柱侧面积+大圆柱表面积 因此，图形表面积=小圆柱侧面积+大圆柱表面积 图形体积=小圆柱体积+大圆柱体积 小圆柱底面直径是8cm，高4cm；大圆柱底面直径是12cm，高是5cm，可得： 代入“S侧=πdh”，则小圆柱侧面积=π×8×4； 代入“S表=πdh+2π（）²”，则大圆柱表面积=π×12×5+2π×（12÷2）²； 所以，图形表面积=π×8×4+π×12×5+2π×（12÷2）²=164π（cm²）。 代入“V=π（）² h”，则小圆柱体积=π×（8÷2）²×4；大圆柱体积=π×（12÷2）²×5； 所以，图形体积=π×（8÷2）²×4+π×（12÷2）²×5=244π（cm³）。 【解】：图形表面积=小圆柱侧面积+大圆柱表面积 =π×8×4+π×12×5+2π×（12÷2）² =32π+60π+72π =164π =164×3.14 =514.96（cm²） 图形体积=小圆柱体积+大圆柱体积 =π×（8÷2）²×4+π×（12÷2）²×5 =64π+180π =244π =244×3.14 =766.16（cm³） 【提示】：求表面积时，也可结合三视图法解答。 图形表面积=上面+下面+侧面，其中： 该图形从上面看是两个同心圆，且面积和图形的下面相等，是大圆柱的底面积； 该图形的侧面包含大、小圆柱的侧面积。 图形表面积=上面+下面+侧面 =大圆柱底面积×2+大圆柱侧面积+小圆柱侧面积 =大圆柱表面积+小圆柱侧面积 因此，图形表面积=大圆柱表面积+小圆柱侧面积。根据题目已知条件算出大圆柱表面积和小圆柱侧面积，再相加求和。 【实际应用】 3． 综合实践课，小明制作了一顶帽子（如图），上面是圆柱形；帽檐部分是一个圆环，做这顶帽子一共用布（   C  ）平方厘米。 A．628 B．1256 C．1884 D．2198 【答案】：C 【分析】：圆柱上底面向下平移，用布面积由两部分组成：①圆柱侧面积；②1个直径长（20+10×2）cm的大圆面积。因此，用布面积=圆柱侧面积+大圆面积。 圆柱的底面直径是20cm，高是10cm；大圆直径是（20+10×2）cm，可得： 代入“S侧=πdh”,则圆柱侧面积=π×20×10=200π（cm²）； 代入“S=πr²”，则大圆面积=π×（）²=400π（cm²）； 所以，用布面积=200π+400π=600π=600×3.14=1884（cm²），故选C。 4． （1）要将街心花园的路灯柱刷上白色的油漆（如下图，圆柱的上、下底面不刷漆），要刷多少平方米？（得数保留一位小数。） （2）有30个这样的路灯柱，如果刷油漆的人工费为每平方米15元，一共需要人工费多少元？ 【答案】：（1）0.3平方米；（2）135元 【分析】：（1）求刷漆面积，关键在于找准哪些面要刷油漆。 圆柱的上、下底面不刷，观察图形，路灯柱要刷漆的面积由两部分组成：①圆柱侧面积；②长方体表面积减去1个圆柱底面积后的剩余面积。 因此，刷漆面积=圆柱侧面积+长方体表面积-圆柱底面积。 圆柱底面直径是12cm，高是55cm；长方体长16cm，宽12cm，高12cm，则： 代入“S侧=πdh”，则圆柱侧面积=π×12×55=660π（cm²）； 代入“S表=2（ab+ah+bh）”，则长方体表面积=2×（12×16+12×12+16×12）=1056（cm²）； 代入“S底=πr²”，则圆柱底面积=π×（12÷2）²=36π（cm²）； 所以，刷漆面积=660π+1056-36π=（624π+1056）cm²，注意单位换算。 （2） 求刷30个这样路灯柱的人工费，先算出刷1个的人工费，再乘30即可。 已知刷油漆的人工费为每平方米15元，结合第（1）问，1个路灯柱刷油漆的面积是0.3m²，则刷1个的人工费是（15×0.3）元，刷30个的人工费是（15×0.3×30）元。 【解】：（1）刷漆面积=圆柱侧面积+长方体表面积-圆柱底面积，其中： 圆柱侧面积：π×12×55=660π（cm²） 长方体表面积：2×（12×16+12×12+16×12）=1056（cm²） 圆柱底面积：π×（12÷2）²=36π（cm²） 刷漆面积：660π+1056-36π =624π+1056 =624×3.14+1056 =3015.36（cm²） 3015.36cm²=0.301536m²≈0.3m² 答：要刷0.3平方米。 （2）15×0.3×30=135（元） 答：一共需要人工费135元。 5． 一个底面半径10厘米，高20厘米的圆柱体木料，从上面的中心向下挖出一个半径6厘米、高6厘米的圆柱后，再接着向下挖出一个半径4厘米、高4厘米的小圆柱（如图），剩下物体的表面积是多少？ 【答案】：2210.56平方厘米 【分析】：结合三视图法解答。剩下物体表面积=上面+下面+侧面，其中： 该物体从上面看是三个同心圆，且面积和物体下面相等，是大圆柱的底面积，如下图所示： 该物体的侧面包含小、中、大三个圆柱的侧面积。 剩下物体表面积=大圆柱侧面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积+大圆柱底面积×2 =大圆柱表面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积 因此，剩下物体表面积=大圆柱表面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积。 大圆柱底面半径是10cm，高是20cm；中圆柱的底面半径是6cm，高6cm；小圆柱的底面半径是4cm，高是4cm，可得： 代入“S表=2πrh+2πr²”，则大圆柱表面积=2π×10×20+2π×10²=600π（cm²）； 根据“S侧=2πrh”，则中、下圆柱侧面积之和=2π×6×6+2π×4×4=104π（cm²）； 所以，剩下物体表面积=600π+104π=704π（cm²） 【解】：剩下物体表面积=大圆柱表面积+中圆柱侧面积+小圆柱侧面积 =2π×10×20+2π×10²+2π×6×6+2π×4×4 =600π+104π =704π =704×3.14 =2210.56（cm²） 答：剩下物体的表面积是2210.56平方厘米。 突破点二：组合圆锥体的体积 1． 求下面立体图形的体积。（单位：cm） 【答案】：3.14立方厘米 【分析】：由图可知，2个小圆锥等底，底面半径是1cm，且高之和是3cm，将所求的2个小圆锥体积转化为1个与小圆锥等底，高3cm的大圆锥体积。 因此，图形体积=1个大圆锥体积，且大圆锥底面半径是1cm，高是3cm，代入“V=πr²h”计算即可。 【解】：×3.14×1²×3=3.14（cm³） 2． 求组合图形的体积。（单位：cm） 【答案】：43.96立方厘米 【分析】：组合体体积=圆柱体积+2个圆锥体积。 圆柱底面直径是2cm，高（18-3×2）cm；2个圆锥等底等高，底面直径是2cm，高3cm，可得： 代入“V=π（）² h”，则圆柱体积=π×（2÷2）²×（18-3×2）； 根据“V=π（）² h”，则2个小圆锥体积=π×（2÷2）²×3×2； 所以，组合体体积=π×（2÷2）²×（18-3×2）+π×（2÷2）²×3×2=14π（cm³） 【解】：组合体体积=圆柱体积+2个小圆锥体积 =π×（2÷2）²×（18-3×2）+π×（2÷2）²×3×2 =12π+2π =14π =14×3.14 =43.96（cm³） 3． 计算图中阴影部分的体积。 【答案】：251.2立方厘米 【分析】：阴影部分体积=圆柱体积+圆锥体积。 圆柱的底面半径是4cm，高是2cm；圆锥的底面半径是4cm，高是9cm，可得： 代入“V=πr² h”，则圆柱体积=π×4²×2； 代入“V=πr² h”，则圆锥体积=π×4²×9； 所以，阴影部分体积=π×4²×2+π×4²×9=80π（cm³）。 【解】：阴影部分体积=圆柱体积+圆锥体积 =π×4²×2+π×4²×9 =32π+48π =80π =80×3.14 =251.2（cm³） 4． 如图，一个圆柱体，从中挖去一个圆锥，计算剩余部分的体积。（单位：厘米） 【答案】：6358.5立方厘米 【分析】：方法1：剩余部分体积=圆柱体积-圆锥体积。 圆柱的底面直径是18cm，高是30cm；圆锥的底面直径是18cm，高是15cm，可得： 代入“V=πr² h”，则圆柱体积=π×（18÷2）²×30； 代入“V=πr² h”，则圆锥体积=π×（18÷2）²×15； 所以，剩余部分体积=π×（18÷2）²×30-π×（18÷2）²×15=2025π（cm³）。 【解】：剩余部分体积=圆柱体积-圆锥体积 =π×（18÷2）²×30-π×（18÷2）²×15 =2430π-405π =2025π =2025×3.14 =6358.5（cm³） 方法2：根据圆柱与圆锥的体积关系解答。 由图可知，圆柱与圆锥等底，根据“圆柱与圆锥等底等体积，则圆锥的高是圆柱高的3倍”可知，若图中圆锥与圆柱等体积，在等底的情况下，圆锥高应是（30×3）cm，而实际圆锥高是是15cm，因此图中圆锥体积是圆柱体积的，则剩余部分体积=V柱-V锥=V柱-V柱=V柱。 所以，剩余部分体积=V柱，根据“V=πr² h”，则剩余部分体积=×3.14×（18÷2）²×30=6358.5（cm³）。 【解】：圆锥体积是圆柱体积的： 剩余部分体积：（1-）×3.14×（18÷2）²×30=6358.5（cm³）。 5． 计算图中阴影部分的体积。（单位：厘米） 【答案】：159.48立方厘米 【分析】：阴影部分体积=正方体体积-圆锥体积。 圆锥的底面直径=圆锥的高=正方体棱长=6cm，可得： 代入“V=a³”，则正方体体积=6×6×6； 代入“V=πr² h”，则圆锥体积=×3.14×（6÷2）²×6； 所以，阴影部分体积=6×6×6-×3.14×（6÷2）²×6=159.48（cm³）。 【解】：阴影部分体积=正方体体积-圆锥体积 =6×6×6-×3.14×（6÷2）²×6 =216-56.52 =159.48（cm³） 6． 计算下面图形的体积。 【答案】：248.52立方米 【分析】：图形体积=圆锥体积+长方体体积。 圆锥底面直径是6m，高是6m；长方体长12m、宽8m、高2m，可得： 代入“V=π（）² h”，则圆锥体积=×3.14×（6÷2）²×6； 代入“V=abh”，则长方体体积=12×8×2； 所以，图形体积=×3.14×（6÷2）²×6+12×8×2=248.52（m³）。 【解】：图形体积=圆锥体积+长方体体积 =×3.14×（6÷2）²×6+12×8×2 =56.52+192 =248.52（m³） 7． 求下面立体图形的体积。 【答案】：7638.5立方厘米 【分析】：图形体积=圆锥体积+长方体体积。 圆锥的底面直径是30cm，高是27cm；长方体长32cm，宽8cm，高5cm，可得： 代入“V=π（）² h”，则圆锥体积=×3.14×（30÷2）²×27； 代入“V=abh”，则长方体体积=32×8×5； 所以，图形体积=×3.14×（30÷2）²×27+32×8×5=7638.5（cm³）。 【解】：图形体积=圆锥体积+长方体体积 =×3.14×（30÷2）²×27+32×8×5 =6358.5+1280 =7638.5（cm³） 【实际应用】 8． 把冰激凌的上面部分也看作是近似的圆锥，下图的冰激凌的体积是多少？（单位：cm） 【答案】：131.88立方厘米 【分析】：观察图形可知，冰激凌由2个等底但不等高的圆锥组成，这2个圆锥的体积可转化为1个与小圆锥等底，高为（5+9）cm的大圆锥体积，即：冰激凌体积=1个大圆锥体积。 代入“V=π（）² h”，则冰激凌体积=×3.14×（6÷2）²×（5+9）=131.88（cm³）。 【解】：×3.14×（6÷2）²×（5+9）=131.88（cm³） 答：下图的冰激凌的体积是131.88立方厘米。 9． 下图ABCD是直角梯形，以AB为轴并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，它的体积是（ 33.49 ）立方厘米。（除不尽的保留两位小数） 【答案】：33.49 【分析】：将直角梯形分为两部分，等腰直角△ADE和正方形EDCB，如右上图所示。 根据圆锥、圆柱旋转形成的特点可知： 直角△ADE以AB所在直线为轴旋转得到一个圆锥，高是（4-2）cm，底面半径是2cm； 正方形EDCB以AB所在直线为轴旋转得到一个圆柱，高是2cm，底面半径是2cm。 综上，直角梯形以AB为轴旋转一周，得到一个上面圆锥、下面圆柱的组合体，且圆锥和圆柱等底等高。根据“圆锥与圆柱等底等高，圆锥体积是圆柱体积的”，则组合体体积=圆锥体积+圆柱体积=圆柱体积。 根据“V=πr²h”，则组合体体积=×3.14×2²×2≈33.49（cm³），所以体积是33.49立方厘米。 10． 下边是一个零件，它的体积是600立方厘米，那么上面圆锥部分的体积是（ 300 ）立方厘米？ 【答案】：300 【分析】：方法1：根据圆柱、圆锥的体积关系解答。 观察图形发现，上面圆锥与下面圆柱部分等底，且圆锥的高是圆柱高的12÷4=3倍，根据“圆锥与圆柱等底等体积，圆锥高是圆柱高的3倍”可知，圆锥体积等于圆柱体积。 又知零件体积是600cm³，即V锥+V柱=2V锥=600cm³，则V锥=600÷2=300（cm³），所以上面圆锥部分的体积是300立方厘米。 方法2：列方程解答。 等量关系：V锥+V柱=600，根据圆锥、圆柱体积计算公式可得： ×底面积×圆锥高+底面积×圆柱高=600，设圆锥、圆柱的底面积是X平方厘米，根据等量关系得方程：x×12+4x=600，求出底面积，再代入“V锥=Sh”计算即可。 【详解】： 解：设圆锥、圆柱的底面积是X平方厘米。 x×12+4x=600 4x+4x=600 8x÷8=600÷8 x=75 圆锥体积：×75×12=300（cm³）。 11． 如图是一个玩具店出售的一种陀螺。它的上面是圆柱，下面是圆锥。圆柱与圆锥等底等高，圆柱的直径是6厘米，高是4厘米。 （1） 这种陀螺的体积是多少立方厘米？ （2） 如果给一个这样的陀螺制作一个长方体的包装盒，至少需要多少平方厘米的包装纸？（接头处忽略不计）。 【答案】：（1）150.72立方厘米；（2）264平方厘米 【分析】：（1）陀螺体积=圆柱体积+圆锥体积。 由题可知，圆柱与圆锥等底等高，根据“等底等高的圆柱与圆锥，圆锥体积是圆柱体积的”，则陀螺体积=V柱+V锥=V柱。 圆柱底面直径是6cm，高是4cm，根据“V=π（）² h”，则陀螺体积=×3.14×（6÷2）²×4=150.72（cm³）。 （2）给陀螺制作一个长方体的包装盒，求至少需要多少包装纸，也就是求长方体的表面积。 长方体的长=圆柱的高+圆锥的高=4+4=8（cm），长方体的宽=长方体的高=圆柱底面直径=6cm， 也就是包装盒前后左右4个面是（8×6）、上下2个面是（6×6）； 则包装纸面积=8×6×4+6×6×2=264（cm²）。 【解】：（1）（1+）3.14×（6÷2）²×4=150.72（cm³） 答：这种陀螺的体积是150.72立方厘米。 （2）长方体的长：4+4=8（cm） 长方体的宽=长方体的高=6cm 包装纸面积：8×6×4+6×6×2=264（cm²） 答：至少需要264平方厘米的包装纸。 12． 沙漏又称为沙钟，是我国古代的一种计时仪器。如图所示，该沙漏由两个大小一样的圆锥组成。圆锥形沙漏的底面周长是18.84分米，高是3分米，这个沙漏的体积是（ 56.52 ）立方分米。 【答案】：56.52 【分析】：沙漏体积=2个圆锥体积。 已知圆锥的底面周长是18.84dm，高是3dm，根据“V=π（）² h”，则沙漏体积=×3.14×（18.84÷2÷3.14）²×3×2=56.52（dm³）。 13． 沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器到另一个容器的数量来计算时间的。下图展示了一个沙漏记录时间的情况，沙漏每分钟漏下的流沙的体积一定。 （1） 求出此时沙漏上半部分流沙的体积。 （2） 现在沙漏下半部分的体积是47.1立方厘米。如果再过两分钟，沙漏上半部分的流沙可以全部漏到下边，那么现在下半部分的流沙已经计量了多少分钟？（用比例解答） 【答案】：（1）3.14立方厘米；（2）30分钟 【分析】：（1）观察图形发现，沙漏上半部分流沙是一个底面直径2cm，高3cm的圆锥，求流沙体积，也就是求圆锥体积，代入“V=π（）² h””计算，则此时沙漏上半部分流沙的体积是×3.14×（2÷2）²×3=3.14（cm³）。 （2）时间=流沙体积÷每分钟漏下的流沙体积。由题可知，每分钟漏下的流沙体积一定，即流沙体积÷时间=沙漏每分钟漏下的流沙体积（一定），比值一定，流沙体积和时间成正比。 “若再过2分钟，沙漏上半部分的流沙可全部漏到下边”，已知上半部分流沙体积是3.14cm³， 则每分钟漏下的流沙体积=； 沙漏下半部分的体积是47.1cm³，则每分钟漏下的流沙体积=。 可得等量关系：=。设现在下半部分的流沙已经计量了x分钟，根据等量关系得方程： =。 【详解】： 解：设现在下半部分的流沙已经计量了x分钟。 = 3.14x=47.1×2 3.14x÷3.14= x=30 答：现在下半部分的流沙已经计量了30分钟。 突破点三：空心圆柱体的表面积、体积 1． 求如图的表面积和体积。 ​ 【答案】：表面积345.4平方分米；体积157立方分米。 【分析】：观察图形可知，空心圆柱的上、下面是2个圆环，且1个圆环面积=大圆柱底面积-小圆柱底面积。 因此，空心圆柱表面积=大圆柱侧面积+小圆柱侧面积+2个圆环面积 空心圆柱体积=大圆柱体积-小圆柱体积 大圆柱底面直径是6dm，小圆柱底面直径是4dm，2个圆柱的高是10dm，可得： 代入“S侧=πdh”，则大小圆柱侧面积之和=π×（4+6）×10=100π（dm²）； 根据“S=π（R²-r²）”，则2个圆环面积=π×[（6÷2）²-（4÷2）²]×2=10π（dm²）； 所以，空心圆柱表面积=100π+10π=110π（dm²）。 根据“V=πr²h”，则空心圆柱体积=3.14×[（6÷2）²-（4÷2）²]×10=157（dm³）。 【解】：空心圆柱表面积=大圆柱侧面积+小圆柱侧面积+2个圆环面积 =π×（4+6）×10+π×[（6÷2）²-（4÷2）²]×2 =100π+10π =110π =110×3.14 =345.4（dm²） 空心圆柱体积=大圆柱体积-小圆柱体积 =3.14×[（6÷2）²-（4÷2）²]×10 =3,14×50 =157（dm³） 2． 下图是一根钢管，求它的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】：表面积1752.12平方厘米；体积847.8立方厘米 【分析】：钢管表面积=大圆柱侧面积+小圆柱侧面积+2个圆环面积 钢管体积=大圆柱体积-小圆柱体积 大圆柱底面直径是10cm、小圆柱底面直径是8cm，大小圆柱的高是30cm，可得： 根据“S侧=πdh”，则大小圆柱侧面积之和=π×（8+10）×30=540π（cm²）； 根据“S环=π（R²-r²）”，则2个圆环面积=π×[（10÷2）²-（8÷2）²]×2=18π（cm²）； 所以，钢管表面积=540π+18π=558π（cm²）。 根据“V=πr²h”，则钢管体积=3.14×[（10÷2）²-（8÷2）²]×30=847.8（cm³）。 【解】：钢管表面积=大圆柱侧面积+小圆柱侧面积+2个圆环面积 =π×（8+10）×30+π×[（10÷2）²-（8÷2）²]×2 =540π+18π =558π =558×3.14 =1752.12（cm²） 钢管体积=大圆柱体积-小圆柱体积 =3.14×[（10÷2）²-（8÷2）²]×30 =3.14×9×30 =847.8（cm³） 3． 求如图圆柱（空心）的体积（单位：厘米）。 【答案】：75.36立方厘米 【分析】：空心圆柱体积=大圆柱体积-小圆柱体积。 大圆柱底面直径是8cm，小圆柱底面直径是4cm，大小圆柱的高是2cm，可得： 根据“V=πr²h”，则空心圆柱体积=3.14×[（8÷2）²-（4÷2）²]×2=75.36（cm³）。 【解】：空心圆柱体积=大圆柱体积-小圆柱体积 =3.14×[（8÷2）²-（4÷2）²]×2 =3.14×12×2 =75.36（cm³） 4． 求下面图形的表面积。（单位：厘米） 【答案】：675.36平方厘米 【分析】：观察图形可知，在正方体挖了一个圆柱，圆柱高＜正方体棱长，未挖透。 挖1个小圆柱，表面积增加小圆柱侧面积和1个小圆柱底面积；与此同时，正方体上面减少1个小圆柱底面积，小圆柱底面积一增一减，可抵消。 所以，图形表面积=正方体表面积+圆柱侧面积。 正方体棱长是10cm；圆柱底面直径是4cm，高是6cm，可得： 代入“S表=6a²”，则正方体表面积=6×10×10； 代入“S侧=πdh”，则圆柱侧面积=3.14×4×6； 所以，图形表面积=6×10×10+3.14×4×6=675.36（cm²）。 【解】：图形表面积=正方体表面积+圆柱侧面积 =6×10×10+3.14×4×6 =600+75.36 =675.36（cm²） 5． 在一个底面半径是5厘米，高是6厘米的圆柱中挖了一个长方体小孔，这个长方体小孔的底面是一个边长为2厘米的正方形，现在这个物体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】：385.4平方厘米 【分析】：观察图形可知，在圆柱中心挖了一个长方体，且挖透。 表面积增加长方体4个侧面（前后左右）；与此同时，减少长方体2个面（上、下），因此： 图形表面积=圆柱表面积+长方体4个侧面-长方体上、下面 圆柱的底面半径是5cm，高是6cm；长方体长6cm，宽2cm，高2cm，可得： 代入“S表=2πrh+2πr²”，则圆柱表面积=2×π×5×6+2π×5²=110π（cm²）； 长方体4个侧面=2×6×4=48（cm²）； 长方体上、下面=2×2×2=8（cm²）； 所以，图形表面积=110π+48-8=（110π+40）cm²。 【解】：图形表面积=圆柱表面积+长方体4个侧面-长方体上、下面，其中： 圆柱表面积：2×π×5×6+2π×5²=110π（cm²） 长方体4个侧面：2×6×4=48（cm²） 长方体上、下面：2×2×2=8（cm²） 图形表面积：110π+48-8 =110×3.14+40 =385.4（cm²） 6． 如图，在一个棱长为4厘米的正方体的六个面的中心位置各挖去一个底面半径是0.5厘米、深是1厘米的圆柱。这个图形的表面积是多少？ 【答案】：114.84平方厘米 【分析】：在棱长4cm的正方体的每个面中心位置挖去深1cm的圆柱，正方体两对面的圆柱高之和是1+1=2（cm），2＜4，因此并未挖透。 挖6个圆柱，表面积增加6个圆柱侧面积和6个圆柱底面积；与此同时，正方体六个面减少6个圆柱底面积，圆柱底面积增减抵消。因此：图形表面积=正方体表面积+6个圆柱侧面积。 正方体棱长是4cm；圆柱的底面半径是0.5cm，高1cm，可得： 代入“S表=6a²”，则正方体表面积=6×4×4； 根据“S侧=2πrh”，则6个圆柱侧面积=2×3.14×0.5×1×6； 所以，图形表面积=6×4×4+2×3.14×0.5×1×6=114.84（cm²）。 【解】：图形表面积=正方体表面积+圆柱侧面积×6 =6×4×4+2×3.14×0.5×1×6 =96+18.84 =114.84（cm²） 答：这个图形的表面积是114.84平方厘米。 【实际应用】 7． （判断）在圆柱体一个面的中间挖了一个小圆柱（没挖透），表面积减少了。（ × ） 【分析】：根据题意画图如下： 观察图形发现，在大圆柱一个面的中间挖了一个小圆柱，没挖透，表面积增加小圆柱的侧面积和1个小圆柱的底面积；与此同时，大圆柱的上底面减少1个小圆柱底面积，小圆柱底面积一增一减，可抵消。因此表面积增加小圆柱侧面积。原题干说法错误，答案为：×。 8． 如图，加工一个长5厘米、宽3厘米，高4厘米的长方体铁块，选择面积最小的一个面，从该面的正中间打一个直径为2厘米的圆孔，一直贯穿到对面就可以做成一个零件。 （1） 这个零件的体积是多少立方厘米？（π取3）； （2） 为了防止零件生锈，师傅给该零件与空气接触的面都喷上油漆，则喷油漆的面积是多少平方厘米？（π取3） 【答案】：（1）45立方厘米；（2）118平方厘米 【分析】：（1）零件体积=长方体体积-圆柱体积。 长方体长5cm、宽3cm、高4cm；圆柱底面直径是2cm，圆柱的高=长方体的长=5cm，可得： 代入“V=abh”，则长方体体积=5×3×4； 代入“V=πr²h”，则圆柱体积=3×（2÷2）²×5； 所以，零件体积=5×3×4-3×（2÷2）²×5=45（cm³） （2）求喷油漆的面积，也就是求该图形的表面积。贯穿长方体挖一个圆柱，表面积增加圆柱侧面积，减少2个圆柱底面积。 因此，喷漆面积=长方体表面积+圆柱侧面积-2个圆柱底面积。 代入“S表=2（ab+ah+bh）”，则长方体表面积=2×（5×3+5×4+4×3）=94（cm²）； 代入“S侧=πdh”，则圆柱侧面积=3×2×5=30（cm²）； 根据“S底=πr²”，则2个圆柱底面积=2×3×（2÷2）²=6（cm²）； 所以，喷漆面积=94+30-6=118（cm²）。 【解】：（1）零件体积=长方体体积-圆柱体积 =5×3×4-3×（2÷2）²×5 =60-15 =45（cm³） 答：这个零件的体积是45立方厘米。 （2）喷漆面积=长方体表面积+圆柱侧面积-2个圆柱底面积，其中： 长方体表面积：2×（5×3+5×4+4×3）=94（cm²） 圆柱侧面积：3×2×5=30（cm²） 2个圆柱底面积：2×3×（2÷2）²=6（cm²） 喷漆面积：94+30-6=118（cm²） 答：喷油漆的面积是118平方厘米。 9． 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如图。圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？ 【答案】：307.72平方厘米 【分析】：求涂漆面积，也就是求该图形的表面积。 由图可知，并未挖透，涂漆面积=大圆柱表面积+小圆柱侧面积。 大圆柱底面直径是6cm，高是10cm；小圆柱底面直径是4cm，高是5cm，可得： 代入“S表=πdh+2π（）²”，则大圆柱表面积=π×6×10+2π×（6÷2）²=78π（cm²）； 代入“S侧=πdh”，则小圆柱侧面积=π×4×5=20π（cm²）； 所以，涂漆面积=78π+20π=98π（cm²）。 【解】：涂漆面积=大圆柱表面积+小圆柱侧面积 =π×6×10+2π×（6÷2）²+π×4×5 =60π+18π+20π =98π =98×3.14 =307.72（cm²） 答：一共需涂307.72平方厘米。 10． 如图，李师傅把一个正方体木块挖去一个底面半径是3厘米的圆柱，变成一个空心的容器。如果这个容器的表面积增加了131.88平方厘米，那么这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 【答案】：197.82立方厘米 【分析】：此题关键在于找准增加面的位置。 一个正方体木块挖去一个圆柱体后变成一个空心容器，并未挖透，表面积增加圆柱侧面积和1个圆柱底面积；与此同时，正方体上面减少1个圆柱底面积，圆柱底面积一增一减，可抵消。因此，增加表面积=圆柱侧面积=131.88cm²； 求圆柱容积，有两种方法： ①利用“V=S侧÷2×r”直接求解。圆柱体积=131.88÷2×3=197.82（cm³）； ②已知圆柱侧面积和底面半径，根据“S侧=2πrh”可知，h=S侧÷2÷π÷r，求出圆柱的高，再代入“V=πr²h”算出体积。 圆柱的高h=131.88÷2÷3.14÷3=7（cm），圆柱体积=3.14×3²×7=197.82（cm³）。 【解】：圆柱的高：131.88÷2÷3.14÷3=7（cm） 圆柱体积：3.14×3²×7=197.82（cm³） 答：这个圆柱的体积是197.82立方厘米。 ( 第 1 页 共 1 页 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$