函数概念 讲义-2025届高三数学一轮复习

2-1 函数概念 讲义 一、函数的有关概念： 1.函数定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A． 2.函数的三要素：定义域、解析式、值域. (1)在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； (2)与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。 显然，值域是集合B的子集． (3)函数的对应关系(解析式)：. 3.相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等． 二、函数的定义域 1.函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见初等函数定义域的要求为： (1)分式的分母不为零； (2)偶次方根的被开方数大于或等于零： (3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； (4)零次幂或负指数次幂的底数不为零； (5)三角函数中的正切的定义域是且； (6)①若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集； ②已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈)的值域. (7)对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2.区间： (1)一般区间 集合 区间名称 符号表示 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] (2)特殊区间 集合 区间名称 符号表示 数轴表示 {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 注意：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． 3.复合函数的定义域 如果函数y=f(t)的定义域为A, 函数t=g(x) 的定义域为B, 值域为C, 则当CA时，称函数y=f(g(x)) 为f(t) 与g(x)在B的复合函数， 其中t 叫做中间变量，t=g(x) 叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 温馨提示： 1. 内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集. 2. 函数f(g(x))的定义域是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围. 三、函数的解析式 1.求函数解析式的常用方法如下： (1)当已知函数的类型时，可用待定系数法求解； (2)当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法； 若易将含的式子配成，用配凑法。若易换元后求出，用换元法。 (3)若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法； (4)求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求； (5)当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解； (6)若已知成对出现与或，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出。 2.分段函数：若函数对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． (1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交，写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏． 四、函数值域：求函数值域的常用方法： (1)分离常数法： 将形如()的函数分离常数，变形过程为：， 再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域. (2)换元法： 如：，可以令，得到，从而函数可以化为 ，即关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制． (3)基本不等式法和对勾函数 (4)单调性法 (5)求导法 常用结论 1.直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2.在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 特别提醒　理解函数的概念应关注三点 (1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数． (2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式． (3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数． 考点一 函数关系的判断 【例1-1】(2024·福州·福清一中校考)下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据函数定义作出判断. 【解】根据函数定义，在定义域内，对于任意的，只能有唯一确定的与其对应，ABC满足要求， D选项，在定义域内对于，有两个确定的与其对应，D错误；故选：D 【例1-2】(2024·四川泸州·高一统考期末)托马斯说：“函数是近代数学思想之花”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据给定条件，利用函数的定义，逐项判断即可. 【解】对于A，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，A不是； 对于B，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，B不是； 对于C，集合中的每个元素按对应关系，在集合中都有唯一元素与之对应，C是； 对于D，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，D不是；故选：C 【例1-3】(多选)下列说法中正确的有(　　) A．f(x)＝与表示同一个函数 B．f(x)＝－定义域是[－1,0)∪(0，＋∞) C．f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一个函数 D．若f(x)＝|x－1|－x，则f ＝0 【答案】BC【解】对于A，f(x)定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域R，定义域不同，故A错误； 对于B，由题意，在f(x)＝－中，解得x≥－1且x≠0，故B正确； 对于C，f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1的定义域与对应关系都相同，所以是同一个函数，故C正确； 对于D，由f(x)＝|x－1|－x，可得＝0，所以f ＝f(0)＝1，故D错误． 思维升华 函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法 (1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集； ②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应． (2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数． 反思感悟　(1)判断一个对应关系是否为函数的方法 (2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法 ①任取一条垂直于x轴的直线l；②在定义域内平行移动直线l；③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内无交点或有两个或两个以上交点，则不是函数． 1.设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形： 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B【解】①中，因为在集合M中当1<x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是； ②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是； ③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不是； ④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是． 2.(多选)(2024·陕西安康·高一校考)下列各图中，是函数图象的是（    ） A． B． C．   D．     【答案】BD【分析】根据函数的定义判断即可. 【解】对于定义域内的每一个值都有唯一的一个值与之对应，可看出BD满足；故选：BD 3.函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（        ） A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个 【答案】B【解】若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线没有交点， 若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线有1个交点，故选：B. 3.下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝，g(x)＝()2 B．f(x)＝－1，g(x)＝ C．f(x)＝g(t)＝|t| D．f(x)＝x＋1，g(x)＝ 【答案】C【解】对于A，f(x)＝的定义域为R，g(x)＝()2的定义域为[0，＋∞)，不是同一个函数； 对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数； 对于C，两个函数的定义域、对应关系均相同，是同一个函数； 对于D，f(x)＝x＋1的定义域为R，g(x)＝的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数． 考点二 函数定义域 命题点1 求具体函数的定义域 【例2-1】(2024高三·四川南充·三模）函数的定义域为 . 【答案】【解】因为，所以且，解得且， 故函数的定义域为. 【例2-2】（23-24高三下·北京·开学考）函数的定义域为 ． 【答案】【解】，解得或，所以定义域为. 命题点2 求抽象函数的定义域 【例2-3】(2024·江苏徐州·高三学业考试)函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据抽象函数的定义域可得满足，结合根式的意义即可求解. 【解】因为函数的定义域为，所以满足，即， 又，即，所以，解得；所以的定义域为；故选：D. 【例2-4】(23-24高三上·黑龙江·期中)已知定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解】由题意得：，解得：，由，解得：， 故函数的定义域是，故选：C. 命题点3 已知定义域求参数范围 【例2-5】(23-24高三上·陕西汉中·月考)函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C【解】由函数的定义域为，得对恒成立． 当时，恒成立；当时，，解得． 综上所述的取值范围为．故选：C． 【例2-6】(23-24高三上·重庆沙坪坝·月考)函数定义域为，则实数k的取值范围为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B【解】由题意可得，恒成立， 当时，即，很显然不满足，当时，有，解得. 综上可得，.故选：B 【例2-7】若函数f(x)＝的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为_________． 【答案】[－2，2]【解】x2＋ax＋1≥0恒成立，即Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2，即a的取值范围是[－2，2]． 【例2-8】若函数的定义域为，则的值为 ． 【答案】【分析】由定义域得一元二次不等式的解，从而由二次不等式的性质可得参数值． 【解】由题意的解是，所以解得，，所以． 思维升华　易错点 忽略二次型式子中最高项的系数为0 点拨：在二次型函数中，当时为二次函数，其图象为抛物线； 当时为一次函数，其图象为直线。 在处理此类问题时，应密切注意项的系数是否为0，若不能确定，应分类讨论， 另外有关三个“二次”之间的关系的结论也是我们应关注的对象。 1.(2024·河南·信阳高一联考）函数的定义域为（    ） A．且 B． C． D． 【答案】C【分析】可直接求出函数的定义域进行判断. 【解】由题得，解得，即函数的定义域为.故选： 2.(2024·北京东城·高三统考)函数的定义域为 . 【答案】【分析】根据分式的分母不为，对数的真数大于求解即可. 【解】，解得且，函数的定义域为. 3.已知函数f(x)的定义域为[－2,3]，则函数f(x－1)的定义域为_________________． 【答案】[－1,4]【解】由－2≤x－1≤3，解得－1≤x≤4，所以函数f(x－1)的定义域为[－1,4]． 4.若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x－1)的定义域为________． 【答案】[1,3]【解】∵f(x)的定义域为[0,2]，∴0≤x－1≤2，即1≤x≤3，∴函数f(x－1)的定义域为[1,3]． 5.若函数f(x)的定义域为[－2,4]，则函数y＝的定义域为(　　) A．(1,8] B．[－4,1)∪(1,8] C．(1,2] D．[－1,1)∪(1,2] 【答案】D【解】由题意得解得－1≤x≤2且x≠1.故选D 6.(2024·福建龙岩·高一校联考期末)若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则得到，解得即可. 【解】设，依题意可得，解得，所以， 所以的定义域为，值域为，且， 对于函数，则，解得，即函数的定义域是；故选：B 7.(2024·吉林通化·高三校考)已知函数的定义域是R，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据给定条件，建立恒成立的不等式，再分类讨论求解作答. 【解】依题意，，不等式恒成立， 当时，恒成立，则， 当时，有，解得，则，因此；所以的取值范围是 8.若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是(　　) A．[0，4)　　　　　B．(0，4)　　　　　C．[4，＋∞)　　　　　D．[0，4] 【答案】D【解】可得mx2＋mx＋1≥0恒成立． 当m＝0时，1≥0恒成立；当m≠0时，则解得0<m≤4．综上可得：0≤m≤4． 9.若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________． 【答案】[－1，0]【解】2－1≥0对x∈R恒成立，即2≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立， 因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0． 考点三 求函数解析式 命题点1 待定系数法（函数类型确定） 【例3-1】(多选)函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（       ） A． B． C． D． 【答案】AD【解】设，由题意可知， 所以，解得或，所以或.故选：AD. 【例3-2】(2024·江苏·高一练习)已知函数是一次函数，且，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A【分析】设，根据恒成立可得a，b，然后可解. 【解】设，则， 整理得，所以，解， 所以，所以；故选：A 命题点2 换元法或配凑法（适用于型，注意定义域） 【例3-3】(23-24高三上·甘肃兰州·月考)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解】令，，则，，所以， 所以的解析式为：故选：B. 【例3-4】已知函数满足，求的解析式; 【解】令,则,=== 【例3-5】已知函数，则的解析式为_______ 【答案】【解】令，则，且， 所以，；所以，答案为：. 命题点3 构造方程组法 【例3-6】已知函数的定义域为，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D【解】令为，则，与联立得，．故选：D． 【例3-7】(2024·江苏·高一练习)已知满足，则解析式为 ． 【答案】【分析】用代得出一个式子，利用方程思想求解函数解析式. 【解】由   ①；用代可得，  ② 由①②可得：；故答案为： 【例3-8】设函数对的一切实数均有，则等于 A．2016 B．-2016 C．-2017 D．2017 【答案】B【解】①；② ①②得；，；故选：． 1.已知为二次函数，，，求的解析式． 【答案】【解】因为为二次函数，所以设，因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以，，，所以，，所以． 2.已知，则（       ） A．6 B．3 C．11 D．10 【答案】C【解】，，.选：C. 3.(2024·江苏·高一练习)已知，则函数 ，= ． 【答案】；11【分析】利用换元法可求出，进一步可得. 【解】令，则，所以，所以， 所以.故答案为：；. 4.（2024·江苏·高一专题练习）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据换元法求函数解析式. 【解】令，可得；所以， 因此的解析式为；故选：D. 5．已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据条件，通过配凑即可求出结果. 【解】因为，所以；故选：D. 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】利用换元法直接求解即可. 【解】令，，则，，所以， 所以的解析式为：；故选：B. 7．函数满足方程且，则：(1) ；(2) ． 【答案】；【分析】令可得；用替换，再解方程组可得答案. 【解】令可得：，所以； 由①得，②， 联立①②可得：；故答案为：①；②. 8．已知定义域为R的函数满足，则 . 【答案】【分析】由题意利用方程思想求得函数的解析式即可. 【解】因为，所以， 同除以2得，两式相加可得，即；故答案为：. 9.若函数，满足，且，则________． 【答案】9【解】由，可知，联立可得，所以，又因为，所以，所以.故答案为： 10.已知，则函数f(x)的解析式为___________. 【答案】【解】∵，①；∴，② ①×3﹣②×5，得：﹣16f(x)=﹣10x﹣2，∴；故答案为： 考点四 函数值与函数值域 命题点1 求函数值 【例4-1】设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝， (1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))；(2)求g(f(x))． 【解】(1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20. 因为g(x)＝，所以g(a)＋g(0)＝＋＝＋(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝＝. (2)g(f(x))＝＝＝. 【例4-2】(2024·海南省·高三校考)已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如下图所示，则的值为（    ） 1 2 3 4 3 A． B．0 C．3 D．4 【答案】D【分析】观察函数图象得，再利用数表求解即得. 【解】观察函数的图象，得，由数表得，所以；故选：D 命题点2 二次函数求值域 【例4-3】(2024·上海·高一期末)函数，的最小值是 . 【答案】【分析】根据二次函数的单调性进行求解即可. 【解】因为的图象开口向上，对称轴为， 又，所以的最小值是；故答案为：. 命题点3 分式型函数求值域 【例4-4】(2024·山西太原·校考)函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】先分离常数，再确定分式函数值域，最后确定整个函数的值域. 【解】，而由函数向右平移3个单位得到， 所以和的值域相同，都为，所以得值域为，故选：B 【例4-5】(2024·上海·校考期末)函数的值域是 ． 【答案】【分析】分离常数化简解析式，由指数函数的性质以及不等式性质，可得答案. 【解】由题意可知，函数，由，，或， 则或，即函数值域为；故答案为： 命题点4 根式型函数求值域 【例4-6】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【解】令，，则，所以函数， 函数在上单调递增，时，有最小值，所以函数的值域为；故选：C 命题点5 根据值域求参数 【例4-7】(2024·河南郑州·校考一模），若值域为，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】借助的值域为可得要取遍所有的正数，对进行分类讨论即可得. 【解】若函数的值域为，则要取遍所有的正数． 所以或，解得，即实数的取值范围是；故选：A． 【例4-8】已知，若函数的值域为，则实数的取值范围为 . 【答案】【分析】分类讨论，在时由可得． 【解】时，不合题意，因此且，∴，故答案为：． 1.若f(x)＝(x≠－1)，求f(0)，f(1)，f(1－a)(a≠2)，f(f(2))的值． 解析：f(0)＝＝1，f(1)＝＝0，f(1－a)＝＝(a≠2)，f(f(2))＝＝＝2. 2．（2024上·广东广州·高二广东实验中学校联考期末）函数的最大值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】B【分析】设，根据辅助角公式，结合三角函数的性质求解. 【解】由，解得，故的定义域为. 设，则， 其中，，∵，则， ∴当，即时， 取最大值，即函数的最大值是；故选：B. 3．已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数的取值进行分类讨论即可. 【解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示： 由图可知，当或时，两图象相交， 若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论： 当时，显然两图象之间不连续，即值域不为； 同理当,值域也不是； 当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是； 综上可知，实数的取值范围是；故选：B 4．函数的值域是或，则此函数的定义域为 . 【答案】【分析】利用反函数,可将原函数化为,(其中或),求出的值域即得的定义域. 【解】，其中或， 当时,是减函数,此时，当时,是减函数,此时， ∴函数的定义域为；故答案为：. 5.已知函数的值域为，则常数 ． 【答案】7或【解】因为，所以，，即， 因为函数的值域为，所以是方程的两个根， 所以，，解得或，所以7或；故答案为：7或. 考点五 分段函数 分段函数常见题型及解题方法 1.求函数值问题：根据所给自变量值的大小，选择相应的对应关系求值，有时每段交替使用求值。 2.解方程或解不等式：分类求出各子区间上的解，再将它们合并在一起，但要检验所求是否符合相应各段自变量的取值范围。 3.求最值或值域：先求出各段上的最值或值域，然后进行比较得出最大值、最小值，合并得出值域。 4.图象及其应用：由每段的定义域和解析式在同一坐标系中作出图象，作图时要注意每段图象端点的虚实。 【例4-1】已知函数，，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】C【分析】由题意首先将代入得的值，进一步将代入即可求解. 【解】由题意，解得，所以.故选：C. 【例4-2】已知函数，则 ． 【答案】【分析】由，从而可求解. 【解】由题意知当，，则，所以.答案为：. 【例4-3】已知函数若，则m的值为（       ） A． B．2 C．9 D．2或9 【答案】C【解】∵函数，，∴或，解得.故选：C. 【例4-4】(23-24高三上·江苏连云港·月考)已知函数则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解】由且， 则.故选：D 【例4-5】(多选)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4] C．若f(x)＝2，则x的值是－ D．f(x)<1的解集为(－1,1) 【答案】BC【解】函数f(x)＝的定义域是[－2，＋∞)，故A错误； 当－2≤x<1时，f(x)＝x2[0,4]，当x≥1时，f(x)＝－x＋2(－∞，1]，故f(x)值域为(－∞，4]，故B正确； 当x≥1时，令f(x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x<1时，令f(x)＝x2＝2，解得x＝－，故C正确； 当－2≤x<1时，f(x)＝x2<1，得x∈(－1,1)，当x≥1时，f(x)＝－x＋2<1，得x∈(1，＋∞)， 故f(x)<1解集(－1,1)∪(1，＋∞)，故D错误． 【例4-6】(2024·河南南阳·高一联考期末)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】法一，根据题意，分别求出当时与当时的最值，即可得到分段函数的值域；法二，画出的草图，数形结合可求出值域； 【解】法一：因为且， 所以当时，，当时，；当时，， 所以函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为. 法二：画出如图，可知函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为.故选：D 【例4-7】已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)． (1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；(2)求函数φ(x)的定义域，值域． 【解】(1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①. 由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②. 令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1. 结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝ (2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，∴φ(x)的值域为(－∞，1]． 反思感悟　(1)分段函数求值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． (3)分段函数图象的画法 对含有绝对值的函数，首先根据绝对值的意义去绝对值符号，转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 1.已知函数f(x)＝则f(f(1))等于(　　) A．－ B．2 C．4 D．11 【答案】C【解】由函数的解析式可得，f(1)＝12＋2＝3，则f(f(1))＝f(3)＝3＋＝4. 2..己知函数，则（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【解】由题意，得，，故选：B． 3.已知函数且，则（    ） A．-16 B．16 C．26 D．27 【答案】C【分析】根据函数解析式，结合指数对数运算性质分类讨论进行求解即可. 【解】当时，， 当时，，所以，故选：C 4.函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________. 【答案】－或10【解】当x0≤2时，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，∴x0＝－或x0＝(舍去)； 当x0>2时，f(x0)＝x0＝8，∴x0＝10;综上可知，x0＝－或x0＝10. 5.已知，若，则（       ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】B【解】∵，，∴必有， ∴，解得或（舍去），∴.故选：B. 6.设，若，则__________，__________. 【答案】；6【解】若，则，由，得，即， 解得：（舍去）或； 若，由，得，该方程无解. 综上可知，，；故答案为：； 6 7.（2024·江苏常州·高三统考）函数若，则实数的值为 ． 【答案】【分析】利用分段函数求解即可. 【解】，，．故答案为： 8.设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为________． 【答案】{y|y≤2}【解】当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2； 当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2；故y＝ 根据函数解析式作出函数图象，如图所示．由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}． 9.已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】【分析】先求解出时的值域，然后根据分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围. 【解】当时，，此时， 当且时，，此时，且，所以不满足； 当且时，， 由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时， 若要满足的值域为，只需要，解得； 当且时，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增，且时，，时，， 所以此时，此时显然能满足的值域为； 综上可知，的取值范围是，故答案为：. 1．（2024·上海·高考真题）已知则 ． 【答案】【分析】利用分段函数的形式可求. 【解】因为故，故答案为：. 2.（2023·北京·统考高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【解】函数，所以；故答案为：1 3.（2023•上海）已知函数，且，则方程的解为 ． 【解】当时，，解得； 当时，，解得（舍；所以的解为：．故答案为：． 【点评】本题考查了分段函数的性质、对数的基本运算、指数的基本运算，属于基础题． 4．（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 【答案】；/【分析】由分段函数解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可. 【解】由已知，，所以， 当时，由可得，所以， 当时，由可得，所以，等价于， 所以，所以的最大值为；故答案为：，. 5.（2022•上海）下列函数定义域为的是　　 A． B． C． D． 【答案】【解】定义域为，定义域为， ，定义域为，，定义域为．定义域为的是．故选：． 6.（2022•北京）函数的定义域是 ． 【答案】，，．【解】要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为，，．故答案为：，，． 7.(2021·高考浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())=3，则________． 【答案】2【解】f(f())=f(6－4)= f(2)=| 2－3|+a=3，故a=2。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2-1 函数概念 讲义 一、函数的有关概念： 1.函数定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A． 2.函数的三要素：定义域、解析式、值域. (1)在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； (2)与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。 显然，值域是集合B的子集． (3)函数的对应关系(解析式)：. 3.相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等． 二、函数的定义域 1.函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见初等函数定义域的要求为： (1)分式的分母不为零； (2)偶次方根的被开方数大于或等于零： (3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； (4)零次幂或负指数次幂的底数不为零； (5)三角函数中的正切的定义域是且； (6)①若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集； ②已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈)的值域. (7)对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2.区间： (1)一般区间 集合 区间名称 符号表示 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] (2)特殊区间 集合 区间名称 符号表示 数轴表示 {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 注意：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． 3.复合函数的定义域 如果函数y=f(t)的定义域为A, 函数t=g(x) 的定义域为B, 值域为C, 则当CA时，称函数y=f(g(x)) 为f(t) 与g(x)在B的复合函数， 其中t 叫做中间变量，t=g(x) 叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 温馨提示： 1. 内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集. 2. 函数f(g(x))的定义域是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围. 三、函数的解析式 1.求函数解析式的常用方法如下： (1)当已知函数的类型时，可用待定系数法求解； (2)当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法； 若易将含的式子配成，用配凑法。若易换元后求出，用换元法。 (3)若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法； (4)求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求； (5)当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解； (6)若已知成对出现与或，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出。 2.分段函数：若函数对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． (1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交，写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏． 四、函数值域：求函数值域的常用方法： (1)分离常数法： 将形如()的函数分离常数，变形过程为：， 再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域. (2)换元法： 如：，可以令，得到，从而函数可以化为 ，即关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制． (3)基本不等式法和对勾函数 (4)单调性法 (5)求导法 常用结论 1.直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2.在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 特别提醒　理解函数的概念应关注三点 (1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数． (2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式． (3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数． 考点一 函数关系的判断 【例1-1】(2024·福州·福清一中校考)下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】(2024·四川泸州·高一统考期末)托马斯说：“函数是近代数学思想之花”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（ ） A． B． C． D． 【例1-3】(多选)下列说法中正确的有(　　) A．f(x)＝与表示同一个函数 B．f(x)＝－定义域是[－1,0)∪(0，＋∞) C．f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一个函数 D．若f(x)＝|x－1|－x，则f ＝0 思维升华 函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法 (1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集； ②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应． (2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数． 反思感悟　(1)判断一个对应关系是否为函数的方法 (2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法 ①任取一条垂直于x轴的直线l；②在定义域内平行移动直线l；③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内无交点或有两个或两个以上交点，则不是函数． 1.设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形： 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2.(多选)(2024·陕西安康·高一校考)下列各图中，是函数图象的是（    ） A． B． C．   D．     3.函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（        ） A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个 3.下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝，g(x)＝()2 B．f(x)＝－1，g(x)＝ C．f(x)＝g(t)＝|t| D．f(x)＝x＋1，g(x)＝ 考点二 函数定义域 命题点1 求具体函数的定义域 【例2-1】(2024高三·四川南充·三模）函数的定义域为 . 【例2-2】（23-24高三下·北京·开学考）函数的定义域为 ． 命题点2 求抽象函数的定义域 【例2-3】(2024·江苏徐州·高三学业考试)函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【例2-4】(23-24高三上·黑龙江·期中)已知定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 命题点3 已知定义域求参数范围 【例2-5】(23-24高三上·陕西汉中·月考)函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【例2-6】(23-24高三上·重庆沙坪坝·月考)函数定义域为，则实数k的取值范围为（    ） A．或 B． C． D． 【例2-7】若函数f(x)＝的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为_________． 【例2-8】若函数的定义域为，则的值为 ． 思维升华　易错点 忽略二次型式子中最高项的系数为0 点拨：在二次型函数中，当时为二次函数，其图象为抛物线； 当时为一次函数，其图象为直线。 在处理此类问题时，应密切注意项的系数是否为0，若不能确定，应分类讨论， 另外有关三个“二次”之间的关系的结论也是我们应关注的对象。 1.(2024·河南·信阳高一联考）函数的定义域为（    ） A．且 B． C． D． 2.(2024·北京东城·高三统考)函数的定义域为 . 3.已知函数f(x)的定义域为[－2,3]，则函数f(x－1)的定义域为_________________． 4.若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x－1)的定义域为________． 5.若函数f(x)的定义域为[－2,4]，则函数y＝的定义域为(　　) A．(1,8] B．[－4,1)∪(1,8] C．(1,2] D．[－1,1)∪(1,2] 6.(2024·福建龙岩·高一校联考期末)若幂函数的图象过点，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 7.(2024·吉林通化·高三校考)已知函数的定义域是R，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是(　　) A．[0，4)　　　　　B．(0，4)　　　　　C．[4，＋∞)　　　　　D．[0，4] 9.若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________． 考点三 求函数解析式 命题点1 待定系数法（函数类型确定） 【例3-1】(多选)函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（       ） A． B． C． D． 【例3-2】(2024·江苏·高一练习)已知函数是一次函数，且，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 命题点2 换元法或配凑法（适用于型，注意定义域） 【例3-3】(23-24高三上·甘肃兰州·月考)已知，则（    ） A． B． C． D． 【例3-4】已知函数满足，求的解析式; 【例3-5】已知函数，则的解析式为_______ 命题点3 构造方程组法 【例3-6】已知函数的定义域为，且，则（       ） A． B． C． D． 【例3-7】(2024·江苏·高一练习)已知满足，则解析式为 ． 【例3-8】设函数对的一切实数均有，则等于 A．2016 B．-2016 C．-2017 D．2017 1.已知为二次函数，，，求的解析式． 2.已知，则（       ） A．6 B．3 C．11 D．10 3.(2024·江苏·高一练习)已知，则函数 ，= ． 4.（2024·江苏·高一专题练习）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．函数满足方程且，则：(1) ；(2) ． 8．已知定义域为R的函数满足，则 . 9.若函数，满足，且，则________． 10.已知，则函数f(x)的解析式为___________. 考点四 函数值与函数值域 命题点1 求函数值 【例4-1】设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝， (1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))；(2)求g(f(x))． 【例4-2】(2024·海南省·高三校考)已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如下图所示，则的值为（    ） 1 2 3 4 3 A． B．0 C．3 D．4 命题点2 二次函数求值域 【例4-3】(2024·上海·高一期末)函数，的最小值是 . 命题点3 分式型函数求值域 【例4-4】(2024·山西太原·校考)函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【例4-5】(2024·上海·校考期末)函数的值域是 ． 命题点4 根式型函数求值域 【例4-6】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 命题点5 根据值域求参数 【例4-7】(2024·河南郑州·校考一模），若值域为，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4-8】已知，若函数的值域为，则实数的取值范围为 . 1.若f(x)＝(x≠－1)，求f(0)，f(1)，f(1－a)(a≠2)，f(f(2))的值． 2．（2024上·广东广州·高二广东实验中学校联考期末）函数的最大值是（    ） A． B． C． D．4 3．已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．函数的值域是或，则此函数的定义域为 . 5.已知函数的值域为，则常数 ． 考点五 分段函数 分段函数常见题型及解题方法 1.求函数值问题：根据所给自变量值的大小，选择相应的对应关系求值，有时每段交替使用求值。 2.解方程或解不等式：分类求出各子区间上的解，再将它们合并在一起，但要检验所求是否符合相应各段自变量的取值范围。 3.求最值或值域：先求出各段上的最值或值域，然后进行比较得出最大值、最小值，合并得出值域。 4.图象及其应用：由每段的定义域和解析式在同一坐标系中作出图象，作图时要注意每段图象端点的虚实。 【例4-1】已知函数，，则（    ） A． B． C． D．0 【例4-2】已知函数，则 ． 【例4-3】已知函数若，则m的值为（       ） A． B．2 C．9 D．2或9 【例4-4】(23-24高三上·江苏连云港·月考)已知函数则等于（    ） A． B． C． D． 【例4-5】(多选)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4] C．若f(x)＝2，则x的值是－ D．f(x)<1的解集为(－1,1) 【例4-6】(2024·河南南阳·高一联考期末)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【例4-7】已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)． (1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；(2)求函数φ(x)的定义域，值域． 反思感悟　(1)分段函数求值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． (3)分段函数图象的画法 对含有绝对值的函数，首先根据绝对值的意义去绝对值符号，转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 1.已知函数f(x)＝则f(f(1))等于(　　) A．－ B．2 C．4 D．11 2..己知函数，则（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.已知函数且，则（    ） A．-16 B．16 C．26 D．27 4.函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________. 5.已知，若，则（       ） A．2 B． C．1 D．0 6.设，若，则__________，__________. 7.（2024·江苏常州·高三统考）函数若，则实数的值为 ． 8.设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为________． 9.已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 1．（2024·上海·高考真题）已知则 ． 2.（2023·北京·统考高考真题）已知函数，则 ． 3.（2023•上海）已知函数，且，则方程的解为 ． 4．（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 5.（2022•上海）下列函数定义域为的是　　 A． B． C． D． 6.（2022•北京）函数的定义域是 ． 7.(2021·高考浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())=3，则________． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$