（配套训练）专题01 圆柱与圆锥-组合体的表面积和体积-2024-2025学年六年级下册数学计算大通关（人教版）

专题01 圆柱、圆锥组合体的表面积和体积 一、图形计算 1． 计算下面图形的表面积。（单位：厘米） 2． 求下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm） 3． 如图是一种钢制的配件（图中数据单位：cm）请计算它的表面积和体积。 4． 计算下面图形的体积。 5． 求下面图形的体积。 6． 计算下面图形的体积。 （单位：cm） 7． 如图，将一个直角梯形绕底所在的直线旋转一周，形成的立体图形的体积是多少？ 8． 计算下面图形的体积。（单位：cm） （2） （1） 9． 求下图的表面积和体积。（单位：cm） 10． 如图是从正方体中挖去一个圆柱后的剩余部分，请计算它的表面积和体积。（单位：cm） 2、 实际应用 1． 如下图，把一个体积为60立方厘米的圆柱形木料削成一个陀螺，陀螺的体积是圆柱形木料体积的（     ）。 A. B. C. D. 2． 一支圆柱形铅笔使用一段时间后，变成了下图的样子。现在这支铅笔的圆柱部分的体积是圆锥部分的体积的（ ）倍。 3． 一个组合零件是由圆柱和圆锥粘合而成的（如下图），若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm²，那么原来这个组合零件的体积是（ ）cm³。 4． 下图的“博士帽”是用卡纸做成的（帽穗除外），上面是边长为30厘米的正方形，下面是底面直径是18厘米、高8厘米的无盖无底的圆柱。制作10顶这样的“博士帽”，至少需要卡纸多少平方厘米？ 5． 豆豆去粮库参观，看到了如下图所示的粮囤。从里面量得粮囤的底面周长是62.8米，整个粮囤的高度是8米，下半部分圆柱的高与上半部分圆锥的高的比是5∶3。这个粮囤最多能装多少立方米稻谷？ 6． 长征二号F遥十三运载火箭整流罩底面直径为3.2米，科技馆存放着一个按一定比例制作的长征二号F遥十三运载火箭整流罩模型（如下图）。 （1）制作整流罩模型的比例尺是多少？ （2）该整流罩模型的体积是多少？ （3）如果用一个长方体玻璃盒来存放这个模型，制作这个玻璃盒至少要用多少平方分米的玻璃？ 7． 如下图，一个玩具店出售一种陀螺，售价是30元/个。它的上面是圆柱，下面是圆锥。圆柱与圆锥等底等高，圆柱的直径是8厘米，高是6厘米。 （1）这种陀螺的体积是多少立方厘米？（结果用含有π的式子表示） （2）如果给一个这样的陀螺制作一个长方体的包装盒，至少需要多少平方分米的包装纸？（接头处忽略不计） （3）玩具店计划在暑期搞促销活动，推出两种优惠方案。王老师要为学校购买20个这样的陀螺，应采用哪种方案最省钱？写出你的想法。 优惠方案 方案1：一律九折 方案2：买四送一 8． 小华一家到餐厅吃饭，点完菜后服务员把一个沙漏摆到桌子上，说：“给您计个时，沙漏漏完前您点的菜都会上桌。”小华发现这是一个上、下均为圆锥的沙漏（如图），两个圆锥的底面直径均为10厘米，高均为6厘米，沙漏上面的圆锥装满沙子，如果每分钟漏掉10立方厘米的沙子，那么按服务员的承诺。 （1） 最迟多少秒后点的菜会全部上完？ （2） 沙漏用完后，服务人员用一个与圆锥等底的圆柱形包装盒对沙漏进行包装，需要多少平方厘米的包装盒？ 9． 下面是一卷卫生纸的示意图，如果每立方厘米纸重0.25克，这卷纸重多少克？ 10． 一个圆柱形零件（如下图），底面半径是6厘米，高是12厘米，在零件底部有一个圆柱形的洞，洞口直径是10厘米，洞深4厘米。 （1） 如果将这个零件与空气接触的表面都涂上防锈漆，涂防锈漆的面积是多少平方厘米？ （2） 这个零件用铁铸造，如果每立方厘米的铁约重7.8克，这个零件约重多少千克？（得数保留一位小数） 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 圆柱、圆锥组合体的表面积和体积 答案与解析 一、图形计算 1． 计算下面图形的表面积。（单位：厘米） 【答案】：415.4平方厘米 【分析】：观察图形发现，圆柱和正方体摆在一起，减少2个圆柱底面积，即： 图形表面积=圆柱表面积+正方体表面积-圆柱底面积×2 =圆柱侧面积+正方体表面积 因此，图形表面积=圆柱侧面积+正方体表面积 圆柱底面直径2cm、高5cm；正方体棱长8cm，可得： 代入“S侧=πdh”，则圆柱侧面积=3.14×2×5=31.4（cm²）； 代入“S表=6a²”，则正方体表面积=6×8×8=384（cm²）； 所以，图形表面积=31.4+384=415.4（cm²）。 【解】：图形表面积=圆柱侧面积+正方体表面积 =3.14×2×5+6×8×8 =31.4+384 =415.4（cm²） 2． 求下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】：表面积454.72平方厘米；体积546.08立方厘米 【分析】：观察图形发现，圆柱和长方体摆在一起，减少2个圆柱底面积，即： 图形表面积=圆柱表面积+长方体表面积-圆柱底面积×2 =圆柱侧面积+长方体表面积 因此，图形表面积=圆柱侧面积+长方体表面积；图形体积=圆柱体积+长方体体积 圆柱底面直径6cm、高8cm；长方体长10cm、宽8cm、高4cm，可得： 代入“S侧=πdh”，则圆柱侧面积=3.14×6×8=150.72（cm²）； 代入“S表=2（ab+ah+bh）”，则长方体表面积=2×（10×8+10×4+8×4）=304（cm²）； 所以，图形表面积=150.72+304=454.72（cm²）。 代入“V=π（）²h”，则圆柱体积=3.14×（6÷2）²×8=226.08（cm³）； 代入“V=abh”，则长方体体积=10×8×4=320（cm³）； 所以，图形体积=226.08+320=546.08（cm³）。 【解】：图形表面积=圆柱侧面积+长方体表面积 =3.14×6×8+2×（10×8+10×4+8×4） =150.72+304 =454.72（cm²） 图形体积=圆柱体积+长方体体积 =3.14×（6÷2）²×8+10×8×4 =226.08+320 =546.08（cm³） 3． 如图是一种钢制的配件（图中数据单位：cm）请计算它的表面积和体积。 【答案】：表面积251.2平方厘米；体积251.2立方厘米 【分析】：观察图形发现，两个圆柱摆在一起，减少2个小圆柱的底面积，即： 配件表面积=小圆柱表面积+大圆柱表面积-小圆柱底面积×2 =大圆柱表面积+小圆柱侧面积 因此，配件表面积=大圆柱表面积+小圆柱侧面积；配件体积=大圆柱体积+小圆柱体积 大圆柱底面直径8cm，高4cm；小圆柱底面直径4cm，高4cm，可得： 代入“S表=πdh+2π（）²”，则大圆柱表面积=π×8×4+2π×（8÷2）²=64π（cm²）； 代入“S侧=πdh”，则小圆柱侧面积=π×4×4=16π（cm²）； 所以，配件表面积=64π+16π=80π（cm²）。 根据“V=π（）²h”，则配件体积=π×（8÷2）²×4+π×（4÷2）²×4=80π（cm³）。 【解】：配件表面积=大圆柱表面积+小圆柱侧面积 =π×8×4+2π×（8÷2）²+π×4×4 =32π+32π+16π =80π =80×3.14 =251.2（cm²） 配件体积=大圆柱体积+小圆柱体积 =π×（8÷2）²×4+π×（4÷2）²×4 =80π =80×3.14 =251.2（cm³） 4． 计算下面图形的体积。 【答案】：310.86立方厘米 【分析】：图形体积=圆锥体积+圆柱体积 圆锥底面半径3cm、高6cm；圆柱底面半径3cm、高9cm，可得： 代入“V=πr²h”，则圆锥体积=π×3²×6=18π（cm³）； 代入“V=πr²h”，则圆柱体积=π×3²×9=81π（cm³）； 所以，图形体积=18π+81π=99π（cm³）。 【解】：图形体积=圆锥体积+圆柱体积 =π×3²×6+π×3²×9 =18π+81π =99π =99×3.14 =310.86（cm³） 5． 求下面图形的体积。 【答案】：109.9立方厘米 【分析】：图形体积=圆柱体积+圆锥体积 圆柱底面直径4cm、高5cm；圆锥底面直径6cm、高5cm，可得： 代入“V=π（）²h”，则圆柱体积=π×（4÷2）²×5=20π（cm³）； 代入“V=π（）²h”，则圆锥体积=π×（6÷2）²×5=15π（cm³）； 所以，图形体积=20π+15π=35π（cm³）。 【解】：图形体积=圆柱体积+圆锥体积 =π×（4÷2）²×5+π×（6÷2）²×5 =20π+15π =35π =35×3.14 = 109.9（cm³） 6． 计算下面图形的体积。 （单位：cm） 【答案】：282.6立方分米；188.4立方厘米 【分析】：（1）已知圆柱底面周长和高，求体积，代入“V=π（）²h”计算即可； （2） 观察图形可知，两个圆锥等底，且高之和是20cm，将两个圆锥体积转化为1个底面直径6cm，高20cm的大圆锥体积，即：图形体积=1个大圆锥体积，代入“V=π（）² h”计算即可。 【解】：（1）3.14×（18.84÷2÷3.14）²×10=282.6（dm³） （2）×3.14×（6÷2）²×20=188.4（cm³） 7． 如图，将一个直角梯形绕底所在的直线旋转一周，形成的立体图形的体积是多少？ 【答案】：401.92立方厘米 【分析】：根据圆柱、圆锥旋转形成的特点解答。 由图可知，将一个直角梯形绕底所在的直线旋转一周，可得到一个上圆锥下圆柱的组合图形，则立体图形体积=圆锥体积+圆柱体积。 圆锥与圆柱等底，底面半径都是4cm；圆柱高7cm、圆锥高（10-7）cm，可得： 代入“V=πr²h”，则圆锥体积=π×4²×（10-7）=16π（cm³）； 代入“V=πr²h”，则圆柱体积=π×4²×7=112π（cm³）； 所以，立体图形体积=16π+112π=128π（cm³）。 【解】：立体图形体积=圆锥体积+圆柱体积 =π×4²×（10-7）+π×4²×7 =16π+112π =128π =128×3.14 =401.92（cm³） 答：形成的立体图形的体积是401.92立方厘米。 8． 计算下面图形的体积。（单位：cm） （2） （1） 【答案】：2072.4立方厘米；150.72立方厘米 【分析】：（1）图形体积=大圆柱体积-小圆柱体积 大圆柱底面直径14cm、小圆柱底面直径8cm，大、小圆柱的高都是20cm，可得： 根据“V=π（）² h”，则图形体积=π×（14÷2）²×20-π×（8÷2）²×20=660π（cm³）； （2）图形体积=圆柱体积-圆锥体积 圆柱底面直径8cm、高4cm；圆锥底面直径8cm、高3cm，可得： 代入“V=π（）² h”，则圆柱体积=π×（8÷2）²×4=64π（cm³）； 代入“V=π（）²h”，则圆锥体积=π×（8÷2）²×3=16π（cm³）； 所以，图形体积=64π-16π=48π（cm³）。 【解】：（1）图形体积=大圆柱体积-小圆柱体积 =π×（14÷2）²×20-π×（8÷2）²×20 =980π-320π =660π =660×3.14 =2072.4（cm³） （2） 图形体积=圆柱体积-圆锥体积 =π×（8÷2）²×4=64π-π×（8÷2）²×3 =64π-16π =48π =48×3.14 =150.72（cm³） 9． 求下图的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】：表面积1192.96平方厘米；体积1317.12立方厘米 【分析】：观察图形可知，从长方体中挖去1个圆柱，且挖透。表面积增加圆柱的侧面积，与此同时，长方体上、下面减少2个圆柱底面积，因此： 图形表面积=长方体表面积+圆柱侧面积-2个圆柱底面积 图形体积=长方体体积-圆柱体积 长方体长20cm、宽8cm、高12cm；圆柱底面直径8cm、高12cm，可得： 代入“S表=2（ab+ah+bh）”，则长方体表面积=2×（20×8+20×12+8×12）=992（cm²）； 代入“S侧=πdh”，则圆柱侧面积=π×8×12=96π（cm²）； 根据“S底=πr²”，则2个圆柱底面积=2π×（8÷2）²=32π（cm²）； 所以，图形表面积=992+96π-32π=（992+64π）cm²。 代入“V=abh”，则长方体体积=20×8×12=1920（cm³）； 代入“V=π（）² h”，则圆柱体积=3.14×（8÷2）²×12=602.88（cm³）； 所以，图形体积=1920-602.88=1317.12（cm³）。 【解】：图形表面积=长方体表面积+圆柱侧面积-2个圆柱底面积，其中： 长方体表面积：2×（20×8+20×12+8×12）=992（cm²） 圆柱侧面积：π×8×12=96π（cm²） 2个圆柱底面积：=2π×（8÷2）²=32π（cm²） 图形表面积：992+96π-32π =992+64π =992+64×3.14 =1192.96（cm²） 图形体积=长方体体积-圆柱体积 =20×8×12-3.14×（8÷2）²×12 =1920-602.88 =1317.12（cm³） 10． 如图是从正方体中挖去一个圆柱后的剩余部分，请计算它的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】：表面积662.8平方厘米；体积937.2立方厘米 【分析】：观察图形可知，从正方体中挖去一个圆柱，且未挖透。表面积增加圆柱侧面积和1个圆柱底面积，与此同时正方体上面减少1个圆柱底面积，圆柱底面积一增一减，可抵消，所以表面积只增加了圆柱侧面积，因此： 剩余图形表面积=正方体表面积+圆柱侧面积 剩余图形体积=正方体体积-圆柱体积 正方体棱长10cm；圆柱底面直径4cm、高5cm，可得： 代入“S表=6a²”，则正方体表面积=6×10×10=600（cm²）； 代入“S侧=πdh”，则圆柱侧面积=3.14×4×5=62.8（cm²）； 所以，剩余图形表面积=600+62.8=662.8（cm²）。 代入“V=a³”，则正方体体积=10×10×10=1000（cm³）； 代入“V=π（）² h”，则圆柱体积=3.14×（4÷2）²×5=62.8（cm³）； 所以，剩余部分体积=1000-62.8=937.2（cm³）。 【解】：剩余部分表面积=正方体表面积+圆柱侧面积 =6×10×10+3.14×4×5 =600+62.8 =662.8（cm²） 剩余部分体积=正方体体积-圆柱体积 =10×10×10-3.14×（4÷2）²×5 =937.2（cm³） 2、 实际应用 1． 如下图，把一个体积为60立方厘米的圆柱形木料削成一个陀螺，陀螺的体积是圆柱形木料体积的（  D   ）。 ② ① A. B. C. D. 【答案】：D 【分析】：观察图形可知，陀螺由两部分组成，等底等高的圆柱①和圆锥②。其中： 图柱①与原圆柱形木料等底，且高是原圆柱的，根据“V=Sh”可知，圆柱①体积是原圆柱的；根据“等底等高的圆柱与圆锥，圆锥体积是圆柱体积的”，则圆锥②体积是圆柱①的，也就是原圆柱体积的的。 综上，图柱①体积是原圆柱的；圆锥②体积是原圆柱的×=，所以陀螺体积是圆柱形木料体积的+=，故选D。 2． 一支圆柱形铅笔使用一段时间后，变成了下图的样子。现在这支铅笔的圆柱部分的体积是圆锥部分的体积的（ 9 ）倍。 【答案】：9 【分析】：由图可知，圆柱与圆锥等底，且圆柱的高是圆锥高的6÷2=3倍。设底面积为S，高分别用h柱、h锥表示，h柱=3h锥，根据圆柱、圆锥体积计算公式可得： V柱=Sh柱=3Sh锥；V锥=Sh锥，所以V柱∶V锥=3Sh锥∶Sh锥=9∶1。这支铅笔圆柱部分的体积是圆锥部分体积的9倍。 3． 一个组合零件是由圆柱和圆锥粘合而成的（如下图），若把圆柱和圆锥重新掰开，表面积就会增加50.42cm²，那么原来这个组合零件的体积是（ 201.68 ）cm³。 【答案】：201.68 【分析】：观察图形可知，圆柱与圆锥等底等高，高均为6cm，根据“等底等高的圆柱与圆锥，圆锥体积是圆柱体积的”，则V锥=V柱。 组合零件体积=V柱+V锥=（1+）V柱，求组合零件体积，关键在于算出圆柱体积。 由题可知，把圆柱和圆锥重新掰开，表面积增加2个圆柱底面积，又知表面积增加50.42cm²，则2S底=50.42，S底=50.42÷2=25.21（cm²）。 组合零件体积=（1+）×25.21×6=201.68（cm³）。 4． 下图的“博士帽”是用卡纸做成的（帽穗除外），上面是边长为30厘米的正方形，下面是底面直径是18厘米、高8厘米的无盖无底的圆柱。制作10顶这样的“博士帽”，至少需要卡纸多少平方厘米？ 【答案】：13521.6平方厘米 【分析】：求制作10顶这样的“博士帽”需要多少卡纸，先算出制作1顶帽子需要的卡纸，再乘10即可。 由题可知，上面是正方形，下面是无底无盖的圆柱，因此制作1顶需要卡纸=正方形面积+圆柱侧面积。 正方形边长30cm；圆柱底面直径18cm、高8cm，可得： 代入“S=a²”，则正方形面积=30×30=900（cm²）； 代入“S侧=πdh”，则圆柱侧面积=3.14×18×8=452.16（cm²）； 所以，制作1顶需要卡纸（900+452.16）cm²，10顶需要卡纸（900+452.16）×10=13521.6（cm²）。 【解】：正方形面积：30×30=900（cm²） 圆柱侧面积：3.14×18×8=452.16（cm²） 制作10顶需要卡纸：（900+452.16）×10=13521.6（cm²） 答：制作10顶这样的“博士帽”，至少需要卡纸13521.6平方厘米。 5． 豆豆去粮库参观，看到了如下图所示的粮囤。从里面量得粮囤的底面周长是62.8米，整个粮囤的高度是8米，下半部分圆柱的高与上半部分圆锥的高的比是5∶3。这个粮囤最多能装多少立方米稻谷？ 【答案】：1884立方米 【分析】：由图可知，粮囤由1个圆锥和1个圆柱组成，求这个粮囤最多能装多少立方米稻谷，也就求图中圆锥、圆柱的容积之和，即粮囤容积=圆锥容积+圆柱容积。 圆锥、圆柱高之和是8m，且h柱∶h锥=5∶3，则h柱=8×=5（m）；h锥=8-5=3（m）； 圆锥、圆柱等底，且底面周长是62.8m，已知底面周长和高，求体积，可得： 代入“V=π（）² h”，则圆锥容积=π×（62.8÷2÷3.14）²×3=100π（m³）； 代入“V=π（）² h”，则圆柱容积=π×（62.8÷2÷3.14）²×5=500π（m³）； 所以，粮囤容积=100π+500π=600π（m³）。 【解】：（1）圆柱高：8×=5（m） 圆锥高：8-5=3（m） 圆锥容积：π×（62.8÷2÷3.14）²×3=100π（m³） 圆柱容积：π×（62.8÷2÷3.14）²×5=500π（m³） 粮囤容积：100π+500π=600π=600×3.14=1884（m³） 答：这个粮囤最多能装1884立方米稻谷。 6． 长征二号F遥十三运载火箭整流罩底面直径为3.2米，科技馆存放着一个按一定比例制作的长征二号F遥十三运载火箭整流罩模型（如下图）。 （1）制作整流罩模型的比例尺是多少？ （2）该整流罩模型的体积是多少？ （3）如果用一个长方体玻璃盒来存放这个模型，制作这个玻璃盒至少要用多少平方分米的玻璃？ 【答案】：（1）1∶8；（2）150.72立方分米；（3）288平方分米 【分析】：（1）比例尺=图上距离∶实际距离，据此解答。 由题可知，火箭整流罩实际底面直径为3.2米，模型底面直径是4dm，则比例尺=模型底面直径∶实际底面直径=4dm∶3.2m=4dm∶32dm=1∶8； （2）求整流罩模型的体积，由图可知，整流罩模型体积=圆锥体积+圆柱体积。 圆锥、圆柱底面直径都是4dm，圆锥高（16-10）dm，圆柱高10dm，可得： 代入“V=π（）² h”，则圆锥体积=π×（4÷2）²×（16-10）=8π（dm³）； 代入“V=π（）² h”，则圆柱体积=π×（4÷2）²×10=40π（dm³）； 所以，整流罩模型体积=8π+40π=48π（dm³）。 （3） 求制作这个玻璃盒需要多少玻璃，也就是求长方体的表面积。该长方体上、下2个面是4×4的正方形，4个侧面是4×16的长方形，因此需要玻璃4×4×2+4×16×4=288（dm²）。 【解】：（1）比例尺=模型底面直径∶实际底面直径 =4dm∶3.2m =4dm∶32dm =1∶8 答：制作整流罩模型的比例尺是1∶8。 （2）整流罩模型体积=圆锥体积+圆柱体积 =π×（4÷2）²×（16-10）+π×（4÷2）²×10 =8π+40π =48π =48×3.14 =150.72（dm³） 答：该整流罩模型的体积是150.72立方分米。 （3）4×4×2+4×16×4=288（dm²） 答：制作这个玻璃盒至少要用288平方分米的玻璃。 7． 如下图，一个玩具店出售一种陀螺，售价是30元/个。它的上面是圆柱，下面是圆锥。圆柱与圆锥等底等高，圆柱的直径是8厘米，高是6厘米。 （1）这种陀螺的体积是多少立方厘米？（结果用含有π的式子表示） （2）如果给一个这样的陀螺制作一个长方体的包装盒，至少需要多少平方分米的包装纸？（接头处忽略不计） （3）玩具店计划在暑期搞促销活动，推出两种优惠方案。王老师要为学校购买20个这样的陀螺，应采用哪种方案最省钱？写出你的想法。 优惠方案 方案1：一律九折 方案2：买四送一 【答案】：（1）128π立方厘米；（2）5.12平方分米；（3）方案二 【分析】：（1）由题可知，陀螺体积=圆柱体积+圆锥体积，且圆柱与圆锥等底等高，根据“等底等高的圆柱与圆锥，圆锥体积是圆柱体积的”，所以陀螺体积=V柱+V柱=V柱。 圆柱底面直径8cm，高6cm，根据“V=π（）² h”，则陀螺体积=π×（8÷2）²×6=128π（cm³）； （2）求需要多少包装纸，也就是求长方体的表面积。制作的长方体包装盒，上、下2个面是8×8的正方形，4个侧面是长（6×2）cm、宽8cm的长方形，因此需要包装纸2×8×8+4×6×2×8=512（cm²），注意单位换算，512cm²=5.12dm²； （3）方案1：一律九折，相当于实际付款金额是原价的； 方法2：买四送一，也就是买4个陀螺的钱实际得到5个。以（4+1）个为一组，要买20个，有20÷（4+1）=4（组），这4组中，实际付款陀螺4×4=16（个）。买20个陀螺，实际付款16个，则实际付款金额是原价的16÷20=； ＞，说明方案2实际付款金额更少，所以应采用方案二。 另，此问也可算出两种方案下的实际付款金额，再进行比较。 【解】；（1）（1+）π×（8÷2）²×6=128π（cm³）； 答：这种陀螺的体积是128π立方厘米。 （2）2×8×8+4×6×2×8=512（cm²） 512cm²=5.12dm² 答：至少需要5.12平方分米的包装纸。 （3）方案1：一律九折，相当于实际付款金额是原价的； 方案2：20÷（4+1）=4（组） 实际付款陀螺个数：4×4=16（个） 实际付款金额是原价的：16÷20= ＞，表示方案2实际付款金额更少，所以应采用方案二。 答：采用方案二更省钱。 8． 小华一家到餐厅吃饭，点完菜后服务员把一个沙漏摆到桌子上，说：“给您计个时，沙漏漏完前您点的菜都会上桌。”小华发现这是一个上、下均为圆锥的沙漏（如图），两个圆锥的底面直径均为10厘米，高均为6厘米，沙漏上面的圆锥装满沙子，如果每分钟漏掉10立方厘米的沙子，那么按服务员的承诺。 （1） 最迟多少秒后点的菜会全部上完？ （2） 沙漏用完后，服务人员用一个与圆锥等底的圆柱形包装盒对沙漏进行包装，需要多少平方厘米的包装盒？ 【答案】：（1）942秒；（2）533.8平方厘米 【分析】：（1）当沙漏上面的沙子全部漏完时，菜才全部上完为最迟，求最迟时间，也就是求沙漏上面的沙子漏完需要的时间。 由题可知，每分钟漏掉10立方厘米，则时间=沙子体积÷10，关键在于算出沙子体积。 沙漏上面是圆锥，且装满，求沙子体积也就是求圆锥体积，已知底面直径10cm，高6cm，代入“V=π（）² h”，则沙子体积是×3.14×（10÷2）²×6=157（cm³），全部漏完需要时间157÷10=15.7（分钟），注意单位换算，15.7×60=942（秒），所以最迟942秒后点的菜会全部上完； （2）求圆柱形包装盒的表面积。由题可知，圆柱底面直径10cm，高（6×2）cm，求表面积，代入“S表=πdh+2π（）²”计算即可。 【解】：（1）沙子体积：×3.14×（10÷2）²×6=157（cm³） 时间：157÷10=15.7（分钟） 15.7×60=942（秒） 答：最迟942秒后点的菜会全部上完。 （2）3.14×10×6×2+2×3.14×（10÷2）²=533.8（平方厘米） 答：需要533.8平方厘米的包装盒。 9． 下面是一卷卫生纸的示意图，如果每立方厘米纸重0.25克，这卷纸重多少克？ 【答案】：164.85克 【分析】：求这卷纸总重，由题可知，卷纸总重=卷纸体积×0.25，关键在于算出卷纸体积。 观察图形可知，卷纸体积=大圆柱体积-小圆柱体积。 大圆柱底面直径10cm、小圆柱底面直径4cm，大、小圆柱的高都是10cm，可得： 根据“V=π（）² h”，则卷纸体积=π×（10÷2）²×10-π×（4÷2）²×10=210π=210×3.14=659.4（cm³）； 该卷纸659.4cm³，且每立方厘米重0.25g，则这卷纸重659.4×0.25=164.85（g）。 【解】：卷纸体积=大圆柱体积-小圆柱体积 =π×（10÷2）²×10-π×（4÷2）²×10 =250π-40π =210π =210×3.14 =659.4（cm³） 卷纸重：659.4×0.25=164.85（g） 答：这卷纸重164.85克。 10． 一个圆柱形零件（如下图），底面半径是6厘米，高是12厘米，在零件底部有一个圆柱形的洞，洞口直径是10厘米，洞深4厘米。 （1） 如果将这个零件与空气接触的表面都涂上防锈漆，涂防锈漆的面积是多少平方厘米？ （2） 这个零件用铁铸造，如果每立方厘米的铁约重7.8克，这个零件约重多少千克？（得数保留一位小数） 【答案】：（1）803.84平方厘米；（2）8.1千克 【分析】：（1）将这个零件与空气接触的表面都涂上防锈漆，求涂防锈漆的面积，也就是求该零件的表面积。 观察图形可知，从1个圆柱底部挖去1个小圆柱，且未挖透，表面积增加小圆柱侧面积和1个小圆柱底面积，与此同时大圆柱底面减少1个小圆柱底面积，小圆柱底面积一增一减，可抵消，因此表面积只增加了小圆柱侧面积，因此：涂漆面积=大圆柱表面积+小圆柱侧面积。 大圆柱底面半径6cm、高12cm；小圆柱底面直径10cm，高4cm，可得： 代入“S表=2πrh+2πr²”，则大圆柱表面积=2π×6×12+2π×6²=216π（cm²）； 代入“S侧=πdh”，则小圆柱侧面积=π×10×4=40π（cm²）； 所以，涂漆面积=216π+40π=256π（cm²）。 （2）求零件重量，由题可知，零件重量=零件体积×7.8，关键在于算出零件体积。 零件体积=大圆柱体积-小圆柱体积 代入“V=πr²h”，则大圆柱体积=π×6²×12=432π（cm³）； 代入“V=π（）² h”，则小圆柱体积=π×（10÷2）²×4=100π（cm³）； 所以，零件体积=432π-100π=332π=332×3.14=1042.48（cm³）。 零件体积1042.48cm³，且每立方厘米重7.8g，则零件约重1042.48×7.8=8131.344（g），注意单位换算，8131.344g=8.131344kg≈8.1kg。 【解】：（1）涂漆面积=大圆柱表面积+小圆柱侧面积，其中： 大圆柱表面积：2π×6×12+2π×6²=216π（cm²） 小圆柱侧面积：π×10×4=40π（cm²） 涂漆面积：216π+40π =256π =256×3.14 =803.84（cm²） 答：涂防锈漆的面积是803.84平方厘米。 （2）零件体积=大圆柱体积-小圆柱体积 =π×6²×12-π×（10÷2）²×4 =432π-100π =332π =332×3.14 =1042.48（cm³） 零件重量：1042.48×7.8=8131.344（g） 8131.344g=8.131344kg≈8.1kg 答：这个零件约重8.1千克。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$