福建省福州市2024-2025学年高三第二次质量检测数学试卷

2024-2025学年高三年级第二次质量检测 数学试题 （完卷时间120分钟；满分150分） 友情提示：请将所有答案填写到答题卡上!请不要错位､越界答题! 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，,则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆台上下底面积分别为，母线长为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 金箔是黄金锻制而成的矩形薄片，其规格是指金箔制成后的尺寸.我国南京金箔锻制技艺被国务院列为第一批国家级非物质文化遗产名录.系列的矩形金箔共14种规格，其规格具有下列特点：①较长边长与较短边长的比值都相同；②每一序号的金箔（除外）对裁后，可以得到两张后一序号的金箔.比如1张金箔对裁后可以得到2张金箔.若金箔的较短边长为，则金箔的较长边长约为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，点在轴上，，且，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点在抛物线上（除原点外），则（ ） A. 当轴时， B. 当时，的面积为2 C. 以为直径的圆与轴相切 D. 外接圆的面积最小值为 10. 若数列为递增数列且数列也为递增数列，则称为“重增数列”.下列数列中，是重增数列的有（ ） A. B. C. D. 11. 定义在上的函数满足：①当时，，且；②；③，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为周期函数 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，若，则__________. 13. 函数恰有两个零点，则__________. 14. 已知，动直线与函数的图象交于三点，且点在轴的左侧，为线段的中点，则点的横坐标的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为. （1）求； （2）若的面积为，求的周长. 16. 已知为坐标原点，双曲线经过点，左、右焦点分别为. （1）求的离心率； （2）一组平行于的直线与相交，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为线段的中点. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数. （1）求的最小值； （2），写出一条与曲线和都相切的定直线的方程（无需写出求解过程）； （3）当时，，求的取值范围. 19. 某商店售卖一种珠环，消费者从红、蓝两种颜色的装饰珠中各选出偶数个，按随机的顺序用绳子穿成“串”（穿在一根绳子上，之后固定位置不可移位），再将绳子首尾相接连成“环”.小王现在选了6个红珠4个蓝珠穿成一个“串”. （1）如果小王将这一串装饰珠剪了一刀分成了两串，每串各有5个装饰珠，求这两串装饰珠都恰好是3个红珠和2个蓝珠的概率； （2）在把10个装饰珠连成环后，小王剪了两刀将珠环分成各含4个装饰珠和6个装饰珠的两串.设4个装饰珠串里红珠的个数为随机变量，求的分布列与期望； （3）如果小王选了个红珠和个蓝珠以任意顺序连成一个“环”，求证：只需要在合适的位置剪两刀，总可将环分成两串，每串都恰好是个红珠和个蓝珠. 2024-2025学年高三年级第二次质量检测 数学试题 （完卷时间120分钟；满分150分） 友情提示：请将所有答案填写到答题卡上!请不要错位､越界答题! 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】AB 【11题答案】 【答案】ABC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】0.1## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）6 【16题答案】 【答案】（1） （2） 解法一：由（1）知的方程为. 直线的斜率，设平行于的一组直线方程为， 与交于点，线段的中点为. 由 得，即， ， 所以，因为， 所以，即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 解法二：由（1）知的方程为. 直线的斜率，设平行于的一组直线与交于点， 线段的中点为. 由两式相减得：， 显然，所以， 所以，即， 即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 【17题答案】 【答案】（1） 连接交于点，连接， 因为四边形是正方形， 所以是中点，又为线段的中点， 所以， 又平面平面， 所以直线平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）存在定直线与曲线与都相切 （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 3 4 （3）证明：编号：任选一个红珠记其编号为1，并按顺时针方向依次给每个装饰珠编号2，3，4， 编组：1号珠，连同它顺时针方向后的个装饰珠，共个装饰珠编为一组，称为1号组； 2号珠，连同它顺时针方向后的个装饰珠，共个装饰珠编为一组，称为2号组；，共组，每组均有个装饰珠. 有以下结论： ①不可能每组中红珠都多于或少于个. 因为每个装饰珠都同时在组中，所以每组中的红珠数目之和为， 若每组中红珠都多于（或少于）个，因为共组， 则此时红珠总数会多于（或少于），与每组中的红珠数目之和为矛盾. ②相邻两组中红珠数量最多相差1. 因为后一组的装饰珠为前一组的装饰珠去掉第一个并在最后加上一个， 所以它们之间只有2个装饰珠有区别，前一组装饰珠的第一个可能为红珠或蓝珠，最后加上的这一个也可能为红珠或蓝珠， 所以有以下四种情形：去掉红珠，加上红珠；去掉红珠，加上蓝珠；去掉蓝珠，加上蓝珠；去掉蓝珠，加上红珠. 不论哪种情况，相邻两组中红珠数量只能相差1或0. 现假设没有任何一组中的红珠数量为， 由①知，必存在两相邻号组中红珠数中红珠数，即二者红珠数至少相差2，与②矛盾. 因此，必有某号组恰好有个红珠，个蓝珠，在该号组的两侧各剪一刀，即可满足条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $