专题2 培优点5 极化恒等式、奔驰定理与等和线定理 （课件）-【步步高】2024年高考数学大二轮专题复习与增分策略（新高考提高版）

专题一　函数与导数 培优点5　极化恒等式、奔驰定理与等和线定理 平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化恒等式、奔驰定理、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单. 内容索引 考点一 考点二 考点三 向量极化恒等式 平面向量“奔驰定理” 等和(高)线定理 专题强化练 考点一 向量极化恒等式 例1 设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n， 则AD＝3n. 根据向量的极化恒等式， (2)(2023·郑州模拟)如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，则　　　的取值范围是________. [39,55] 由向量极化恒等式知 又△ABC是边长为8的等边三角形， 规律方法 利用向量的极化恒等式可以对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题. 跟踪演练1 √ [0,4] 如图，∵PA⊥PB， ∴点P在以AB为直径的半圆上，取CD的中点O， 连接PO， 考点二 平面向量“奔驰定理” 例2 √ 由奔驰定理得 ∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m. √ 所以h1＝h2＝h3， 所以点P是△ABC的内心. 规律方法 利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比. 跟踪演练2 √ S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝3∶1∶2， √ O是△ABC的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图， 则CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP＝∠BAC，∠AOP＝∠ABC， 于是得tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝S△BOC∶S△AOC∶S△AOB， 即S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶3， 所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝1∶2∶3. 考点三 等和(高)线定理 等和(高)线 (1)当等和线恰为直线AB时，k＝1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O点时，k＝0； (5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比. 例3 √ 规律方法 要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，利用比例求其他的等和(高)线. 跟踪演练3 √ 如图，当点P位于线段BC上时， (λ＋μ)min＝1， 当点P位于点D时， (λ＋μ)max＝3. 故1≤λ＋μ≤3. 专题强化练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 根据奔驰定理， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ＝100－64＝36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，　　　的取值 范围是 A.[0,1] B.[0,2] C.[1,3] D.[0,4] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径. 设内切球的球心为O， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设M(x，y)，因为MB＝2MA， 化简得(x＋2)2＋y2＝4， 设线段AB的中点为C， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 令x＋y＝k，如图，在所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，即此时k取得最大值， 当点C在A(或B)处时，x＋y最小为1. 故x＋y的取值范围是[1,2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 则S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝2∶3∶4，故A错误； 故S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝2∶3∶4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以O为△ABC的垂心，故C正确； 故S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝5∶12∶13，设内切圆半径为r， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 即BC∶AC∶AB＝5∶12∶13， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取线段AB的中点E，连接ME，如图， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由奔驰定理知，S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝3∶4∶5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 如图，D，E，N分别为BC，AB，AC的中点，P为DE与BN的交点， 设2x＋y＝k，作出定值k为1的等和线DE，AC是过圆上的点最远的等和线， 当M在N点所在的位置时，2x＋y最大， 极化恒等式：a·b＝2－2. 变式：(1)a·b＝－， a·b＝－. (2)如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则·＝2－2＝  2－2. (1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等 分点.·＝4，·＝－1，则·的值为________. 因此·＝2－2＝4n2－m2＝. 即·＝. 得·＝2－2＝9n2－m2＝4， ①  ·＝2－2＝n2－m2＝－1. ② 联立①②，解得n2＝，m2＝. · 即||min＝8sin ＝4， 所以||的取值范围为[4，8]， 所以·的取值范围为[39,55]. ·＝||2－||2＝||2－9. 所以当点P位于点A或点C时，||取最大值8. 当点P位于AC的中点时，||取最小值， (1)如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则·等于 A.1 B. C. D.－ ＝2－＝－＝. 取AO的中点M，连接PM，如图所示，易得AB＝， 由向量极化恒等式知·＝·＝2－2 ＝2－2＝2－ (2)如图，正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内一点(包含边界)，且PA⊥PB，则·的取值范围是________. ∴||∈[1，]，∴·∈[0,4]. 由向量极化恒等式知·＝2－2＝2－1， 当点P在A(或B)处时，||max＝， 当点P在的中点时，||min＝1， 定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0. (1)已知O是△ABC内部一点，满足＋2＋m＝0，且＝，则实数m等于 A.2 　　　B.3 　　　 C.4 　　　D.5 S△BOC·＋S△AOC·＋S△AOB·＝0， 又＋2＋m＝0， ∴＝＝，解得m＝4. (2)(2023·重庆模拟)△ABC内一点O满足关系式S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a，b，c，现有a·＋b·＋c·＝0，则O为△ABC的 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 则a·h2·＋b·h3·＋c·h1·＝0， 即a·h2·＋b·h3·＋c·h1·＝0， 记点O到AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，S△OBC＝a·h2，S△OAC＝b·h3， S△OAB＝c·h1， 因为S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0， 又因为a·＋b·＋c·＝0， (1)如图，设O为△ABC内一点，且满足＋2＋3＝3＋2＋，则等于 A. B. C. D. ∴＝＝. ∵O为△ABC内一点，且满足＋2＋3＝3＋2＋， ∴＋2＋3＝3(－)＋2(－)＋ (－)⇒3＋＋2＝0， ∵S△BOC·＋S△AOC·＋S△AOB·＝0， (2)(2023·安阳模拟)如图，已知O是△ABC的垂心，且＋2＋3＝0，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶ tan∠ACB等于 A.1∶2∶3 B.1∶2∶4 C.2∶3∶4 D.2∶3∶6 因此，＝＝ ＝＝， 由“奔驰定理”有S△BOC·＋S△AOC·＋S△AOB·＝0， 同理＝， 又＋2＋3＝0， 平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. 在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为 A.3 B.2 C. D.2 如图所示，由平面向量基底等和线定理知，当等和线l与圆相切时，λ＋μ最大，此时λ＋μ＝＝＝＝3. 如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是△BCD内任意一点(含边界)，且＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为 A.[2,3] B.[1,2] C.[1,3] D.[1,4] 依题意，O为MN的中点，由向量极化恒等式知，·＝2－2 ＝9－4＝5. 1.如图，AB为⊙O的直径，P是上任一点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则·等于 A.13 B.7 C.5 D.3 2.点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为 A.， B.， C.， D.， 得3＋2＋4＝0， 即3＋2(＋)＋4(＋)＝0， 整理得＝＋， 故λ＝，μ＝. 3.如图，在四边形MNPQ中，若＝，||＝6，||＝10，·＝－28，则·等于 A.64 B.42 C.36 D.28 由·＝2－2 ＝36－2＝－28， 解得2＝64，所以2＝64， 所以·＝·＝2－2  · 由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2. 则·＝2－2＝2－1. 由于P为正方体表面上的动点，故OP∈[1，]， 所以·∈[0,2]. 5.(2023·佛山模拟)已知A(－1,0)，B(2,0)，若动点M满足MB＝2MA，则·的最大值是 A.－ B.4 C.12 D.18 所以 ＝2， 则C， 因为·＝2－2＝|MC|2－2＝|MC|2－， 又|MC|max＝－(－2)＋2＝， 所以·的最大值为2－＝18. 6.(多选)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的上运动，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的取值可以是 A.1 B. C.2 D. 又∠AOB＝，则k＝＝2. 7.(多选)(2023·六安模拟)已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为S△BOC，S△AOC，S△AOB，则S△BOC·＋S△AOC·＋S△AOB·＝0，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题正确的有 A.若2＋3＋4＝0，则S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝4∶3∶2 B.若||＝||＝2，∠AOB＝，且2＋3＋4＝0， 则S△ABC＝ C.若·＝·＝·，则O为△ABC的垂心 D.若O为△ABC的内心，且5＋12＋13＝0，则 ∠ACB＝ 对于A,2＋3＋4＝0， 对于B，S△AOB＝×2×2×sin ＝， 又2＋3＋4＝0， 所以S△ABC＝S△AOB＝，故B正确； 对于C，·＝·，即(－)·＝·＝0，故⊥， 对于D,5＋12＋13＝0， S△BOC＝r·BC，S△AOC＝r·AC，S△AOB＝r·AB， 同理可得⊥，⊥， 即AB2＝AC2＋BC2，∠ACB＝，故D正确. 8.(2023·黄冈模拟)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝45°.若M为菱形ABCD内部(含边界)任一点，则·的取值范围是_____________. [－1,4＋2]  ·＝2－2＝2－1， 当且仅当||最长，即点M与点C重合时，·最大， 当且仅当||＝0，即点M与点E重合时，·最小为－1， 显然∠CBA＝135°，＝－， ·＝||||cos∠CBA ＝1×2×cos 135°＝－， 因此2＝(－)2＝2＋2－2·＝5＋2， 所以·的最大值是4＋2. 即2的最大值为5＋2， 故·的取值范围是[－1,4＋2]. 9.若△ABC内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且3＋4＋5 ＝0.则△ABC的面积为______. ∵3＋4＝－5， 且||＝||＝||＝1， ∴9||2＋16||2＋24·＝25||2， ∴·＝0，∴OA⊥OB， ∴S△AOB＝×1×1＝， ∴S△AOB＝·S△ABC，∴S△ABC＝S△AOB＝. 10.如图，圆O是边长为2的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，＝x＋y(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为______. ＝x＋y＝2x·＋y＝2x＋y， 则k＝＝2，所以2x＋y取得最大值2. $$